Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Una función es una relación entre un conjunto X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio), donde a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del codominio.

Criterio de la Línea Vertical para Funciones

Para determinar si una gráfica representa una función, se traza una línea vertical en la gráfica. Si esta línea toca la gráfica en al menos dos puntos, entonces la gráfica no representa una función, ya que contradice el concepto fundamental de que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el codominio.

Dominio y Rango de una Función

• Dominio: Es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable

Fundamentos de Trigonometría

sen = cat op / hip

cos = cat cont / hip

tg = cat op / cat cont

cosec = 1 / sen

sec = 1 / cos

cotang = 1 / tg

tg = sen / cos

sen² + cos² = 1

1 + tg² = sec² | 1 + cotg² = cosec²

Razones Trigonométricas de un Ángulo Cualquiera

sen = y / r     r² = x² + y²

cos = x / r

tg = y / x

Valores de las Funciones Trigonométricas en Ángulos Clave

• Ángulo 0: sen = 0, cos = 1, tg = 0
• Ángulo 90: sen = 1, cos = 0, tg = no definida
• Ángulo 180: sen = 0, cos = -1, tg = 0
• Ángulo 270: sen = -1, cos = 0, tg = no definida

Cuadrantes y Signos de las Funciones Trigonométricas

• sen o cosec = + en 1º, 2º; - en 3º, 4º
• cos o sec = + en 1º, 4º; - en 2º, 3º
• tg o cotg = + en 1º, 3º; - en 2º, 4º

Tabla de Valores Trigonométricos

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Definiciones Clave en Probabilidad

• Experiencia aleatoria:

  Es aquella cuyo resultado depende del azar.

• Suceso aleatorio:

  Es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar.

• Espacio Muestral (E):

  Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

• Suceso:

  Cualquier subconjunto de E. Pueden ser sucesos elementales o individuales. También son sucesos el suceso vacío y el propio E (suceso seguro).

Operaciones con Sucesos

• Unión (A ∪ B):

  Suceso formado por los elementos de A y B. Se verifica cuando ocurre al menos uno de los dos.

• Intersección (A ∩ B):

  Suceso formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B.

• Diferencia (A - B):

  Suceso formado por todos los elementos

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Bolzano

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. Si el signo de f(a) es distinto del signo de f(b) (es decir, f(a) · f(b) < 0), entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

Aplicación (Tabla de valores): Se puede construir una tabla de valores para f(x) en el intervalo [a, b] para encontrar subintervalos donde la función cambia de signo, asegurando la existencia de una raíz.

Consecuencia del Teorema de Bolzano (Intersección de funciones)

Si tenemos dos funciones f(x) y g(x), ambas continuas en [a, b], y definimos una nueva función h(x) = f(x) - g(x) (que también será continua en [a, b]), podemos aplicar el Teorema de... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Cálculo y Geometría Analítica: Teoremas, Derivadas y Posiciones Relativas" »

Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial e Integral

Derivadas

La derivada de una función f(x) en un punto x=a, que se denota o se escribe como f'(a), se define como:

f'(a) = lim_x→a (f(x) - f(a)) / (x - a)

Función Derivada

Dada una función f(x) definida en ℝ, su función derivada se denota como f'(x) y se define como:

f'(x) = lim_h→0 (f(x+h) - f(x)) / h

Esto es válido para todo x ∈ Dom(f(x)) en el que el límite anterior existe.

Integrales

Función Primitiva

Se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) que cumple que F'(x) = f(x). Si F(x) es una función primitiva de f(x), cualquier otra función primitiva de f(x) es de la forma F(x) + K, donde K ∈ ℝ es una constante.

Integral Indefinida de una Función

La integral indefinida... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Cálculo y Funciones Matemáticas" »

Operaciones Fundamentales con Vectores en $\text{E}^3$

Producto Vectorial

Dados los vectores $\mathbf{u}=(u_1, u_2, u_3)$ y $\mathbf{v}=(v_1, v_2, v_3)$ en $\text{E}^3$, y considerando $\mathcal{B} = \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$ como una **base ortonormal** de $\text{E}^3$. Se designa el **producto vectorial** (o producto cruz) $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ como el vector:

$$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3 - v_2u_3, -(u_1v_3 - v_1u_3), u_1v_2 - v_1u_2)$$

respecto a la base $\mathcal{B}$.

Propiedades del Producto Vectorial

1. $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})$ (Anticonmutatividad)
2. $(\lambda \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (\lambda \mathbf{v}) = \lambda (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$
3. $\

Funciones Matemáticas Esenciales: Conceptos y Aplicaciones

Este documento resume los conceptos clave y métodos de cálculo para diversas funciones matemáticas, límites y derivadas, fundamentales en el estudio del cálculo.

Tipos de Funciones y su Cálculo

• Función Raíz

  Para calcular una función raíz, se utiliza una tabla de valores.

• Función Valor Absoluto

  Se calcula el vértice utilizando la fórmula -b/2a. Luego, se calcula f(x0) para obtener la coordenada y, lo que proporciona las dos coordenadas del vértice. Posteriormente, se elabora una tabla de valores.

• Función Cuadrática

  Primero, se calcula el vértice. Luego, se construye una tabla de valores con dos valores a cada lado del vértice y a la misma distancia de este.

• Función Parte Entera

  Define

Conceptos Fundamentales de la Probabilidad

Aleatoriedad: Imposibilidad de predecir.

Existe una forma de describir el comportamiento de la población en estudio gracias a la Distribución de Probabilidades, que distribuye probabilidades entre los valores y describe el comportamiento esperado de la variable.

La Variable Aleatoria cuantifica los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Experimento Aleatorio

Cualquier ensayo o prueba que pueda repetirse un gran número de veces en condiciones homogéneas, presentando en cada prueba un resultado bien definido imposible de predecir, se denomina: Experimento Aleatorio.

Se enfatiza el término experimento aleatorio y no simplemente experimento, para destacar que interviene el azar. En un experimento... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Probabilidad: Variables Aleatorias y Modelos de Distribución" »