Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Bolzano

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

El teorema establece que si los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) de una función continua están en diferentes lados del eje OX, entonces la gráfica de la función corta al eje OX en al menos un punto. Si consideramos la ecuación f(x) = 0, con f en las hipótesis de Bolzano, el teorema garantiza la existencia de al menos una solución (raíz) de la ecuación en el intervalo (a, b).

El teorema de Bolzano garantiza que al menos existe un punto que cumple que f(c) = 0, pero no dice que ese punto sea único; puede darse el... Continuar leyendo "Teoremas Clave del Cálculo Diferencial e Integral: Aplicaciones y Demostraciones" »

Conceptos Clave en Genética Mendeliana

Alelos y Genotipos

Homocigoto dominante: Se refiere a un organismo que, para una característica particular, posee dos copias idénticas y dominantes del alelo que codifica para esa característica. Los alelos dominantes se representan con una letra **mayúscula**. Cuando un organismo es homocigoto dominante para una característica particular, su genotipo está representado por una duplicación del símbolo de ese rasgo (ejemplo: **AA**).

Un individuo que es homocigoto recesivo para un rasgo particular lleva dos copias idénticas y recesivas del alelo que codifica para el rasgo recesivo. Los alelos recesivos se representan generalmente por la forma **minúscula** de la letra utilizada para el rasgo dominante... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Genética Mendeliana: Alelos y Leyes de la Herencia" »

Derivada dunha función nun punto

Definición

Derivada dunha función nun punto: Diremos que unha función é derivable no punto x = a cando existe o límite lim(h → 0) (f(a + h) - f(a)) / h e é un número real. Este número é a derivada de f en a e designarase por f'(a).

Equivalentemente:

f'(a) = lim(x → a) (f(x) - f(a)) / (x - a).

Representación xeométrica

Temos unha función y = f(x) e un punto A(a, f(a)). Consideramos un conxunto de puntos A₁, A₂, A₃, …, A_n, … que se aproximan ao punto A. Se os puntos A_i tenden a A, as rectas secantes AA₁, AA₂, …, AA_n, … vanse aproximando a unha recta t que coincide coa idea intuitiva da recta tanxente á gráfica da función no punto A.

Así, a recta tanxente a unha curva no punto... Continuar leyendo "Derivada e Continuidade dunha Función: Derivabilidade, Recta Tanxente e Optimización" »

Control de Calidad y Fundamentos Estadísticos para Laboratorios

El control es una etapa primordial en la administración de cualquier proceso, especialmente en entornos donde la precisión y la fiabilidad son críticas.

Normatividad Aplicable: Normas Oficiales Mexicanas (NOM)

A continuación, se presentan algunas Normas Oficiales Mexicanas relevantes para el control de calidad y el funcionamiento de laboratorios:

• NOM-087-ECOL-SSA1-2002: Salud ambiental, residuos peligrosos biológico-infecciosos. Clasificación y especificaciones de manejo.
• NOM-166-SSA1-1997: Para la organización y funcionamiento de los laboratorios clínicos.
• NOM-077-SSA1-1994: Que establece las especificaciones sanitarias de los materiales.
• NOM-078-SSA1-1994: Que establece las

Funcions: Estudi de la Continuïtat

1. Estudia la continuïtat de la funció següent en els punts x=0 i x=1:

Per estudiar la continuïtat, s'han de complir tres condicions:

1. Existeix f(x₀)
2. Existeix el límit quan x tendeix a x₀ per la dreta i per l'esquerra i coincideixen: x→x₀⁺ f(x) = x→x₀^- f(x)
3. El límit quan x tendeix a x₀ coincideix amb f(x₀): x→x₀ f(x) = f(x₀)

Per x=0: Discontinuïtat de salt

1. f(0) = (0-3)/(0-1) = 3
2. x→0⁺ (x-3)/(x-1) = 3
   x→0^- (x²-2x)/(3x²-x) = x→0^- x(x-2)/[x(3x-1)] = (0-2)/(0-1) = 2

Com que els límits laterals no coincideixen, no existeix el límit quan x tendeix a 0.

