Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

1. Operaciones Fundamentales con Vectores: Ortogonalidad, Unitarios y Módulo

a) Determinar el valor de b para que los vectores u(3,b) y v(2,-1) sean ortogonales.

Dos vectores u y v son ortogonales si su producto escalar es cero (u · v = 0).

Dado u = (3,b) y v = (2,-1):

u · v = (3)(2) + (b)(-1) = 0
6 - b = 0
b = 6

b) Calcular un vector unitario en la misma dirección que v.

El vector dado es v = (2,-1).

Primero, calculamos el módulo (magnitud) de v:

|v| = √(2² + (-1)²) = √(4 + 1) = √5

Un vector unitario w en la misma dirección que v se obtiene dividiendo v por su módulo:

w = (1/|v|) · v = (1/√5) · (2,-1) = (2/√5, -1/√5)

Para verificar que es unitario, calculamos su módulo:

|w| = √((2/√5)² + (-1/√5)²) = √((4/5) + (1/5)) = √(... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Geometría Vectorial y Rectas en el Plano" »

Teoría

1. ¿Qué comprende la estadística descriptiva?
2. Dé el concepto de variable aleatoria y clasifique su recorrido y escala.
3. ¿Cuál es la importancia del CV% (coeficiente de variación)?
4. ¿Qué entiende por distribución normal estándar? ¿Qué características presenta?
5. ¿Qué comprende la teoría de la estimación puntual? Dé su significado.
6. ¿Cómo definiría lo que es una hipótesis estadística? ¿Qué es la región crítica y la región de aceptación? ¿Cómo se interpretan los errores de tipo I y tipo II? ¿Qué representan α y β?
7. ¿Qué comprende la teoría de la estimación puntual? Clasifíquelos.
8. Hipótesis estadística: ¿qué es?
   • ¿Qué es la región crítica y la de aceptación?
   • ¿Cómo se interpretan los errores de tipo I y tipo

Conceptos Clave en el Estudio de Funciones

Asíntotas

Las asíntotas son líneas a las cuales la gráfica de una función se acerca indefinidamente sin llegar a cruzarlas (o cruzándolas en un número finito de puntos).

Asíntota Vertical (AV)

• Definición: Una asíntota vertical existe en x = k, donde k es un valor que no pertenece al dominio de la función.
• Cálculo: Se determinan calculando los límites laterales de la función cuando x tiende a k. Si lim (x→k⁻) f(x) = ±∞ o lim (x→k⁺) f(x) = ±∞, entonces x = k es una asíntota vertical.

Asíntota Horizontal (AH)

• Definición: Una asíntota horizontal existe en y = k.
• Cálculo: Se determina calculando los límites de la función cuando x tiende a +∞ y -∞. Si lim (x→+∞) f(x) =

Datos No Agrupados

Cuando el tamaño de la muestra es menor a 30, los datos pueden tratarse individualmente.

Datos Agrupados

Cuando la muestra es grande (n mayor que 30) resulta conveniente organizar los datos en intervalos de clase para construir su distribución de frecuencias.

Denotemos con K al número de intervalos de clase y con C su tamaño; utilizaremos la Regla de Sturges:

K = 1 + 3.322 log(n)

Como K debe ser un número entero, se redondea.

Para determinar el tamaño del intervalo, una vez que conocemos el número de intervalos de clase, se aplica la siguiente relación:

C = Rango/K

Como C debe ser un número entero, se redondea.

Tomemos el dato menor como el límite inferior del primer intervalo (aunque existen otros criterios, este es el más... Continuar leyendo "Análisis de Datos Agrupados y No Agrupados" »

Conceptos Fundamentales de Geometría y Estadística

Este documento presenta una recopilación de definiciones esenciales y propiedades clave en el ámbito de la geometría, abarcando polígonos, triángulos y ángulos, así como nociones básicas de estadística. Es una referencia concisa para estudiantes y entusiastas de las matemáticas.

