Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Funcions: Estudi de la Continuïtat

1. Estudia la continuïtat de la funció següent en els punts x=0 i x=1:

Per estudiar la continuïtat, s'han de complir tres condicions:

1. Existeix f(x₀)
2. Existeix el límit quan x tendeix a x₀ per la dreta i per l'esquerra i coincideixen: x→x₀⁺ f(x) = x→x₀^- f(x)
3. El límit quan x tendeix a x₀ coincideix amb f(x₀): x→x₀ f(x) = f(x₀)

Per x=0: Discontinuïtat de salt

1. f(0) = (0-3)/(0-1) = 3
2. x→0⁺ (x-3)/(x-1) = 3
   x→0^- (x²-2x)/(3x²-x) = x→0^- x(x-2)/[x(3x-1)] = (0-2)/(0-1) = 2

Com que els límits laterals no coincideixen, no existeix el límit quan x tendeix a 0.

Per x=1: Discontinuïtat asimptòtica

1. f(1) = (2·1+1)/(1+2) = 1
2. x→1⁺ (2x+1)/(x+2) = 1
   x→1^- (x-3)/(x-1) = -2/0 = -∞

Com que els límits laterals no... Continuar leyendo "Funcions, Límits i Derivades: Exercicis Resolts" »

Propiedades de las Funciones Continuas

Una función f(x) es continua en un punto 'a' si se cumplen tres condiciones:

1. f(a) existe (el punto 'a' está en el dominio de f).
2. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' existe (los límites laterales son iguales).
3. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' es igual a f(a).

Algunas propiedades importantes:

• Las funciones polinómicas son continuas en todo R.
• Las funciones racionales son continuas en todo R excepto en los puntos que anulan el denominador.
• Las funciones irracionales (raíces) son continuas en su dominio.
• Las funciones exponenciales son continuas en todo R.
• Las funciones logarítmicas son continuas en (0, +∞).
• Las funciones elementales son continuas en su dominio.
• Si f(x) es continua en x=a y g(x) es

Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva

Distribución de Frecuencias

Una tabla de frecuencias absolutas consiste en colocar en la primera columna los valores posibles de la variable y en la segunda las veces que se presentan cada uno de esos valores posibles.

La distribución de frecuencias es una tabla resumen que agrupa los datos originales para facilitar su estudio.

Para mejorar este estudio, se utiliza la distribución de frecuencias relativas, que se obtiene al dividir las frecuencias en cada clase de la distribución de frecuencias entre el número total de observaciones.

La distribución de porcentajes se obtiene al multiplicar cada frecuencia relativa o proporción por 100.

Ordenamiento de Datos Categóricos

Generalmente, las variables... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva: Frecuencias, Tendencia Central y Variabilidad" »

Biografía de Thomas Bayes

Thomas Bayes (Londres, Inglaterra, ~1702 - Tunbridge Wells, 1761) fue un matemático británico. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente, De Moivre, autor del afamado libro La doctrina de las probabilidades, fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado, al igual que su padre, como ministro disidente, y en 1731 se convirtió en reverendo de la iglesia presbiteriana en Tunbridge Wells; aparentemente trató de retirarse en 1749, pero continuó ejerciendo hasta 1752, y permaneció en ese lugar hasta su muerte.

El Teorema de Bayes y la Probabilidad Inversa

Estudió el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de... Continuar leyendo "Thomas Bayes: Biografía y Teorema Fundamental en Probabilidad" »

Geometría y Análisis de Funciones

Puntos, Rectas y Planos

Alineación de tres puntos (A, B, C): Se verifica si los vectores AB y AC son proporcionales. Esto se hace comprobando si las razones (x2-x1)/(x3-x1), (y2-y1)/(y3-y1) y (z2-z1)/(z3-z1) son iguales. Si todas las razones son iguales, los puntos están alineados.

Punto medio (PM) de un segmento AB: PM = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)

Punto simétrico de A respecto a PM: B = PM + (PM - A)

Posiciones relativas de rectas

• Vectores directores proporcionales: Las rectas son paralelas o coincidentes.
• Coincidentes: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro resultante es el mismo.
• Paralelas: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro

Trigonometría: Fórmulas Fundamentales

Identidades de Suma y Resta

Nota: Se utiliza α para 'a' y β para 'b' para mayor claridad.

