Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Este documento presenta la evaluación de dos proyectos de inversión utilizando el criterio de la Tasa Interna de Retorno (TIR).

Planteamiento del Problema

Una empresa considera ampliar su gama de productos y dispone de dos proyectos de inversión diferentes:

• Proyecto A: Desembolso inicial de 170.000€ que generará un único ingreso de 210.000€ al cabo de 5 años.
• Proyecto B: Desembolso inicial de 140.000€ que generará ingresos de 70.000€ al finalizar el primer año y 80.000€ al finalizar el segundo año.

Se debe determinar qué proyecto de inversión elegiría la empresa según el criterio de selección de la TIR (Tasa Interna de Retorno), realizando las operaciones con al menos 4 decimales.

Flujos de Caja de los Proyectos

Para visualizar... Continuar leyendo "Evaluación de Proyectos de Inversión: Cálculo y Comparación con la TIR" »

Clasificación de Triángulos

Según sus Ángulos

• Acutángulos: Tienen sus tres ángulos agudos (menores de 90°).
• Rectángulos: Tienen un ángulo recto (igual a 90°). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.
• Obtusángulos: Tienen un ángulo obtuso (mayor a 90° y menor a 180°).

Líneas y Puntos Notables en un Triángulo

• Mediana: Recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. (Vértice: Punto donde se unen dos lados).
• Baricentro: Punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.
• Mediatriz: Línea perpendicular a un lado que pasa por su punto medio.
• Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices. Es el centro de la circunferencia circunscrita

Context: elaboració d'una recepta (xatonada)

Si volem adaptar els ingredients d'una recepta per a 12 persones, podem utilitzar la multiplicació. Per exemple, si la recepta original és per a 4 persones i inclou 30 ametlles, per a 12 persones necessitarem 30 x 3 = 90 ametlles. El mateix procediment es pot aplicar a la resta d'ingredients.

En aquest cas, l'infant demostra que entén la idea de sumar tres vegades o multiplicar per arribar a la quantitat necessària per a 12 persones. No obstant això, comet un error en el cas de l'all, on la recepta original indica ½ gra d'all per a 4 persones. L'infant interpreta que cal ½ gra d'all per persona, en comptes de ½ gra d'all per cada grup de 4 persones.

Aquest error es deu al fet que l'infant no... Continuar leyendo "Anàlisi de l'aprenentatge de fraccions en un infant" »

1. Abîmer: Estropear, dañar

2. Acquitter: absolver, solventar, saldar

3. Affliger: decepcionar

4. Aiguille: Aguja , de fil en aiguille: sucesivamente

5. Amer/ère: amargo/a

6. Assurer: asegurar, garantizar

7. Avoir beau+infinitif: por mucho que..., aunque

8. Avoir failli: Por poco... Il a failli avoir un accidente: Por poco tiene un accidente; J'ai failli tomber: Por poco me caigo

9. Atelier: Taller

10. Atout: Ventaja, baza, triunfo, virtud Son atout majeur c'est son expérience

11. Béat: embobado, absorto

12. Berceau (nm): cuna

13. Bitume: asfalto

14. Bosse: joroba, chichón

15. Bosser: currar, trabajar

16. Bouc émissaire: Chivo expiatorio, cabeza de turco

17. Bouche bée: boquiabierto/a

18. Bouger: Moverse

19. Boulot: curro, trabajo

20. Bouquin: libro (... Continuar leyendo "Vocabulario francés-español" »

Enseñanza de Números y Suma en Educación Primaria

Uso de Bloques Multibase para Enseñar Números (2º Primaria)

Segundo de primaria es una etapa donde los niños aprenden los números de dos cifras (10, 11, 12...). Los bloques multibase son una herramienta muy útil para que los niños visualicen y comprendan los números con mayor facilidad. Con estos bloques, disponemos de bloques compactos que representan decenas (bloques largos) y bloques individuales que representan unidades.

Es fundamental enseñarles que los bloques largos representan 10 bloques individuales, para que asimilen esta representación simbólica.

