Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

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Fundamentos Esenciales del Cálculo Diferencial e Integral: Definiciones y Teoremas Clave

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Límites

Se dice que la **función** $y=f(x)$ tiene **límite** y vale $L$ cuando $x$ tiende al valor $A$, si y solo si la diferencia entre la función y el límite, en su **valor absoluto** $|f(x) - L|$, se puede hacer tan pequeño como se quiera, con solo tomar valores de $x$ suficientemente próximos al valor $A$.

Infinitésimos

Se dice que una **función** $y=f(x)$ es un **infinitésimo** en $x=a$ si y solo si el límite de $f(x)$ cuando $x \to a$ es igual a $0$.

Derivadas

Dada una función $y=f(x)$, se llama **derivada primera** de la función, y se escribe $f'(x)$, al límite (si existe) del **cociente incremental** $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ cuando el incremento de la **variable independiente** ($\Delta x$) tiende a $0$.

Cociente Incremental

Es

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Fundamentos de Inferencia Estadística: Distribuciones Muestrales, Estimadores y Contrastes de Hipótesis

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Distribuciones Muestrales Fundamentales

Distribución Chi-cuadrado (χ²)

Sea $Z \sim N(0,1)$. Se define una variable Chi-cuadrado ($\\chi^2$) con 1 grado de libertad como una normal tipificada elevada al cuadrado ($Z^2$).

Sean $n$ variables aleatorias independientes $X_1, X_2, \dots, X_n$ distribuidas mediante una $N(0,1)$, la suma de sus cuadrados define una distribución Chi-cuadrado con $n$ grados de libertad:

$$\chi^2_n = \sum_{i=1}^{n} X_i^2$$

Distribución t de Student

Sean las variables aleatorias independientes $Z, X_1, \dots, X_n$, idénticamente distribuidas según una $N(0,1)$. Una t de Student con $n$ grados de libertad se define como el cociente entre una normal tipificada y la raíz cuadrada de una Chi-cuadrado dividida por sus grados... Continuar leyendo "Fundamentos de Inferencia Estadística: Distribuciones Muestrales, Estimadores y Contrastes de Hipótesis" »

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Conceptes Fonamentals d'Estadística Descriptiva

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Mesures de Tendència Central i Posició

Mediana: Representa el valor de la variable central en un conjunt de dades ordenades.

Mitjana: És la suma de tots els valors dividida pel nombre de valors del conjunt.

Coeficient de Correlació de Pearson

El Coeficient de Correlació de Pearson és una mesura de la relació lineal entre dues variables aleatòries quantitatives. A diferència de la covariància, la correlació és independent de l'escala de mesura de les variables. Si el resultat és positiu (+), la correlació és directa. Quan el coeficient de correlació està molt pròxim a 1, la correlació és molt forta. Es calcula com: Covariància / (desviació típica X * desviació típica Y).

Mesures de Dispersió i Variabilitat

El Rang i la Moda

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Cálculo de Continuidad, Derivadas y Rectas Tangentes en Funciones Definidas a Trozos

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Ejercicio 1: Análisis de Continuidad y Derivabilidad

Sea la función:

f(x) = x^2 - bx + 1 & \text{si } x < 2 \\ 2x + a & \text{si } x \geq 2

a) Estudio de la continuidad en x = 2

Para que la función sea continua en x = 2, los límites laterales deben ser iguales:

  • Límite por la izquierda: limx→2- (x2 - bx + 1) = 4 - 2b + 1 = 5 - 2b
  • Límite por la derecha: limx→2+ (2x + a) = 4 + a

Igualando los límites laterales: 5 - 2b = 4 + a => a + 2b = 1

Como la función tiene un mínimo en x = 1, la primera derivada en ese punto debe ser cero:

f'(x) = 2x - b (para x < 2)

f'(1) = 0 => 2(1) - b = 0 => b = 2

Sustituyendo en la ecuación anterior: a + 2(2) = 1 => a = -3

b) Cálculo de la recta tangente en x = -2

La función, con los

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Guia d'Estadística: Contrastos, Models i Interpretació

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Conceptes bàsics de contrast d'hipòtesis

En els contrastos d'hipòtesis, si el p-valor > risc, no rebutgem la hipòtesi nul·la (H₀). Si l'estadístic de contrast > valor crític, rebutgem H₀ i afirmem l'alternativa. Recorda que el t-value es calcula com a estimate / std error.

Contrast de McNemar

S'utilitza per a dades aparellades, quan els enquestats responen sobre dues situacions. La H₀ és πp’b = πp’c (ja sigui amb mitjanes o proporcions).

Condicions d'aplicació: Població infinita o gran, mostreig aleatori o sistemàtic (n’ ≥ 30, np’b ≥ 5, n’(1-p’b) ≥ 5).