• Seno de la suma: sen(α+β) = sen α · cos β + sen β · cos α
• Coseno de la suma: cos(α+β) = cos α · cos β - sen α · cos β
• Tangente de la suma: tg(α+β) = (tg α + tg β) / (1 - tg α · tg β)

Identidades de Ángulo Doble

• sen(2α) = 2 · sen α · cos α
• cos(2α) = cos² α - sen² α
• tg(2α) = (2 · tg α) / (1 - tg²α)

Identidades de Ángulo Mitad

• sen(α/2) = ±√((1 - cos α)/2)
• cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2)
• tg(α/2) = ±√((1 - cos α)/(1 + cos α))

Signos de las Razones Trigonométricas por Cuadrante

Orden de las razones: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante, Cosecante.

Gizakiaren sorrera

Gizakiok eta beste primate antropomorfoek arbaso komunak ditugu, hau da, enbor ebolutibo bera dugu.

Hominizazioa

Gizakien eta primate antropomorfoen arteko desberdintasun biologikoak eragin zituen prozesua da:

• Bipedoak izatea.
• Aurpegiaren eta hortzen aldaketa.
• Burmuina handitzea.

Gizatiartzea edo humanizazioa

Komunikatzeko eta elkartzeko era berriak garatzen hasteko prozesua da, jokamoldeak eta garapena eraldatu zituena.

Homo ergaster

Garezurraren edukiera handitzen da berriro. Altuera eta pisua ere handitzen dira. Masailezurrean aldaketak agertu ziren. Baliteke hizkuntza motaren bat erabili zuen lehen hominidoa izatea.

Homo erectus

Sua erabili izanaren lehen arrastoak agertu ziren.

Homo antecessor

Ezaugarri propioak dituen espeziea da,... Continuar leyendo "Gizakiaren bilakaera: Hominizazioa eta ezaugarri bereziak" »

Uní sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X Y Z, cada punto viene determinado de un punto P en el espacio. Los ejes de coordenadas determinan tres planos ordenados (xy,xz,yz), estos planos ordenados dividen al espacio en 8 regiones llamadas optantes, en el primer optante las 3 coordenadas son +.

- Vector en el espacio. Es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

- Componentes de un vector en el espacio: si las coordenadas de a y b son: A (x1,y1,z1) y B ( x2,y2,z2)

Para calcular las coordenadas o componentes del vector ab se restan las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Modulo de un vector. Es la... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Lineal: Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones" »

Matrices

Definición. Una matriz es un conjunto ordenado en filas y columnas de números reales. Se caracteriza por sus filas y columnas. Con las matrices se pueden realizar operaciones como suma, resta y multiplicación.

Propiedades de la multiplicación de matrices

• Es una operación interna (si las dimensiones son compatibles).
• Es asociativa: (AB)C = A(BC).
• No es, en general, conmutativa: AB ≠ BA en general.
• Existe un elemento neutro, la matriz identidad I, tal que AI = IA = A.

Teorema de la matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada. A tiene inversa si y solo si det(A) ≠ 0. En tal caso, la inversa puede expresarse mediante la matriz de cofactores (adjunta) transpuesta:

A^-1 = (1 / det(A)) · adj(A)^T.

Además, por las propiedades del determinante:... Continuar leyendo "Matrices, Determinantes e Introducción a Sistemas y Teoremas de Cálculo" »

Etika eta Morala

Erantzukizuna

Askeak izatetik datorkigun giza ahalmena da, eta gure ekintzen ondorioez jabetzean datza. Ondorio horiek kanpokoak (inguruan eta besteenganako eraginak) eta barnekoak (gure buruan dituzten eraginak) izan daitezke.

• Askeak izanik: Nahiz eta erabat aske ez izan, askatasun mugatua dugulako.
• Gure ekintzak: Kontzienteki burututakoak izan behar dira (ez nahigabe eginak, bai nahimenez egiten ditugunak, ez gainditzeko ezjakintasuna).
• Ondorioak: Balorazio morala dute gure ekintzek. Bi alderdi dituzte:
  • Kanpo-eragina: Gu bizi garen gizartean uzten dute aztarna.
  • Barne-eragina: Gure ongizatearen alde ala aurka izan daiteke.

Arau Moralak

Ekintza konkretuak egin behar diren modua erakusten duten jarraibideak dira. Arau Moralek Balore... Continuar leyendo "Erantzukizuna, Gizartekoitasuna eta Estatu Demokratikoa" »