Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Clave de Cálculo

Asíntotas

• Asíntota Horizontal (AH): Se define como y = nº, donde nº es el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito.
• Asíntota Vertical (AV): Se define como x = nº, donde nº es un valor que no pertenece al dominio de la función y el límite de la función cuando x tiende a ese valor es infinito.
• Asíntotas Oblicuas (AO): Si existe una asíntota horizontal, no puede haber una asíntota oblicua. Para calcularla:
  • m es igual al límite de la función dividida por x cuando x tiende a infinito.
  • n es igual al límite de la función menos mx cuando x tiende a infinito.

Continuidad

Una función es continua en un punto a si el límite de la función cuando x tiende a a por la derecha (a+) es igual al límite... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Cálculo: Asíntotas, Continuidad, Derivabilidad y Optimización" »

Bigarren Industria Iraultza: Garapena eta Eragina

Bigarren Industria Iraultza, 1870etik 1914ra bitartean, aurrekaririk gabeko garapena izan zuen industriaren eta finantzen sektoreetan. Bigarren Industria Iraultzan izandako arrakastaren arrazoietako bat oinarrizko garapen zientifikoa izan zen. Matematika, fisika eta antzeko arloetan garapen handiak izan ziren.

Energia-iturri Berriak

Elektrizitatea eta petrolioa finkatu ziren energia-iturri gisa, eta ikatzarekin eta lurrun-makinarekin lehiatu ziren. Grammek dinamoa asmatu zuen 1872an, Edisonek bonbilla asmatu zuen, eta Bellek telefonoa asmatu zuen. Industriaren sektorean petrolioa ezartzea ere mantso gertatu zen, autoaren garapenari lotuta.

Puntako Sektore Berriak

Siderurgia eta metalurgia garatu... Continuar leyendo "Bigarren Industria Iraultza: Garapena eta Eragina (1870-1914)" »

Condiciones de Optimización en Cálculo Multivariable

Condición Suficiente de Optimalidad (Criterio de la Segunda Derivada)

Si para una función escalar f, se cumple que:

• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida positiva, entonces f tiene un mínimo local en a.
• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida negativa, entonces f tiene un máximo local en a.

Optimización Convexa

Una función f es convexa en un conjunto A si para cualquier x, y en A y cualquier λ en [0, 1], se cumple:

f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)

Teoría Local-Global

Sea A un conjunto convexo y f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ una función escalar. Se verifica que:

• Si f es cóncava, entonces todo

Divisió de Polinomis

Es posa en forma de divisió de tota la vida. Es busca un número que multiplicat pel primer que divideix doni el primer número de l'esquerra. Aquest número que trobem el multipliquem pels altres dos números que divideixen i els anem apuntant. Fem la resta dels números que hem obtingut amb els del principi. Anem repetint afegint números fins arribar a grau 2.

Ruffini

Dividir pel número que et donen canviant de signe (el de fora de la caixa). Es baixa el primer número i es multiplica pel de fora de la caixa i es fica el resultat a la dreta. Se suma el que hem posat amb el de dalt i anotem el resultat a baix, i així amb tots.

Arrel d'un Polinomi

Passar d'un polinomi fins a grau 1. Diverses solucions. Primer s'iguala a... Continuar leyendo "Divisió de Polinomis, Ruffini i Factorització: Guia Completa" »

Conceptos Fundamentales de Álgebra

Sistemas de Ecuaciones con Dos Incógnitas

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede representar rectas que se comportan de las siguientes maneras:

• Se cortan en un punto.
• Son coincidentes (misma pendiente y ordenada en el origen).
• Son paralelas (misma pendiente, diferente ordenada en el origen).

Por lo tanto, el conjunto solución puede tener:

• Un solo punto (sistema compatible determinado).
• Infinitos puntos (sistema compatible indeterminado).
• Ningún punto (sistema incompatible).

En resumen, los sistemas se clasifican en:

• Compatibles
  • Determinados (un punto de intersección, perpendiculares).
  • Indeterminados (infinitos puntos).
• Incompatibles (paralelas, sin punto de solución).

Cuadrado y Cubo de Binomios

• Cuadrado

Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial

Teorema de Weierstrass

Se unha función é continua nun intervalo pechado, entón ten un máximo e un mínimo en dito intervalo.

Teorema de Bolzano

Se unha función é continua en [a,b] e toma valores de signo contrario nos extremos, entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto no que a gráfica da función corta o eixo OX.

Teorema de Rolle

Se f(x) é continua en [a,b], derivable en (a,b) e f(a)=f(b), entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f'(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto c en (a,b) tal que a tanxente á curva pasando por (c,f(c)) é paralela ao eixo OX.

Teorema do Valor Medio do Cálculo Diferencial

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Una función es una relación entre un conjunto X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio), donde a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del codominio.

Criterio de la Línea Vertical para Funciones

Para determinar si una gráfica representa una función, se traza una línea vertical en la gráfica. Si esta línea toca la gráfica en al menos dos puntos, entonces la gráfica no representa una función, ya que contradice el concepto fundamental de que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el codominio.

Dominio y Rango de una Función

• Dominio: Es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Definiciones Clave en Probabilidad

• Experiencia aleatoria:

  Es aquella cuyo resultado depende del azar.

• Suceso aleatorio:

  Es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar.

• Espacio Muestral (E):

  Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

• Suceso:

  Cualquier subconjunto de E. Pueden ser sucesos elementales o individuales. También son sucesos el suceso vacío y el propio E (suceso seguro).

Operaciones con Sucesos

• Unión (A ∪ B):

  Suceso formado por los elementos de A y B. Se verifica cuando ocurre al menos uno de los dos.

• Intersección (A ∩ B):

  Suceso formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B.

• Diferencia (A - B):

  Suceso formado por todos los elementos

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Bolzano

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. Si el signo de f(a) es distinto del signo de f(b) (es decir, f(a) · f(b) < 0), entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

Aplicación (Tabla de valores): Se puede construir una tabla de valores para f(x) en el intervalo [a, b] para encontrar subintervalos donde la función cambia de signo, asegurando la existencia de una raíz.

Consecuencia del Teorema de Bolzano (Intersección de funciones)

Si tenemos dos funciones f(x) y g(x), ambas continuas en [a, b], y definimos una nueva función h(x) = f(x) - g(x) (que también será continua en [a, b]), podemos aplicar el Teorema de... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Cálculo y Geometría Analítica: Teoremas, Derivadas y Posiciones Relativas" »