Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Bolzano

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

El teorema establece que si los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) de una función continua están en diferentes lados del eje OX, entonces la gráfica de la función corta al eje OX en al menos un punto. Si consideramos la ecuación f(x) = 0, con f en las hipótesis de Bolzano, el teorema garantiza la existencia de al menos una solución (raíz) de la ecuación en el intervalo (a, b).

El teorema de Bolzano garantiza que al menos existe un punto que cumple que f(c) = 0, pero no dice que ese punto sea único; puede darse el... Continuar leyendo "Teoremas Clave del Cálculo Diferencial e Integral: Aplicaciones y Demostraciones" »

Funcions: Estudi de la Continuïtat

1. Estudia la continuïtat de la funció següent en els punts x=0 i x=1:

Per estudiar la continuïtat, s'han de complir tres condicions:

1. Existeix f(x₀)
2. Existeix el límit quan x tendeix a x₀ per la dreta i per l'esquerra i coincideixen: x→x₀⁺ f(x) = x→x₀^- f(x)
3. El límit quan x tendeix a x₀ coincideix amb f(x₀): x→x₀ f(x) = f(x₀)

Per x=0: Discontinuïtat de salt

1. f(0) = (0-3)/(0-1) = 3
2. x→0⁺ (x-3)/(x-1) = 3
   x→0^- (x²-2x)/(3x²-x) = x→0^- x(x-2)/[x(3x-1)] = (0-2)/(0-1) = 2

Com que els límits laterals no coincideixen, no existeix el límit quan x tendeix a 0.

Per x=1: Discontinuïtat asimptòtica

1. f(1) = (2·1+1)/(1+2) = 1
2. x→1⁺ (2x+1)/(x+2) = 1
   x→1^- (x-3)/(x-1) = -2/0 = -∞

Com que els límits laterals no... Continuar leyendo "Funcions, Límits i Derivades: Exercicis Resolts" »

Propiedades de las Funciones Continuas

Una función f(x) es continua en un punto 'a' si se cumplen tres condiciones:

1. f(a) existe (el punto 'a' está en el dominio de f).
2. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' existe (los límites laterales son iguales).
3. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' es igual a f(a).

Algunas propiedades importantes:

• Las funciones polinómicas son continuas en todo R.
• Las funciones racionales son continuas en todo R excepto en los puntos que anulan el denominador.
• Las funciones irracionales (raíces) son continuas en su dominio.
• Las funciones exponenciales son continuas en todo R.
• Las funciones logarítmicas son continuas en (0, +∞).
• Las funciones elementales son continuas en su dominio.
• Si f(x) es continua en x=a y g(x) es

Biografía de Thomas Bayes

Thomas Bayes (Londres, Inglaterra, ~1702 - Tunbridge Wells, 1761) fue un matemático británico. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente, De Moivre, autor del afamado libro La doctrina de las probabilidades, fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado, al igual que su padre, como ministro disidente, y en 1731 se convirtió en reverendo de la iglesia presbiteriana en Tunbridge Wells; aparentemente trató de retirarse en 1749, pero continuó ejerciendo hasta 1752, y permaneció en ese lugar hasta su muerte.

El Teorema de Bayes y la Probabilidad Inversa

Estudió el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de... Continuar leyendo "Thomas Bayes: Biografía y Teorema Fundamental en Probabilidad" »

Geometría y Análisis de Funciones

Puntos, Rectas y Planos

Alineación de tres puntos (A, B, C): Se verifica si los vectores AB y AC son proporcionales. Esto se hace comprobando si las razones (x2-x1)/(x3-x1), (y2-y1)/(y3-y1) y (z2-z1)/(z3-z1) son iguales. Si todas las razones son iguales, los puntos están alineados.

Punto medio (PM) de un segmento AB: PM = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)

Punto simétrico de A respecto a PM: B = PM + (PM - A)

Posiciones relativas de rectas

• Vectores directores proporcionales: Las rectas son paralelas o coincidentes.
• Coincidentes: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro resultante es el mismo.
• Paralelas: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro

Estudio de Funciones: Pasos Esenciales

1. Dominio

   Determinar el conjunto de valores para los cuales la función está definida.

