Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

1) Ecuaciones de la Recta

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · v1
  y = a2 + t · v2
  z = a3 + t · v3 }

• Continua: (x - a₁) / v₁ = (y - a₂) / v₂ = (z - a₃) / v₃

Intersección de Dos Planos (Forma Implícita de la Recta)

Una recta puede definirse como la intersección de dos planos:

{ A x + B y + C z + D = 0
A' x + B' y + C' z + D' = 0 }

2) Ecuaciones del Plano

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y dos vectores directores no paralelos →u = (u₁, u₂, u₃) y →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (u₁, u₂, u₃) + s · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · u1 + s · v1
  y = a2 + t · u2 + s · v2
  z = a3 + t · u3 + s · v3

Grafikoaren deskribapena

1913tik 1924ra bitartean, Espainian izandako grebalarien kopuruaren bilakaera zehatza aztertzen dugu. Grafiko mota hau lineala, sinplea eta izaera sozioekonomikoa du. Historia liburu batetik aterata dagoenez, publikoa da eta historiazaleei zuzenduta dago. Bigarren mailako iturri historikoa da. Bertikalki grebalarien kopurua agertzen zaigu, hamar milaka; horizontalki, aztertutako urteak.

Datu garrantzitsuenak honakoak dira: gorabeherak izan arren, bi aldi desberdin agertzen dira. Batetik, grebalarien kopurua handitzen doan aldia, eta bestetik, orokorrean beherantz doan etapa. Bi etapetan, segida aldatzen duten gorabeherak agertzen dira. Punturik altuena 1920an gertatzen da, 250.000 grebalari inguru agertzen direlarik;... Continuar leyendo "Greba Mugimendua Espainian (1913-1924): Analisia eta Testuingurua" »

En este documento, exploraremos los determinantes y algunas de sus propiedades fundamentales, las cuales nos serán de gran utilidad para la aplicación de la Regla de Sarrus en la resolución de sistemas de ecuaciones.

Matrices: Definición y Elementos

Una matriz es un arreglo rectangular de números o expresiones, organizados en filas y columnas, y encerrados entre paréntesis o corchetes.

Ejemplo de Matriz A:

A = [[0, -2],
     [1, -3]]

Elementos de una Matriz

Los números individuales que forman parte de la matriz se denominan elementos de la matriz. En el ejemplo de la matriz A, los elementos son 0, -2, 1 y -3.

Diagonales de una Matriz

Las líneas que conectan ciertos elementos de una matriz cuadrada se conocen como diagonales. Estas pueden... Continuar leyendo "Matrices y Determinantes: Conceptos Esenciales y Aplicación de la Regla de Sarrus" »

Glosario Esencial de Cálculo Diferencial e Integral

Cálculo Diferencial

• La razón tiende a $\frac{dy}{dx}$ tiene un límite llamado derivada: Derivada.
• Una cantidad que tiene valor fijo se llama constante: Constante.
• La variable $v$ tiende a la constante $L$: Límite.
• Puede ser derivada y así sucesivamente: Derivada sucesiva.
• Funciones que se componen de otras funciones: Funciones algebraicas.
• Cuando $x$ tiende a $0$: Fórmula de la pendiente.
• $y - y_1 = -\frac{1}{m}$: Ecuación de la normal.
• Es igual al producto de su derivada: La diferencial de $f(x)$.
• Si existe un intervalo $(a, b)$ mayor: Máximo relativo de $f$.
• Si existe un intervalo $(a, b)$ menor: Mínimo relativo de $f$.
• Separa arcos de una curva de una concavidad: Puntos de inflexión.
• En problemas

Estrategias Puras y Mixtas en Juegos de Suma Cero

Estrategias Puras

En el estudio de las estrategias puras, el procedimiento inicial consiste en calcular el mínimo de cada fila y, de esos valores mínimos, seleccionar el máximo (criterio maximin). Paralelamente, se calculan los máximos de cada columna y, de estos, se elige el mínimo (criterio minimax).

