Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Lugar geométrico: conjunto de todos los puntos (x,y) que cumplen una cierta propiedad y que unicamente la poseen esos puntos.

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Logaritmos y Ecuaciones

• Propiedades de los Logaritmos:
  • Logaritmo de un producto: log_b(x * y) = log_b x + log_b y
  • Cambio de base: log_a b = log_c b / log_c a
  • Definición de logaritmo: log_a X = N implica a^N = X
  • Logaritmo de una potencia: log_x A = N implica x = A^(1/N) (la raíz N-ésima de A)
  • Logaritmo de 1: log_a 1 = 0
  • Logaritmo de la base: log_a a = 1
• Ecuaciones Logarítmicas:

  Se intenta aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación. Una vez simplificada, se elimina el logaritmo y se resuelve como una ecuación algebraica normal.

• Ecuaciones Exponenciales:

  Para resolverlas, se aplica el logaritmo (generalmente natural o base 10) a ambos lados de la ecuación. Después de aplicar las propiedades

Conceptos Básicos de Estadística

Tipos de Variables

En estadística, las variables son características o propiedades que pueden medirse u observarse en los individuos o elementos de una muestra o población. Se clasifican en dos grandes grupos:

• Variables cualitativas: no se pueden expresar a través de números, se especifican mediante palabras. A su vez, se dividen en:
  • Nominales: no tienen ningún tipo de ordenación.
  • Ordinales: admiten algún tipo de ordenación.
• Variables cuantitativas: se expresan a través de números. Pueden ser:
  • Discretas: solo pueden tomar un número limitado de valores. Ejemplo: el número de hijos.
  • Continuas: pueden tomar cualquier valor dentro de un rango numérico. Ejemplo: la altura.

Frecuencias

• Frecuencia total (ft):

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

La Media

• Propiedades: La suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones respecto a su media es igual a cero.
• El valor de la media puede verse muy afectado por unas pocas observaciones con valores muy diferentes de los demás. Un solo valor atípico (outlier) “arrastra” la media hacia arriba.
• El valor de la media puede no ser representativo del conjunto de los valores, especialmente en poblaciones o muestras pequeñas, cuando una observación es muy diferente de las otras.
• En general, cuando el gráfico que representa la distribución de valores no es simétrico, sino sesgado, la media está desviada, en relación con la mayoría de los valores, hacia la cola más larga de la distribución.

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Álgebra

El valor absoluto de un número real *a*, se escribe |*a*|, es el mismo número *a* cuando es positivo o cero, y opuesto de *a*, si es negativo.

Se llama logaritmo de base *a* de un número *N*, al número real *x* al que hay que elevar la base para que nos dé el número *N*.

Propiedades de los logaritmos:

• P≠Q → log_a P≠ log_a Q
• log_a a=1
• log_a 1=0
• log_a(P·Q)=log_a P+log_a Q
• log_a(P:Q)=log_a P-log_a Q
• log_a Pⁿ=n· log_a P
• log_a ⁿ√P= log_a P^1/n= 1/n log_a P

Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio P(*x*) entre un polinomio de la forma (*x*-*a*) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: *x*=*a*.

Trigonometría

Teorema del seno: En un triángulo cualquiera se verifica que los lados... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Álgebra, Trigonometría y Vectores" »

Estudio de una Función de Beneficio

El siguiente documento detalla el estudio de una función de beneficio, expresado en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa durante el año pasado. Se abordan aspectos de continuidad, derivabilidad y optimización.

a) Continuidad y Derivabilidad de la Función de Beneficio B(t)

La función de beneficio B(t) se define a trozos. Para determinar su continuidad y derivabilidad en el punto de unión, t = 6, procedemos con los siguientes pasos:

1. Estudio de la Continuidad en t = 6

Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en ese punto debe ser igual a los límites laterales en dicho punto.

• Valor de la función en t = 6:
  B(6) = (6² / 8) - 6 + 5 = 36/8 - 6 + 5 = 9/2 - 1 = 7/2.
• Límite

Fundamentos de la Lógica Proposicional: Conectivas y Operadores

Las proposiciones simples se representan mediante letras minúsculas (P, Q, R, etc.).

I. Conectivas Lógicas y su Simbología

A continuación, se detallan las conectivas lógicas, sus expresiones en lenguaje natural y su símbolo correspondiente:

• Negación (¬):

  Expresiones: no, no es cierto, no es verdad, no es el caso de que, no es posible, es falso.

• Conjunción (∧):

  Expresiones: y, e, más, pero, ni.

• Disyunción (∨):

  Expresiones: o, o... o, bien... bien, ya... ya.

• Condicional (→):

  Expresiones: si... entonces, luego, por tanto, en consecuencia, cuando, con tal de.

• Bicondicional (↔):

  Expresiones: si y solo si, equivale a, es igual a, vale por, es lo mismo que.

II. Definiciones y Tablas

Conceptos Clave y Fórmulas Esenciales de Matemáticas

Optimización de Funciones

Para optimizar una función, sigue estos pasos:

1. Identifica la condición y despeja una variable.
2. Define la función objetivo (lo que se busca maximizar o minimizar).
3. Sustituye la variable despejada en la función objetivo.
4. Deriva la función resultante.
5. Iguala la derivada a cero y resuelve para encontrar los puntos críticos.
6. Sustituye los puntos críticos en la función original para encontrar los valores óptimos.

Fórmulas Trigonométricas y Geométricas

• Longitud de la circunferencia: 2πr (donde 'r' es el radio).
• Área del círculo: πr².
• Tangente (tg): cateto opuesto / cateto contiguo.
• Seno (sen): cateto opuesto / hipotenusa.
• Coseno (cos): cateto contiguo / hipotenusa.

Posiciones Relativas en el Espacio

Entre Dos Rectas

• Vectores directores proporcionales:
  • Coincidentes: Un punto de una recta pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=1)
  • Paralelas: Un punto de una recta no pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=2)
• Vectores directores no proporcionales:
  • Se cortan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta son coplanares (determinante = 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=2)
  • Se cruzan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta no son coplanares (determinante ≠ 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=3)

Entre Dos Planos

• Coincidentes: Los coeficientes de las ecuaciones generales son proporcionales (A/A' = B/B' = C/C' = D/D').
• Paralelos: Los coeficientes de las

Matrices y determinantes

Inversa de una matriz: A^-1 = (Adj A)^T / |A| (si det(A) ≠ 0)

Posiciones relativas

Dos planos

• A/A' = B/B' = C/C' = D/D' → Coincidentes
• A/A' = B/B' = C/C' ≠ D/D' → Paralelos
• Otros casos → Sécantes

Recta – Plano

Se pueden estudiar dos formas:

1. Por rangos (matriz de coeficientes A y matriz ampliada A*)

• 0 = 0 (rango A = 2) ⇒ paralelo (rango A = 2)
• Si (3,2,4) ≠ 0 ⇒ rango A = 3
• Si rango A ≠ rango A* ⇒ Paralelas
• Si rango A = 2 = rango A* ⇒ Coincidentes
• Si rango A = 3 = rango A* ⇒ Sécantes

2. Forma geométrica

Encuentra el vector director de la recta r, el vector director del plano s y un vector perpendicular al plano π.

• Si r · s = 0 (son perpendiculares), se toma un punto de la recta r y se verifica si pertenece