Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Fundamentales de Vectores

En matemáticas, un vector es una cantidad que posee magnitud, dirección y sentido simultáneamente. Por ejemplo, mientras que una cantidad ordinaria o escalar podría ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial especificaría 6 km en dirección norte.

Los vectores se representan gráficamente como segmentos rectilíneos orientados. Por ejemplo, si consideramos un vector v, el punto O sería su origen o punto de aplicación, y el punto P su extremo. La longitud de este segmento representa la magnitud o módulo del vector, y su orientación indica la dirección y el sentido.

Elementos Clave de un Vector

Un vector está compuesto por los siguientes elementos esenciales:

• Dirección: Está determinada por la

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Propiedades de las Funciones Continuas en un Punto

Sean f y g funciones de ℝ en ℝ, y sea a un punto que pertenece al dominio de f (Dom(f)) y al dominio de g (Dom(g)). Si f y g son continuas en a, entonces:

1. La suma (f + g) y el producto (f ⋅ g) son continuos en a.
2. Si g(a) ≠ 0, entonces el cociente (f / g) también es continuo en a.
3. Sea h otra función de ℝ en ℝ, definida en un entorno de f(a). Si f es continua en a y h es continua en f(a), entonces la función compuesta (h o f) es continua en a.

Definiciones de Funciones Acotadas

Una función f de ℝ en ℝ se dice acotada en un conjunto A de su dominio si existe M > 0 tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ A.

• Se dice que f está acotada superiormente en A si existe M ∈ ℝ tal que

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4. ariketa.

Bolzano-ren teoremak dio tarte itxi batean jarraitua den funtzio batek, tartearen muturretan aurkako zeinua duten balioak hartzen baditu, funtzioak OX ardatza ebaki egingo duela.

Beste hitz batzuekin, marra baten beheko aldetik goiko aldera edo goiko aldetik beheko aldera funtzio jarraitu batekin igarotzeko, marra ebaki egin behar.

Eta hori zelan esaten da matematikoki:

Grafikoki:

Orain, ekuazioaren soluzio baten bila goaz. Lehenengo Ruffini-ren erregelarekin abiatuko gara:

	3	-2	3	-2
1		3	1	4
	3	1	4	2

	3	-2	3	-2
-1		-3	5	-8
	3	-5	8	-10

Erro osorik ez du. Har dezagun funtzioa eta ikus dezagun zein tartetan betetzen dituen Bolzanoren teoremaren hipotesiak.

f(x) jarraitua da, polinomikoa baita, orduan balio positibo bat zein puntutan hartzen duen eta balio negatibo... Continuar leyendo "Bolzano-ren Teorema eta Ekuazioen Soluzioa" »

Cota: es la distancia vertical existe tente entre un punto cualquiera del espacio y un nivel de referencia
Curva de nivel: son líneas imaginarias que unen puntos de una misma cota, determinadas por la intersección de un plano horizontal en el terreno
Escala: es la relación existente entre dos puntos del terreno y los mismos dos puntos sobre el mapa.
Mapas topográficos: son aquellas que representan determinada características del terreno.
Mapas catastrales: son aquellas que se refieren a censos de tierras agrícolas, construcciones, etc.
Mapas climatológicos: también llamados forestales, representan graficas sobre las condiciones del clima.
Mapas geográficos: representan una región, nación o un continente pudiendo ser físicas, climáticas,

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Conceptos Fundamentales de Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones: Definiciones y Tipos

Una ecuación es una expresión algebraica que contiene un signo de igualdad y que puede verificarse para uno o varios valores de la variable.

Tipos Específicos de Ecuaciones

• Ecuación Racional: Es aquella que tiene la incógnita en el denominador. Para resolverla, se multiplica la ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores y se resuelve la ecuación resultante.

• Ecuación Irracional: Es una ecuación que tiene la incógnita bajo un signo radical. Para su resolución, es necesario elevar al cuadrado (o a la potencia correspondiente) uno o ambos miembros, ya que pueden aparecer soluciones extrañas (no válidas) que deben ser verificadas

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1ra ley de termodinamica: conocida como principio de conservacion de energia

establece que si se realiza trabajo sobre un sistema o bien éste intercambia calor con otro, la energía interna del sistema cambiará.

En palabras llanas: "La energía no se crea ni se destruye: solo se transforma".

2da ley de la termodinamica: La cantidad de entropía de cualquier sistema aislado termodinámicamente tiende a incrementarse con el tiempo, hasta alcanzar un valor máximo". 

3ra ley de la termodinamica: establece  “A la temperatura del cero absoluto la entropía de cualquier sustancia cristalina perfecta es cero”.

La estructura ósea de la caja torácica está formada por la columna vertebral, 12 pares de costillas y el esternón, además de las escápulas. Las costillas se articulan hacia atrás con la columna dorsal y hacia delante, las primeras siete se unen al esternón y las tres siguientes, se van uniendo entre ellas y forman del reborde costal. Las costillas 11 y 12 son “flotantes” ya que no se unen al esternón. El reborde costal derecho e izquierdo forman un ángulo llamado ángulo costal.

-Volumen corriente: cantidad de aire que entra y sale del pulmón en un ciclo. -Volumen residual: cantidad de aire que queda después de la espiración. -Volumen espiratorio de reserva: volumen adicional que se puede espirar luego de la espiración normal.... Continuar leyendo "Español" »

Ejercicio 1: Contraste de Hipótesis sobre la Duración de Bombillas

Contraste Unilateral Izquierdo: Un fabricante afirma que sus bombillas tienen una duración media de al menos 1600 horas. Para verificar esto, se tomó una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniendo una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas.

1. a) Plantear el contraste para decidir si se acepta la información del fabricante.
2. b) ¿Puede aceptarse la información del fabricante con un nivel de significación del 4%?
3. c) Si la misma información muestral se hubiese obtenido de una muestra de 40 bombillas, ¿se aceptaría la información del fabricante con un nivel de significación del 4%?

Ejercicio 2: Proporción de Estudiantes que Usan Transporte

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1. Plano perpendicular a una recta que pasa por un punto

Cogemos el vector director de la recta y lo sustituimos en Ax + By + Cz + D = 0. Después, cogemos el punto y lo sustituimos en la x, y, z para sacar D y ya tenemos el plano.

2. Simétrico de P(1,2,1) respecto a una recta r

Empezamos calculando M = proyección de P sobre r, es decir, Π perpendicular a r que contiene a P. Para ello, se coge el vector director de la recta y se sustituye en Ax + By + Cz + D = 0. Después se sustituye x, y, z para sacar D y obtener el plano.

Después de esto, debemos hacer la intersección de Π y r, es decir, se sustituyen x, y, z en el plano por las coordenadas de la recta para obtener λ (lambda). Una vez sacada λ, sustituimos λ en las coordenadas de la... Continuar leyendo "Guía Práctica de Geometría Analítica: Problemas Resueltos y Explicaciones Claras" »