Polígonos y sus Elementos

• Polígono Regular: Figura geométrica con todos sus lados y ángulos iguales.
• Polígono Irregular: Figura geométrica donde no todos sus lados ni ángulos son iguales.
• Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
• Apotema: Segmento perpendicular que va del centro de un polígono regular al punto medio de uno de sus lados.
• Radio (de un polígono regular): Segmento

Aplicaciones y Ejemplos

Tableta

• I(X) = -0.0015X² + 66
• Escribir el ingreso como función del precio de ventas y luego buscar el máximo de la función pidiendo que I(X) sea 0.
• ¿A qué precio venderlas para obtener el máximo ingreso posible?
• 22.000

Número de Personas

• Red social: r(t) = -2(t-3)² + 23
• 109
• Número de personas en un *shopping*: p(t) = 1920 - 160t. ¿En 5 horas?
• 60 + ∫₅¹⁰ p'(t) dt
• ¿En 6 horas?
• 90 + ∫₅⁹ p'(t) dt

Caída Libre

• Para 2,04 ≤ T ≤ 4,91
• Altura: 81,2 m
• La función derivada de la función g(x) que representa...

Venta de Bebidas

• 114 y 46

Distribución Roma

• ∫₀⁶⁰⁰ [𝑓(𝑞) − 𝑝₀] dq =
• $9000
• g(q) = f(q)

Funciones

• De la función f(x) = (2/3)x³ – 2x² podemos decir que: Tiene un máximo relativo en (0,0) y un mínimo relativo en (2,

Problema 1: Suma y diferencia de dos números

¡Los dos tercios de la suma de dos números son 74 y los tres quintos de su diferencia son 9!

Problema 2: Relación entre un número mayor y uno menor

Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor, la suma es 316; y si a 9 veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar tales números.

POBLACIÓN FINITA número de elementos se pueden contar o saber su fin

POBLACIÓN INFINITA número de elementos no se puede contar o saber su fin

VARIABLE CUALITATIVA no se puede medir numéricamente (nacionalidad, sexo, estado civil, color de piel y ojos)

CUALITATIVA ORDINAL tiene un orden (ganadores 1º, 2º y 3º lugar)

CUALITATIVA NOMINAL tiene una condición específica(sexo, masculino o femenino. Carrera, derecho, medicina, gastronomía)

VARIABLE CUANTITATIVA tiene valor númerico (edad, precio, ingresos anuales, peso, temperatura)

CUANTITATIVA DISCRETA  tiene valores enteros (1,2,8,-4)

CUANTITATIVA CONTINUA toma cualquier valor, entero o fracción (litros de leche, 1.5, 2.5, 10.3)

DIAGRAMA VEEN U=uníón (suma) ∩= elementos que se

1) Ecuaciones de la Recta

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · v1
  y = a2 + t · v2
  z = a3 + t · v3 }

• Continua: (x - a₁) / v₁ = (y - a₂) / v₂ = (z - a₃) / v₃

Intersección de Dos Planos (Forma Implícita de la Recta)

Una recta puede definirse como la intersección de dos planos:

{ A x + B y + C z + D = 0
A' x + B' y + C' z + D' = 0 }

2) Ecuaciones del Plano

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y dos vectores directores no paralelos →u = (u₁, u₂, u₃) y →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (u₁, u₂, u₃) + s · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · u1 + s · v1
  y = a2 + t · u2 + s · v2
  z = a3 + t · u3 + s · v3

Grafikoaren deskribapena

1913tik 1924ra bitartean, Espainian izandako grebalarien kopuruaren bilakaera zehatza aztertzen dugu. Grafiko mota hau lineala, sinplea eta izaera sozioekonomikoa du. Historia liburu batetik aterata dagoenez, publikoa da eta historiazaleei zuzenduta dago. Bigarren mailako iturri historikoa da. Bertikalki grebalarien kopurua agertzen zaigu, hamar milaka; horizontalki, aztertutako urteak.

Datu garrantzitsuenak honakoak dira: gorabeherak izan arren, bi aldi desberdin agertzen dira. Batetik, grebalarien kopurua handitzen doan aldia, eta bestetik, orokorrean beherantz doan etapa. Bi etapetan, segida aldatzen duten gorabeherak agertzen dira. Punturik altuena 1920an gertatzen da, 250.000 grebalari inguru agertzen direlarik;... Continuar leyendo "Greba Mugimendua Espainian (1913-1924): Analisia eta Testuingurua" »