Taules de contingència (Cramer)

S'utilitza per a dues variables qualitatives. La H₀ és que les dues categories són independents a la població. Cal comprovar... Continuar leyendo "Guia d'Estadística: Contrastos, Models i Interpretació" »

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Sucesos, Independencia y Extracciones

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Problema 1: Probabilidad de Sucesos A y B

Dados dos sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0.5 y P(A∪B) = 0.8.

A) Probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos

La probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos se expresa como P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)). Dado que estos dos sucesos (A∩Bᶜ y B∩Aᶜ) son incompatibles, podemos escribir:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A∩Bᶜ) + P(B∩Aᶜ)

Sabemos que P(A∩Bᶜ) = P(A) - P(A∩B) y P(B∩Aᶜ) = P(B) - P(A∩B). Por lo tanto:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A) - P(A∩B) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B).

También se nos informa que P(Aᶜ∪Bᶜ) = 0.7. Por las leyes de De Morgan, sabemos que (Aᶜ∪Bᶜ) = (A∩B)ᶜ. Así, podemos determinar P(A∩B):

P((A∩B)ᶜ)... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Sucesos, Independencia y Extracciones" »

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Estudio de Funciones Mediante Derivadas: Monotonía, Curvatura, Extremos y Asíntotas

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Estudio de una Función a partir de su Derivada

Se conoce la función derivada de f: f'(x) = 3x2 - 8x + 5.

a) Monotonía y Extremos Relativos

Estudiamos el signo de la primera derivada f'(x) para determinar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento).

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos (posibles extremos relativos):

f'(x) = 0 ⇒ 3x2 - 8x + 5 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: x = 1 y x = 5/3 ≈ 1.67.

Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:

  • Intervalo (-∞, 1): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 0. f'(0) = 3(0)2 - 8(0) + 5 = 5 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en (-∞, 1).
  • Intervalo (1, 5/3): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 1.
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Hezkuntza Tradizionala eta Iraunkorra: Desberdintasunak eta Eskubideak

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Adierazi taula batean TRADIZIOKO HEZKUNTZA eta HEZKUNTZA IRAUNKURRAREN arteko desberdintasuna

TRADIZIOZKO HEZKUNTZA

  • Paradigma mugatua; denboran, espazioan, edukietan, metodoetan eta bizitza etapetan.
  • Irakaskuntza bizitzaren aurreneko etapetan izaten da.
  • Gerora begira irakasten eta ikasten da, etorkizunari begira.
  • Ezagutzak eta trebetasunak metatzen dira gero erabili ahal izateko.
  • Ikasten duen subjektuak ez du ezagutza eraikitzen; dakienarengandik hartzen du.

HEZKUNTZA IRAUNKORRA

  • IREKIA da eta edukiek eraiki egiten dira.
  • Irakaskuntza bizitzaren aurreneko etapetan izaten da.
  • Lehena, oraina eta geroa inplikatuak daude.
  • Ez ditu ezagutzak metatzen; erabili egiten ditu ikasten jarraitzeko.
  • Ikasten duen subjektuak modu aktiboan parte hartzen du ezagutza esanahitsuak
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Euskararen Bilakaera: Hizkuntzaren Garrantzia eta Umorearen Erronkak

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Hizkuntzen Berdintasuna

Egilea: Luis Villasante (Gernika, 1920 - Arantzazu, 2000)

Euskara batuaren inguruan liburu eragingarrien egilea izan da, Euskaltzainburu izateaz aparte. Euskal literatura sakon aztertu zuen.

"Euskararen Auziaz" liburutik (1988)

Pasarte honek Euskararen Auziaz liburukoa da, 1988an argitaratua.

Genero humanistikoan sailkatzen dugu, gizakiarekin erlazionatuta dagoen gai bat delako, zehazki, hizkuntzak.

Azalpen-argudiaziozko testua da, objektibotasunez emandako informazioa daukagu. Apologisten eta gutxiesleen iritziak dauden pasarteetan, zehazki. Bestetik, idazleak bere tesia aurkezten digu eta, gu konbentzitzeko nahiarekin, hainbat argudio ematen dizkigu modu progresiboan.

Testu honen funtzio nagusia deitzailea da, beraz; hau

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Matrices periódicas

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matriz simétrica:es toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta.A=A-1
matriz triangular:es aquella matriz cuadrada cuyos términos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son 0
rango de una matriz:se llama rango o caracteris d euna matriz A al numero de filas o de columnas,distintas de 0,independientes
determinante:sea Mn el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n,y R el conjunto de los num reales.La aplicación Mn-->R que asocia a cada matriz cuadrada A el numero real (A) se llama determinante de la matriz cuadrada y se indica cerrando la matriz entre barras
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