Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Posiciones Relativas en el Espacio

Entre Dos Rectas

• Vectores directores proporcionales:
  • Coincidentes: Un punto de una recta pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=1)
  • Paralelas: Un punto de una recta no pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=2)
• Vectores directores no proporcionales:
  • Se cortan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta son coplanares (determinante = 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=2)
  • Se cruzan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta no son coplanares (determinante ≠ 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=3)

Entre Dos Planos

• Coincidentes: Los coeficientes de las ecuaciones generales son proporcionales (A/A' = B/B' = C/C' = D/D').
• Paralelos: Los coeficientes de las

Matrices y determinantes

Inversa de una matriz: A^-1 = (Adj A)^T / |A| (si det(A) ≠ 0)

Posiciones relativas

Dos planos

• A/A' = B/B' = C/C' = D/D' → Coincidentes
• A/A' = B/B' = C/C' ≠ D/D' → Paralelos
• Otros casos → Sécantes

Recta – Plano

Se pueden estudiar dos formas:

1. Por rangos (matriz de coeficientes A y matriz ampliada A*)

• 0 = 0 (rango A = 2) ⇒ paralelo (rango A = 2)
• Si (3,2,4) ≠ 0 ⇒ rango A = 3
• Si rango A ≠ rango A* ⇒ Paralelas
• Si rango A = 2 = rango A* ⇒ Coincidentes
• Si rango A = 3 = rango A* ⇒ Sécantes

2. Forma geométrica

Encuentra el vector director de la recta r, el vector director del plano s y un vector perpendicular al plano π.

• Si r · s = 0 (son perpendiculares), se toma un punto de la recta r y se verifica si pertenece

Relaciones entre Distribuciones de Probabilidad

Relación entre la Distribución Hipergeométrica y Binomial

Cuando el tamaño de la población N es bastante grande comparado con el tamaño de la muestra n, se considera que la distribución Binomial es una aproximación adecuada para resolver una distribución Hipergeométrica. En general, puede mostrarse que si n y por lo tanto r es muy pequeño comparado con N₁ y N₂, entonces: si se toma una muestra muy pequeña de una población muy grande, entonces la falta de reemplazo (Distribución Hipergeométrica) y el reemplazo (Distribución Binomial) dan resultados aproximadamente idénticos.

Relación entre la Distribución Binomial y de Poisson

Cuando el número de pruebas n es grande y por otra parte... Continuar leyendo "Relaciones entre las Distribuciones Hipergeométrica, Binomial y de Poisson" »

Teorema de Rolle

Sea f(x) una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. f(x) es continua en [a,b]
2. f(x) es derivable en (a,b)
3. f(a)=f(b)

Entonces existe un número cÎ(a,b) tal que f´(c)=0

Demostración:

Hay tres casos:

1er caso:

f(x) = cte ® f ´(x)=0 para todo xÎ(a,b). Cualquier c Î(a,b) lo cumple.

2do caso:

Existe un x tal que f(x)>f(a). Dado que por hipótesis f(x) es continua en [a,b], f(x) tiene un valor máximo en [a,b] (teorema de Weierstrass). Dado que f(a)=f(b) el máximo debe alcanzarse en algún c Î(a,b), es decir que también en c se alcanza un máximo local (pues está en el interior de [a,b]). f(x) es derivable en (a,b) (hipótesis 2) entonces podemos aplicar el teorema de Fermat, es decir, f´(c) = 0.

3er caso:

Existe un x... Continuar leyendo "Teorema de Rolle y Otros Conceptos Fundamentales del Cálculo" »

Significado de la Fracción en el Modelo de Medida

En general, dada una cantidad de magnitud (m) y una unidad de medida (u) de la misma magnitud, la fracción a/b u expresa la medida de la cantidad de magnitud m.

El denominador de la fracción (b) indica que, para poder efectuar la medida, hemos utilizado subunidades de medida de 1/b de unidad. También, que se ha fraccionado la unidad de medida en b partes iguales.

El numerador de la fracción (a) indica el número de subunidades de medida de 1/b de unidad que es necesario utilizar para completar la cantidad de magnitud m. Se verifica que a y b son números naturales y b no es cero.

Fracciones Equivalentes

Diremos que dos o más fracciones son equivalentes si expresan la medida de la misma cantidad... Continuar leyendo "Fracciones: Conceptos Esenciales, Medida y Operaciones Fundamentales" »

Mesures de Tendència Central i Posició

Mediana: Representa el valor de la variable central en un conjunt de dades ordenades.

Mitjana: És la suma de tots els valors dividida pel nombre de valors del conjunt.

Coeficient de Correlació de Pearson

El Coeficient de Correlació de Pearson és una mesura de la relació lineal entre dues variables aleatòries quantitatives. A diferència de la covariància, la correlació és independent de l'escala de mesura de les variables. Si el resultat és positiu (+), la correlació és directa. Quan el coeficient de correlació està molt pròxim a 1, la correlació és molt forta. Es calcula com: Covariància / (desviació típica X * desviació típica Y).

Mesures de Dispersió i Variabilitat

El Rang i la Moda

El... Continuar leyendo "Conceptes Fonamentals d'Estadística Descriptiva" »

Problema 1: Probabilidad de Sucesos A y B

Dados dos sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0.5 y P(A∪B) = 0.8.

A) Probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos

La probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos se expresa como P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)). Dado que estos dos sucesos (A∩Bᶜ y B∩Aᶜ) son incompatibles, podemos escribir:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A∩Bᶜ) + P(B∩Aᶜ)

Sabemos que P(A∩Bᶜ) = P(A) - P(A∩B) y P(B∩Aᶜ) = P(B) - P(A∩B). Por lo tanto:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A) - P(A∩B) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B).

También se nos informa que P(Aᶜ∪Bᶜ) = 0.7. Por las leyes de De Morgan, sabemos que (Aᶜ∪Bᶜ) = (A∩B)ᶜ. Así, podemos determinar P(A∩B):

P((A∩B)ᶜ)... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Sucesos, Independencia y Extracciones" »

Estudio de una Función a partir de su Derivada

Se conoce la función derivada de f: f'(x) = 3x² - 8x + 5.

a) Monotonía y Extremos Relativos

Estudiamos el signo de la primera derivada f'(x) para determinar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento).

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos (posibles extremos relativos):

f'(x) = 0 ⇒ 3x² - 8x + 5 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: x = 1 y x = 5/3 ≈ 1.67.

Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:

• Intervalo (-∞, 1): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 0. f'(0) = 3(0)² - 8(0) + 5 = 5 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en (-∞, 1).
• Intervalo (1, 5/3): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 1.