Si ambos valores coinciden, la solución indica que se sigue una estrategia pura con un punto de silla o valor de juego (X), considerándose el juego como estrictamente determinado. Las estrategias óptimas para cada jugador se definen de la siguiente manera:

• Po (J1): Se representa como un vector (0, 0, 0, 0) donde se coloca un 1 en la posición correspondiente al punto de silla.
• Qo (J2): Se procede

La transformación de primera diferencia para eliminar autocorrelación supone que el coeficiente de autocorrelación B es -1.

F: Para eliminar la autocorrelación se requiere que el coeficiente de autocorrelación sea B +1, lo que indica que las perturbaciones están correlacionadas positivamente.

En el esquema AR(1), una prueba de hipótesis b=1 puede realizarse modificando el estadístico g de Berenblutt-Webb, así como mediante el estadístico d de Durbin-Watson.

F: En la prueba d de Durbin-Watson, la hipótesis nula es que b=0. En cambio, en la prueba g de Berenblutt-Webb, la hipótesis nula es b=1. Sin embargo, para probar la significancia del estadístico g, se pueden utilizar las tablas de Durbin-Watson.

En presencia de autocorrelación,

Distribuciones de Probabilidad de Variable Continua

La distribución de probabilidad de una variable continua se define a partir del área que hay debajo de una función, la cual se denomina “función de densidad”.

Condiciones de la Función de Densidad

• No puede tomar valores negativos (f(x) ≥ 0).
• El área total bajo la curva de la función de densidad y sobre el eje X debe ser igual a 1.

Cálculo de Probabilidades en Distribuciones Continuas

• En una distribución continua, la probabilidad de cualquier valor concreto es cero (P[x=a] = 0).
• La probabilidad entre dos valores es igual al área de la función que queda entre ellos.

La Distribución Normal

Se denotará una distribución normal como N (μ, σ).

Hay muchas situaciones que siguen una distribución... Continuar leyendo "Distribuciones de Probabilidad Continua y la Distribución Normal" »

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

I. Combinatoria y Binomio de Newton

Las combinaciones son las diferentes formaciones de $n$ elementos que podemos seleccionar de $m$ elementos de un conjunto.

Afirmaciones sobre Fórmulas y Desarrollo

• El desarrollo de un binomio de Newton consta de $n+1$ términos. (Falso - F)
• Las combinaciones de $n$ en $0$ ($inom{n}{0}$) y $m$ en $m$ ($inom{m}{m}$) son iguales a $1$. (Verdadero - V)
• La expresión $m(m-1)(m-2)...(m+n)-n$ *no* es la fórmula de variación con repetición. (Falso - F)

Definiciones de Permutaciones y Variaciones

Las permutaciones son las diferentes formaciones que podemos hacer con los $m$ elementos de un conjunto.

Las permutaciones sin repetición son las diferentes formaciones que podemos hacer... Continuar leyendo "Fundamentos de Matemáticas: Definiciones Esenciales de Sucesiones, Límites e Introducción a la Combinatoria" »

La estadística es la ciencia que recopila, organiza, presenta, analiza e interpreta datos numéricos con el fin de realizar una toma de decisiones más efectiva.

División de la Estadística

La estadística se divide principalmente en dos ramas:

• Estadística Descriptiva: Tiene como objeto describir y analizar las características de un conjunto de datos, obteniéndose de esa manera conclusiones sobre las características de dicho conjunto y sobre las relaciones existentes con otras poblaciones a fin de compararlas.
• Estadística Inferencial: Se deriva de muestras, observaciones hechas solo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos, e implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. Es decir,

Asíntotas de una Hipérbola

Son dos líneas rectas a las que la hipérbola se aproxima cada vez más, pero nunca llega a interceptarlas. En el infinito, las asíntotas estarán a una distancia 0 de la hipérbola.

Qué es la Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Qué es un Lugar Geométrico

Es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones geométricas.

Qué es el Lado Recto

Es el segmento de recta comprendido por la parábola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.

Qué es un Sistema de Coordenadas Polares

Es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo.

Qué es la Pendiente

Es... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica y Matemáticas" »