Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Suma

Para realizar una suma, sigue estos pasos:

1. Escribe los sumandos uno debajo de otro, de manera que las unidades del mismo orden de los diferentes números queden situadas en la misma columna.
2. Traza una raya horizontal debajo del último sumando.
3. Suma las cifras que se encuentran en la columna de la derecha.
4. Si el resultado de la suma es menor que 10, escribe el resultado en dicha columna debajo de la raya y pasa a sumar la columna siguiente.
5. Si el resultado de la suma es mayor o igual que 10, escribe las unidades en la columna y la cifra de las decenas se añade a la suma de la columna siguiente.
6. Continúa el procedimiento hasta llegar a la última columna. El resultado de sumar la última columna se escribe íntegro debajo de la raya.
7. El número

Conceptos Básicos de Derivadas

Si X es un intervalo abierto, f: X->R una función continua en a ∈ X, se dice que f es derivable en a si existe el límite:

y es un número real (es decir, no es infinito). El valor del límite lo denominamos derivada de f en x = a, y lo representamos por f’(a), Df(a) o por df/dx (a).

Derivada por la Derecha

Si X es un intervalo, f: X -> R una función y a ∈ X, se dice que f es derivable por la derecha en a si existe el límite por la derecha y es finito:

Al valor del límite lo llamamos derivada por la derecha de f en x = a, y lo representamos por f’(a+). Es decir, la variable se aproxima al punto por la derecha, y por tanto es siempre x > a.

Derivada por la Izquierda

Si X es un intervalo, f: X ->... Continuar leyendo "Derivadas y Teoremas de Rolle, Cauchy y Valor Medio: Conceptos Básicos" »

Derivada por Definición de Límite

La derivada de una función f(x) se define formalmente mediante el límite:

lim_h→0   ^{f(x+h) - f(x)}⁄_h

Ejemplo Práctico: Derivación de f(x) = x² + x - 3

Aplicaremos la definición de límite para encontrar la derivada de f(x) = x² + x - 3:

lim_h→0   ^{((x+h)2 + (x+h) - 3) - (x2 + x - 3)}⁄_h

Expandimos el término (x+h)² y simplificamos:

lim_h→0   ^{(x2 + 2xh + h2 + x + h - 3 - x2 - x + 3)}⁄_h

Agrupamos y cancelamos términos:

lim_h→0   ^{(2xh + h2 + h)}⁄_h

Factorizamos h en el numerador y simplificamos:

lim_h→0   ^{h(2x + h + 1)}⁄_h

Esto nos deja con:

2x + h + 1

Finalmente, sustituimos h = 0 en la expresión resultante:

2x + 0 + 1 = 2x + 1

Por lo tanto, la derivada de f(x) = x² + x - 3 es f'(x) = 2x + 1.

Ecuación de

Ejercicios de Probabilidad Resueltos de Selectividad (2006-2011)

A continuación, se presentan una serie de ejercicios de probabilidad tomados de exámenes de Selectividad de diferentes años, desde 2006 hasta 2011. Estos problemas cubren una variedad de temas dentro del campo de la probabilidad, incluyendo sucesos aleatorios, probabilidad condicionada, sucesos independientes y más.

Año 2011

• En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y…
• Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene…
• Un examen consta de una parte teórica y una parte…
• Pedro vive en una ciudad donde el 40% de…
• Sean los sucesos, A y B, tales que…
• Una compañía aseguradora realiza operaciones de…
• Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda…
• Una

Combinatoria: Fundamentos y Conceptos Clave

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se dedica a obtener todas las agrupaciones posibles de un conjunto de elementos.

Principios Fundamentales de la Combinatoria

• Principio de Multiplicación

  El principio de multiplicación establece el número de maneras distintas de realizar varias tareas sucesivas e independientes.

• Permutación

  La permutación de un número natural n (n ≥ 1), representada por n!, es el producto de todos los números enteros positivos desde n hasta 1. Para n = 0, se define 0! = 1.

• Permutación de n Elementos

  Las permutaciones de n elementos son las n! maneras diferentes de ordenar dichos elementos (P_n).

• Variaciones (Números Combinatorios)

  El número de maneras de elegir ordenadamente

Rangos:

Sistema compatible determinado:

Única solución.

Sistema compatible indeterminado:

Infinitas soluciones (se utilizan parámetros para resolverlos).

Sistema incompatible:

Sin solución.

- Rg(A) = Rg(A´) = nº incognitas => Compatible Determinado.

- Rg(A) = Rg(A´) < nº incognitas => Compatible Indeterminado.

- Rg(A) diferente a Rg(A´) => Incompatible.

Problemas de programación lineal:

1. Sacar incógnitas.
2. Sacar función objetivo (casi siempre es el dinero).
3. Restricciones: son inecuaciones, x + 2y <= total, hay varias restricciones. Juntar algodón con algodón. Siempre hay dos restricciones que son: x >= 0 e y >= 0.
4. Dibujar y sacar los vértices.
5. Hallar el área con los sistemas.
6. Sustituir en la función para saber si es máximo

Fundamentos de Matemáticas

Funciones

f(x) = [x] (b) es una función valor absoluto
f(x) = √x (i) es una función radical
f(x) = 1/x (a) es una función racional
f(x) = x² (c) es una función cuadrática

Dominio de Funciones

La función f(x) = √(x-3) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≥ 3 }
La función f(x) = (x-2)/(x-9) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≠ 9 }

Propiedades de Funciones

• La gráfica de la función logarítmica pasa por el punto (1,0)
• El recorrido de la función exponencial f(x) = a^x es el intervalo (0 , ∞)
• El recorrido de la función seno es el intervalo [ -1,1]
• Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Logaritmos

Ejercicios de Logaritmos

Ejercicio 1

El log_1/49 -2 ¿cuál es el valor... Continuar leyendo "Fundamentos de Matemáticas: Funciones, Logaritmos y Geometría Analítica" »

Introducción a las Funciones Reales de Variable Real

Se llama función real de variable real a una aplicación de un subconjunto de los números reales en los números reales.

Dominio y Recorrido de una Función

• Dominio de una función (Dom f): Es el subconjunto formado por todos los números reales para los que se puede hallar la imagen de la función f.
• Recorrido de una función: Se llama recorrido de la función al subconjunto de los números reales formado por todas las imágenes de la función.

Simetría de las Funciones

Una función es par o simétrica respecto al eje Y cuando verifica f(x) = f(-x) para todo x ∈ Dom f.

Se dice que una función es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas si f(x) = -f(-x) para todo x ∈ Dom f.... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Funciones Matemáticas: Dominio, Simetría y Derivadas" »

Ciertos papeles se adaptan a ciertos grados de lápiz. El papel liso, satinado y Bristol responde bien a las mismas blandas, mientras que el papel con textura, aspero, de acuarela e Ingres reciben mejor las minas duras. El lápiz puede resultar muy efectivo en papel de color. Si no se encuentra el color deseado, se le puede colorear con un lavado de acuarela. Dentro de las calidades profesionales, el papel de dibujo a lápiz se fabrica en acabados satinados, de grano fino, de grano medio y verjurado. Los papeles satinados, de grano casi imperceptible, prensados en caliente proporcionan una gran gama de grises y dan muy buen resultado en los fundidos y difuminados al trabajar.

Tipos de papel

• Ingres: tiene trama de tejido y textura semirugosa.
• De