Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Posiciones Relativas de Planos

Dos Planos

Planos coincidentes: rg = rg* = 1.

Planos paralelos: rg = 1, rg* = 2.

Planos secantes: rg = rg* = 2.

Tres Planos

Planos coincidentes: rg = rg* = 1.

rg = 1, rg* = 2 o 3: Paralelos (tres planos paralelos) o dos coincidentes y uno paralelo.

rg = rg* = 2: Dos planos coincidentes y otro que los corta en una recta.

rg = 2, rg* = 3: Tres planos secantes que se cortan en una recta (forman un haz de planos) o planos que forman un prisma (dos planos paralelos y otro que los corta).

rg = rg* = 3: Triedro (los tres planos se cortan en un punto).

Posiciones Relativas de Rectas

Dos Rectas

Paralelas: rg = 1, rg* = 2.

Coincidentes: rg = rg* = 1.

Secantes: rg = rg* = 2.

Que se cruzan: rg = 2, rg* = 3.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Teorema

Funciones Lineales: Definición y Representación Gráfica

Las funciones lineales son aquellas funciones que se pueden definir utilizando la igualdad: $y = mx + n$. En esta expresión, $m$ representa la pendiente de la recta y $n$ es la ordenada al origen (el punto de corte con el eje Y).

La representación gráfica de una función lineal es una recta oblicua que puede dibujarse a partir de dos de sus puntos.

Ejemplo de Representación Gráfica

Consideremos la función definida por la igualdad $y = \frac{1}{2}x + 1$. Para dibujar su representación gráfica, basta con obtener dos de sus puntos:

• Si $x=0$: $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$. El punto es (0, 1).
• Si $x=2$: $y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 1 + 1 = 2$. El punto es (2, 2).

Ejercicio

Conceptos fundamentales de funciones

Función Inyectiva: Elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.

Función Sobreyectiva: El conjunto imagen de la función (Im(f)) es igual al codominio (Y). Es decir, todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.

Vértice de una parábola

Las coordenadas del vértice (V) de una parábola definida por la función cuadrática f(x) = ax² + bx + c son:

V = (-b/2a , (4ac - b²)/4a)

Composición y continuidad de funciones

Composición de funciones: Se denota como (i • h • g • f)(x), donde se aplican las funciones en orden, de derecha a izquierda.

Continuidad de funciones:

• Si las funciones f y g son continuas en sus respectivos dominios, entonces la función compuesta

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Bolzano

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

El teorema establece que si los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) de una función continua están en diferentes lados del eje OX, entonces la gráfica de la función corta al eje OX en al menos un punto. Si consideramos la ecuación f(x) = 0, con f en las hipótesis de Bolzano, el teorema garantiza la existencia de al menos una solución (raíz) de la ecuación en el intervalo (a, b).

El teorema de Bolzano garantiza que al menos existe un punto que cumple que f(c) = 0, pero no dice que ese punto sea único; puede darse el... Continuar leyendo "Teoremas Clave del Cálculo Diferencial e Integral: Aplicaciones y Demostraciones" »

Control de Calidad y Fundamentos Estadísticos para Laboratorios

El control es una etapa primordial en la administración de cualquier proceso, especialmente en entornos donde la precisión y la fiabilidad son críticas.

Normatividad Aplicable: Normas Oficiales Mexicanas (NOM)

A continuación, se presentan algunas Normas Oficiales Mexicanas relevantes para el control de calidad y el funcionamiento de laboratorios:

• NOM-087-ECOL-SSA1-2002: Salud ambiental, residuos peligrosos biológico-infecciosos. Clasificación y especificaciones de manejo.
• NOM-166-SSA1-1997: Para la organización y funcionamiento de los laboratorios clínicos.
• NOM-077-SSA1-1994: Que establece las especificaciones sanitarias de los materiales.
• NOM-078-SSA1-1994: Que establece las

Funcions: Estudi de la Continuïtat

1. Estudia la continuïtat de la funció següent en els punts x=0 i x=1:

Per estudiar la continuïtat, s'han de complir tres condicions:

1. Existeix f(x₀)
2. Existeix el límit quan x tendeix a x₀ per la dreta i per l'esquerra i coincideixen: x→x₀⁺ f(x) = x→x₀^- f(x)
3. El límit quan x tendeix a x₀ coincideix amb f(x₀): x→x₀ f(x) = f(x₀)

Per x=0: Discontinuïtat de salt

1. f(0) = (0-3)/(0-1) = 3
2. x→0⁺ (x-3)/(x-1) = 3
   x→0^- (x²-2x)/(3x²-x) = x→0^- x(x-2)/[x(3x-1)] = (0-2)/(0-1) = 2

Com que els límits laterals no coincideixen, no existeix el límit quan x tendeix a 0.

Per x=1: Discontinuïtat asimptòtica

1. f(1) = (2·1+1)/(1+2) = 1
2. x→1⁺ (2x+1)/(x+2) = 1
   x→1^- (x-3)/(x-1) = -2/0 = -∞

Com que els límits laterals no... Continuar leyendo "Funcions, Límits i Derivades: Exercicis Resolts" »

Propiedades de las Funciones Continuas

Una función f(x) es continua en un punto 'a' si se cumplen tres condiciones:

1. f(a) existe (el punto 'a' está en el dominio de f).
2. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' existe (los límites laterales son iguales).
3. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' es igual a f(a).

Algunas propiedades importantes:

• Las funciones polinómicas son continuas en todo R.
• Las funciones racionales son continuas en todo R excepto en los puntos que anulan el denominador.
• Las funciones irracionales (raíces) son continuas en su dominio.
• Las funciones exponenciales son continuas en todo R.
• Las funciones logarítmicas son continuas en (0, +∞).
• Las funciones elementales son continuas en su dominio.
• Si f(x) es continua en x=a y g(x) es

Biografía de Thomas Bayes

Thomas Bayes (Londres, Inglaterra, ~1702 - Tunbridge Wells, 1761) fue un matemático británico. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente, De Moivre, autor del afamado libro La doctrina de las probabilidades, fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado, al igual que su padre, como ministro disidente, y en 1731 se convirtió en reverendo de la iglesia presbiteriana en Tunbridge Wells; aparentemente trató de retirarse en 1749, pero continuó ejerciendo hasta 1752, y permaneció en ese lugar hasta su muerte.

El Teorema de Bayes y la Probabilidad Inversa

Estudió el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de... Continuar leyendo "Thomas Bayes: Biografía y Teorema Fundamental en Probabilidad" »

Geometría y Análisis de Funciones

Puntos, Rectas y Planos

Alineación de tres puntos (A, B, C): Se verifica si los vectores AB y AC son proporcionales. Esto se hace comprobando si las razones (x2-x1)/(x3-x1), (y2-y1)/(y3-y1) y (z2-z1)/(z3-z1) son iguales. Si todas las razones son iguales, los puntos están alineados.

Punto medio (PM) de un segmento AB: PM = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)

Punto simétrico de A respecto a PM: B = PM + (PM - A)

Posiciones relativas de rectas

• Vectores directores proporcionales: Las rectas son paralelas o coincidentes.
• Coincidentes: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro resultante es el mismo.
• Paralelas: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro

Estudio de Funciones: Pasos Esenciales

1. Dominio

   Determinar el conjunto de valores para los cuales la función está definida.

2. Puntos de corte con los ejes

   • Eje OY (Ordenadas): Calcular f(0). El punto de corte es (0, f(0)), si 0 pertenece al dominio.
   • Eje OX (Abscisas): Resolver la ecuación f(x) = 0. Las soluciones son las abscisas de los puntos de corte (x, 0).

3. Regiones (Signo de la función)

   Estudiar el signo de f(x) en los intervalos definidos por los puntos de corte con el eje OX y los puntos fuera del dominio.

4. Simetrías

   • Función Par (Simetría respecto al eje OY): Si f(x) = f(-x) para todo x en el dominio.
   • Función Impar (Simetría respecto al origen): Si f(-x) = -f(x) para todo x en el dominio.

5. Periodicidad

   Una función es periódica, de período T