Para contar entre el 20 y el 30, partiremos de la base: 2 bloques largos equivalen a 20 unidades individuales, representando el

Problema 1: Estadio Deportivo

El perímetro a vallar medirá: 2y + 2πx/2 = 2y + πx. Para poder expresar el perímetro en función de x, hay que buscar la relación entre x e y. La relación la obtendremos a partir del valor de la superficie del estadio (10000 m²). El estadio está formado por un rectángulo y dos semicírculos:

• Rectángulo de lados x e y → A_R = xy
• Dos semicírculos de radio x/2 → A_SC = (1/2)π(x/2)² = (1/2)π(x²/4) = πx²/8

El área de los dos semicírculos será: 2πx²/8 = πx²/4

Área del estadio: xy + π/4 x², luego 1000 = xy + π/4 x². Despejamos y:

Finalmente: p(x) = 2(10000/x - π/4 x) + πx = 20000/x - π/2 x + πx = 2000/x + π/2x

b) Coste vaya: f(x) = 1.2(10000/x - π/4 x) + 2πx = 20000/x - π/2 x + 2πx = 20000/x... Continuar leyendo "Optimización de Áreas y Costos: Problemas Resueltos" »

Cosinus angle suma: cos(?+?)=cos?·cos?-sin?·sin?

Cosinus angle diferencia: cos(?-?)cos(?+(-?))=cos?·cos(-?) - sin?·sin(-?)=cos?·cos? + sin?·sin?.

Sinus angle suma: sin(?+?) cos(90º-(?+?))=cos((90-?)-?)=cos(90-?)·cos? + sin(90-?)·sin?=sin?·cos?+cos?·sin?

Sinus angle resta: sin(?-?)=sin(?+(-?))=sin?·cos(-?) - cos?·sin(-?)=sin?·cos? - cos?·sin?.

Tangent angle suma: tg(?+?) = [sin?+?]/[(cos(?+?)= [sin?·cos? + cos?·sin?]/[cos?·cos? - sin?·sin?],  dividint num i deno. x: cos?·cos? i simplfcnt= [tg?+tg?]/[1-tg?·tg?]

Tangent angle diferencia: cal subst. angle ?, per: (-?)--> tg(?-?)= tg(?+(-?)=[tg?·tg(-?)]/[1-tg?·tg(-?)]= [tg?-tg?]/[1+tg?·tg?]. Angle Doble: sinus: sin2?=sin(?+?)=sin?·cos? + cos?·sin?=2·sin?·cos?; cosinus:

Integrales Fundamentales

• ∫ k dx = kx + c

• ∫ (1/x) dx = ln|x| + c

• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c (para n ≠ -1)

• ∫ e^x dx = e^x + c

• ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + c (para a > 0 y a ≠ 1)

• ∫ sen(x) dx = -cos(x) + c

• ∫ cos(x) dx = sen(x) + c

• ∫ sec²(x) dx = tan(x) + c

• ∫ csc²(x) dx = -cot(x) + c

• ∫ tan(x) sec(x) dx = sec(x) + c

• ∫ cot(x) csc(x) dx = -csc(x) + c

• ∫ (1/√(1-x²)) dx = arcsen(x) + c

• ∫ (1/(1+x²)) dx = arctan(x) + c

• ∫ (1/(|x|√(x²-1))) dx = arcsec(x) + c

Identidades Trigonométricas Esenciales

• sen²(x) + cos²(x) = 1

• 1 + tan²(x) = sec²(x)

• 1 + cot²(x) = csc²(x)

• tan(x) = sen(x) / cos(x)

• csc(x) = 1 / sen(x)

• sec(x) = 1 / cos(x)

• cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sen(x)

• sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)

• cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

• sen(a - b)

Ecuaciones Fundamentales en Geometría Vectorial

Ecuación de la Recta

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3)
• Forma Paramétrica:
  • x = a1 + v1λ
  • y = a2 + v2λ
  • z = a3 + v3λ
• Forma Continua: (x-a1)/v1 = (y-a2)/v2 = (z-a3)/v3
  • Nota: Para pasar de la forma paramétrica a la continua, se cambian los signos de las coordenadas del punto (a1, a2, a3).
  • Consideración: En la forma continua, si un numerador no tiene término (ej. x-0), se asume 0. Si un denominador es 0 (ej. /0), la variable correspondiente no varía, y la ecuación se expresa como un sistema de dos planos. Si un denominador no tiene término (ej. /1), se asume 1.

Ecuación del Plano

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3) + ω(u1,u2,u3)
• Forma Implícita (General): Ax+By+Cz+D=