Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Estimadores de Parámetros Poblacionales

Supongamos que tenemos una población con función de densidad f(x, O), en donde O es el parámetro desconocido. Consideramos tres estimadores O1, O2 y O3 del parámetro O, basados en muestras aleatorias del mismo tamaño. Las distribuciones de los tres estimadores son las que aparecen en el gráfico, donde se observa que las distribuciones correspondientes a O1 y O3 tienen como media el parámetro poblacional o. Es decir, ambos estimadores O1 y O3 son insesgados. Sin embargo, la distribución de O2 es sesgada, ya que tiene un sesgo positivo, pues su media es mayor que el parámetro poblacional.

Varianza de los Estimadores

En cuanto a la varianza de los tres estimadores, se observa que la más pequeña... Continuar leyendo "Estimadores de Parámetros Poblacionales: Comparativa entre Tests de Pearson y Kolmogorov-Smirnov" »

Ecuaciones de la Recta en el Espacio

Una recta r en el espacio tridimensional queda determinada por un punto P(P_x, P_y, P_z) por el que pasa y un vector director v(v_x, v_y, v_z) que indica su dirección.

Tipos de Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial: Representa cualquier punto (x, y, z) de la recta como la suma del punto P y un múltiplo escalar (λ) del vector director.

  (x, y, z) = (Px, Py, Pz) + λ(vx, vy, vz)

• Ecuaciones Paramétricas: Se obtienen descomponiendo la ecuación vectorial en sus componentes.

  x = Px + λvx
y = Py + λvy
z = Pz + λvz

• Ecuación Continua: Se obtiene despejando el parámetro λ en las ecuaciones paramétricas e igualando (válida si v_x, v_y, v_z son distintos de cero).

  (x - Px) / vx = (y - Py) / vy = (z - Pz) / vz

• Ecuación

Resumen de Fórmulas Fundamentales de Física

Este compendio reúne las ecuaciones clave de las principales áreas de la física, optimizado para una consulta rápida y eficiente.

Campo Gravitatorio

Fuerza y Campo

• Fuerza Gravitatoria: $\vec{F} = -\frac{G M m}{r^2} \vec{u}_r$
• Intensidad del Campo Gravitatorio: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$
• Relación entre $G M$ y gravedad superficial: $G M = g_0 R^2$

Leyes de Kepler y Movimiento Orbital

• Momento Angular: $L = r \cdot p$, donde $p = m \cdot v$. (Conservación: $L_a = L_b$)
• Velocidad Orbital (Circular): $V = \sqrt{\frac{G M_p}{R}}$
• Tercera Ley de Kepler: $\frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2}$ (Constante)

Energía

• Energía Potencial Gravitatoria: $E_p = -\frac{G M m}{r}$
• Potencial Gravitatorio: $V_g = \

Suma

Para realizar una suma, sigue estos pasos:

1. Escribe los sumandos uno debajo de otro, de manera que las unidades del mismo orden de los diferentes números queden situadas en la misma columna.
2. Traza una raya horizontal debajo del último sumando.
3. Suma las cifras que se encuentran en la columna de la derecha.
4. Si el resultado de la suma es menor que 10, escribe el resultado en dicha columna debajo de la raya y pasa a sumar la columna siguiente.
5. Si el resultado de la suma es mayor o igual que 10, escribe las unidades en la columna y la cifra de las decenas se añade a la suma de la columna siguiente.
6. Continúa el procedimiento hasta llegar a la última columna. El resultado de sumar la última columna se escribe íntegro debajo de la raya.
7. El número

Conceptos Básicos de Derivadas

Si X es un intervalo abierto, f: X->R una función continua en a ∈ X, se dice que f es derivable en a si existe el límite:

y es un número real (es decir, no es infinito). El valor del límite lo denominamos derivada de f en x = a, y lo representamos por f’(a), Df(a) o por df/dx (a).