2. Puntos de corte con los ejes

   • Eje OY (Ordenadas): Calcular f(0). El punto de corte es (0, f(0)), si 0 pertenece al dominio.
   • Eje OX (Abscisas): Resolver la ecuación f(x) = 0. Las soluciones son las abscisas de los puntos de corte (x, 0).

3. Regiones (Signo de la función)

   Estudiar el signo de f(x) en los intervalos definidos por los puntos de corte con el eje OX y los puntos fuera del dominio.

4. Simetrías

   • Función Par (Simetría respecto al eje OY): Si f(x) = f(-x) para todo x en el dominio.
   • Función Impar (Simetría respecto al origen): Si f(-x) = -f(x) para todo x en el dominio.

5. Periodicidad

   Una función es periódica, de período T

Conceptos Clave de Matemáticas

Operaciones Matemáticas

• Cuadrado de una suma:
• Cuadrado de una diferencia:
• Suma por diferencia:
• Decimal exacto: cuando el número de cifras decimales es infinito.
• Números: Naturales (N); Enteros (Z) (-2, -1, 0, +1, +2); Racionales (Q): {?; ¾, etc. además de los N y Z}; Irracionales (R) {? y los anteriores}.
• Error absoluto: E = N - n;
• Error relativo:

Logaritmos

• Logaritmo: En base positiva y distinta de uno, de número x, a otro número y que es el exponente al que hay que elevar la base (a) para reproducir el número dado x; se escribe:
• Logaritmo de un producto:
• Logaritmo de un cociente:
• Logaritmo de una potencia:
• Logaritmo de una raíz:

Porcentajes

• Para aumentar: C + 0,08 x C = (1 + 0,08) x C = 1,08 x C
• Para disminuir: C -

Conceptos Clave de Cálculo

Asíntotas

• Asíntota Horizontal (AH): Se define como y = nº, donde nº es el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito.
• Asíntota Vertical (AV): Se define como x = nº, donde nº es un valor que no pertenece al dominio de la función y el límite de la función cuando x tiende a ese valor es infinito.
• Asíntotas Oblicuas (AO): Si existe una asíntota horizontal, no puede haber una asíntota oblicua. Para calcularla:
  • m es igual al límite de la función dividida por x cuando x tiende a infinito.
  • n es igual al límite de la función menos mx cuando x tiende a infinito.

Continuidad

Una función es continua en un punto a si el límite de la función cuando x tiende a a por la derecha (a+) es igual al límite... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Cálculo: Asíntotas, Continuidad, Derivabilidad y Optimización" »

Divisió de Polinomis

Es posa en forma de divisió de tota la vida. Es busca un número que multiplicat pel primer que divideix doni el primer número de l'esquerra. Aquest número que trobem el multipliquem pels altres dos números que divideixen i els anem apuntant. Fem la resta dels números que hem obtingut amb els del principi. Anem repetint afegint números fins arribar a grau 2.

Ruffini

Dividir pel número que et donen canviant de signe (el de fora de la caixa). Es baixa el primer número i es multiplica pel de fora de la caixa i es fica el resultat a la dreta. Se suma el que hem posat amb el de dalt i anotem el resultat a baix, i així amb tots.

Arrel d'un Polinomi

Passar d'un polinomi fins a grau 1. Diverses solucions. Primer s'iguala a... Continuar leyendo "Divisió de Polinomis, Ruffini i Factorització: Guia Completa" »

Conceptos Fundamentales de Álgebra

Sistemas de Ecuaciones con Dos Incógnitas

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede representar rectas que se comportan de las siguientes maneras:

• Se cortan en un punto.
• Son coincidentes (misma pendiente y ordenada en el origen).
• Son paralelas (misma pendiente, diferente ordenada en el origen).

Por lo tanto, el conjunto solución puede tener:

• Un solo punto (sistema compatible determinado).
• Infinitos puntos (sistema compatible indeterminado).
• Ningún punto (sistema incompatible).

En resumen, los sistemas se clasifican en:

• Compatibles
  • Determinados (un punto de intersección, perpendiculares).
  • Indeterminados (infinitos puntos).
• Incompatibles (paralelas, sin punto de solución).

Cuadrado y Cubo de Binomios

• Cuadrado