Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

Para el cálculo de la matriz inversa, podemos utilizar el método de Gauss-Jordan o la fórmula basada en la adjunta:

A^-1 = (Adj(A))^t / |A|

Para resolver sistemas de ecuaciones del tipo AX = B, despejamos la incógnita como X = A^-1B.

Teorema de Rouché-Frobenius

• Sistema Compatible: Si Rg(A) = Rg(A*).
  • Determinado: Si el rango es igual al número de incógnitas.
  • Indeterminado: Si el rango es menor al número de incógnitas.
• Sistema Incompatible: Si Rg(A) ≠ Rg(A*).

Geometría Analítica en el Espacio

Producto Escalar y Puntos

El producto escalar se define como: u • v = |u| |v| cos(u, v) = x·x' + y·y' + z·z'.

El punto medio de un segmento se halla mediante la fórmula: M = ((a+b)/2, ...).

Posiciones Relativas

Entre

Raíz cuadrada de polinomios:

Fenómeno de la Telaraña y su Relación con la Autocorrelación

El fenómeno de la telaraña se produce cuando la oferta reacciona con un rezago de un período de tiempo, dado que la implementación de las decisiones lleva tiempo. En este caso, no se espera que las perturbaciones sean aleatorias porque las decisiones de un momento dependerán del momento anterior, formándose un patrón.

Rezagos y su Impacto en la Autocorrelación

Cuando en un modelo de regresión se encuentra como variable explicativa a la variable explicada retardada (modelo conocido como autorregresión), si ignoramos esa relación, el término de error reflejará un patrón sistemático debido a la influencia de esa variable rezagada.

Manipulación de Datos y su Influencia

Estadística Descriptiva e Inductiva

La estadística se divide principalmente en dos ramas:

Estadística Descriptiva

Trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos en las observaciones. Se construyen tablas y representaciones gráficas que permiten simplificar la complejidad de los datos. Se limita a realizar deducciones de los datos obtenidos y de los parámetros calculados.

Estadística Inductiva

Se plantea y resuelve el problema de establecer previsiones y conclusiones generales de una población a partir de los datos obtenidos de una muestra. Utiliza datos obtenidos de la descriptiva y se apoya fuertemente en el cálculo de probabilidades.

Características Estadísticas

Propiedad que nos permite clasificar a los individuos... Continuar leyendo "Estadística Descriptiva: Conceptos Esenciales y Medidas Fundamentales" »

Las curvas de la oferta y la demanda son las que ocasionan el equilibrio del mercado.

• Un desplazamiento hacia la derecha de la curva de demanda de un bien provoca un aumento en el precio de equilibrio y también en la cantidad que se compra y vende en el mercado.
• Un desplazamiento hacia la izquierda de la curva de demanda origina que el precio y la cantidad disminuyen.
• Un desplazamiento hacia la derecha de la curva de oferta ocasiona una reducción del precio de equilibrio y un aumento en la cantidad negociada.
• Un desplazamiento hacia la izquierda de la curva de oferta causará un incremento en el precio de equilibrio y una disminución del volumen negociado en el mercado.

Los efectos de las variables sobre la cantidad ofrecida y demandada se conocen... Continuar leyendo "Entendiendo la Dinámica del Mercado: Oferta, Demanda y Elasticidad" »

Multicolinealidad en Modelos Econométricos

Definición

La multicolinealidad se define como la existencia de una fuerte combinación lineal entre dos o más variables explicativas de un modelo econométrico. Podemos distinguir dos tipos principales:

• Multicolinealidad exacta: Si la combinación lineal entre las variables es perfecta.
• Multicolinealidad aproximada: Si la relación lineal es elevada pero no llega a ser exacta.

Casos y Causas Comunes

La presencia de este fenómeno suele darse por:

• Presencia de variables de evolución macroeconómica (movimientos cíclicos que provocan comportamientos similares).
• Uso de variables retardadas.
• Inclusión de variables ficticias mal especificadas.
• Variables con una base homogénea.

Consecuencias de la Multicolinealidad

Cuando... Continuar leyendo "Multicolinealidad y Mínimos Cuadrados Generalizados en Modelos Econométricos" »

Krigeaje: Fundamentos y Aplicaciones

El Krigeaje es una técnica geoestadística avanzada utilizada para la interpolación y estimación espacial. A continuación, se detallan sus características y etapas clave:

Características del Krigeaje

1. Óptimo: Sin sesgo, con error de estimación mínimo y varianza del error de estimación mínima.
2. Interpolador exacto.
3. No depende directamente de los valores Z(xi).
4. El error de estimación (σ²_KO) no depende de los valores Z(xi).
5. Aplicaciones en cartografía automática: estimación de recursos, reservas, etc.
6. Cálculo de los valores medios sobre soporte V.
7. Formato raster: integración fácil en SIG.

Etapas de una Aplicación Geoestadística de Estimación Espacial

1. Construcción de la base de datos: Estructura y

Ecuaciones de la Recta

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación general de la recta

Ecuación explícita de la recta

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Pendiente de la Recta

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Relaciones entre Rectas

Rectas paralelas

Rectas paralelas al eje OX

Rectas paralelas al eje OY

Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

Rectas perpendiculares

El vector v = (A, B) es perpendicular a la recta r ≡ A x + B y + C = 0.

Si dos rectas son perpendiculares, tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Posiciones relativas

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones de Segundo Grado

Ejercicio 1

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 3 y −2.

S = 3 − 2 = 1 /// P = 3 · (−2) = −6 /// x² − x − 6 = 0

Ejercicio 2

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

x² − Sx + P = 0

Ejercicio 3

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

Edad actual x

Edad hace 13 años x − 13

Edad dentro de 11 años x + 11

Edad actual 21

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Ecuaciones de Segundo Grado: Problemas y Soluciones" »