Derivada por la Derecha

Si X es un intervalo, f: X -> R una función y a ∈ X, se dice que f es derivable por la derecha en a si existe el límite por la derecha y es finito:

Al valor del límite lo llamamos derivada por la derecha de f en x = a, y lo representamos por f’(a+). Es decir, la variable se aproxima al punto por la derecha, y por tanto es siempre x > a.

Derivada por la Izquierda

Si X es un intervalo, f: X ->... Continuar leyendo "Derivadas y Teoremas de Rolle, Cauchy y Valor Medio: Conceptos Básicos" »

Derivada por Definición de Límite

La derivada de una función f(x) se define formalmente mediante el límite:

lim_h→0   ^{f(x+h) - f(x)}⁄_h

Ejemplo Práctico: Derivación de f(x) = x² + x - 3

Aplicaremos la definición de límite para encontrar la derivada de f(x) = x² + x - 3:

lim_h→0   ^{((x+h)2 + (x+h) - 3) - (x2 + x - 3)}⁄_h

Expandimos el término (x+h)² y simplificamos:

lim_h→0   ^{(x2 + 2xh + h2 + x + h - 3 - x2 - x + 3)}⁄_h

Agrupamos y cancelamos términos:

lim_h→0   ^{(2xh + h2 + h)}⁄_h

Factorizamos h en el numerador y simplificamos:

lim_h→0   ^{h(2x + h + 1)}⁄_h

Esto nos deja con:

2x + h + 1

Finalmente, sustituimos h = 0 en la expresión resultante:

2x + 0 + 1 = 2x + 1

Por lo tanto, la derivada de f(x) = x² + x - 3 es f'(x) = 2x + 1.

Ecuación de

Ejercicios de Probabilidad Resueltos de Selectividad (2006-2011)

A continuación, se presentan una serie de ejercicios de probabilidad tomados de exámenes de Selectividad de diferentes años, desde 2006 hasta 2011. Estos problemas cubren una variedad de temas dentro del campo de la probabilidad, incluyendo sucesos aleatorios, probabilidad condicionada, sucesos independientes y más.

Año 2011

• En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y…
• Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene…
• Un examen consta de una parte teórica y una parte…
• Pedro vive en una ciudad donde el 40% de…
• Sean los sucesos, A y B, tales que…
• Una compañía aseguradora realiza operaciones de…
• Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda…
• Una

Combinatoria: Fundamentos y Conceptos Clave

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se dedica a obtener todas las agrupaciones posibles de un conjunto de elementos.

Principios Fundamentales de la Combinatoria

• Principio de Multiplicación

  El principio de multiplicación establece el número de maneras distintas de realizar varias tareas sucesivas e independientes.

• Permutación

  La permutación de un número natural n (n ≥ 1), representada por n!, es el producto de todos los números enteros positivos desde n hasta 1. Para n = 0, se define 0! = 1.

• Permutación de n Elementos

  Las permutaciones de n elementos son las n! maneras diferentes de ordenar dichos elementos (P_n).

• Variaciones (Números Combinatorios)

  El número de maneras de elegir ordenadamente

Rangos:

Sistema compatible determinado:

Única solución.

Sistema compatible indeterminado:

Infinitas soluciones (se utilizan parámetros para resolverlos).

Sistema incompatible:

Sin solución.

- Rg(A) = Rg(A´) = nº incognitas => Compatible Determinado.

- Rg(A) = Rg(A´) < nº incognitas => Compatible Indeterminado.

- Rg(A) diferente a Rg(A´) => Incompatible.

Problemas de programación lineal:

1. Sacar incógnitas.
2. Sacar función objetivo (casi siempre es el dinero).
3. Restricciones: son inecuaciones, x + 2y <= total, hay varias restricciones. Juntar algodón con algodón. Siempre hay dos restricciones que son: x >= 0 e y >= 0.
4. Dibujar y sacar los vértices.
5. Hallar el área con los sistemas.
6. Sustituir en la función para saber si es máximo