Per x=1: Discontinuïtat asimptòtica

1. f(1) = (2·1+1)/(1+2) = 1
2. x→1⁺ (2x+1)/(x+2) = 1
   x→1^- (x-3)/(x-1) = -2/0 = -∞

Com que els límits laterals no... Continuar leyendo "Funcions, Límits i Derivades: Exercicis Resolts" »

Propiedades de las Funciones Continuas

Una función f(x) es continua en un punto 'a' si se cumplen tres condiciones:

1. f(a) existe (el punto 'a' está en el dominio de f).
2. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' existe (los límites laterales son iguales).
3. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' es igual a f(a).

Algunas propiedades importantes:

• Las funciones polinómicas son continuas en todo R.
• Las funciones racionales son continuas en todo R excepto en los puntos que anulan el denominador.
• Las funciones irracionales (raíces) son continuas en su dominio.
• Las funciones exponenciales son continuas en todo R.
• Las funciones logarítmicas son continuas en (0, +∞).
• Las funciones elementales son continuas en su dominio.
• Si f(x) es continua en x=a y g(x) es

Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva

Distribución de Frecuencias

Una tabla de frecuencias absolutas consiste en colocar en la primera columna los valores posibles de la variable y en la segunda las veces que se presentan cada uno de esos valores posibles.

La distribución de frecuencias es una tabla resumen que agrupa los datos originales para facilitar su estudio.

Para mejorar este estudio, se utiliza la distribución de frecuencias relativas, que se obtiene al dividir las frecuencias en cada clase de la distribución de frecuencias entre el número total de observaciones.

La distribución de porcentajes se obtiene al multiplicar cada frecuencia relativa o proporción por 100.

Ordenamiento de Datos Categóricos

Generalmente, las variables... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva: Frecuencias, Tendencia Central y Variabilidad" »

Biografía de Thomas Bayes

Thomas Bayes (Londres, Inglaterra, ~1702 - Tunbridge Wells, 1761) fue un matemático británico. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente, De Moivre, autor del afamado libro La doctrina de las probabilidades, fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado, al igual que su padre, como ministro disidente, y en 1731 se convirtió en reverendo de la iglesia presbiteriana en Tunbridge Wells; aparentemente trató de retirarse en 1749, pero continuó ejerciendo hasta 1752, y permaneció en ese lugar hasta su muerte.

El Teorema de Bayes y la Probabilidad Inversa

Estudió el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de... Continuar leyendo "Thomas Bayes: Biografía y Teorema Fundamental en Probabilidad" »

Proposició

Si E és una matriu elemental, aleshores E és una matriu invertible.

Demostració. És un exercici senzill ja que:

• i) Si E = E[F_i, F_j] és la matriu resultant de I després d'intercanviar dues files i i j, aleshores la inversa de E és la matriu elemental resultant de I en intercanviar les files i i j, que coincideix amb E.
• ii) Si E = E_bF_i és la matriu resultant de I després de multiplicar una fila i per b ∈ ℝ, b ≠ 0, aleshores la inversa de E és la matriu elemental resultant de I en multiplicar la fila i per 1/b.
• iii) Si E = E_{Fi + bFj} és la matriu resultant de I després de sumar-li a una fila i la fila j multiplicada per b, aleshores la inversa de E és la matriu elemental resultant de I després de sumar-li a la fila i

Geometría y Análisis de Funciones

Puntos, Rectas y Planos

Alineación de tres puntos (A, B, C): Se verifica si los vectores AB y AC son proporcionales. Esto se hace comprobando si las razones (x2-x1)/(x3-x1), (y2-y1)/(y3-y1) y (z2-z1)/(z3-z1) son iguales. Si todas las razones son iguales, los puntos están alineados.

Punto medio (PM) de un segmento AB: PM = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)

Punto simétrico de A respecto a PM: B = PM + (PM - A)

Posiciones relativas de rectas

• Vectores directores proporcionales: Las rectas son paralelas o coincidentes.
• Coincidentes: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro resultante es el mismo.
• Paralelas: Si al sustituir un punto de una recta en la ecuación de la otra, el parámetro