Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Representación de Vectores y Rectas

Vector de dos coordenadas: $(1, -1)$ y $(2, -2)$.

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial: $(x, y) = (p_1, p_2) + t(d_1, d_2)$
• Ecuación Paramétrica:
  • $x = p_1 + t(d_1)$
  • $y = p_2 + t(d_2)$

Formas de la Ecuación de la Recta

• Ecuación General (Implícita): $Ax + By + C = 0 \rightarrow$ Vector director $\vec{d} = (-B, A)$
• Ecuación Explícita: $y = mx + n \rightarrow m$ es la pendiente.
• Ecuación Punto-Pendiente: $y = y_0 + m(x - x_0)$

Relaciones entre Rectas

Condiciones de Paralelismo

Dos rectas son paralelas si:

1. Sus vectores directores son proporcionales: $\vec{d}_r = \lambda \cdot \vec{d}_s$ (o $d_r \propto d_s$).
2. Tienen la misma pendiente: $m_r = m_s$.

Condiciones de

Fórmulas Fundamentales de Matemáticas Superiores

Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

Matriz Inversa y Solución de Sistemas

• Matriz Inversa: $A^{-1} = \frac{(\text{Adj}(A))^t}{|A|}$
• Solución Matricial: Si $AX=B$, entonces $X = A^{-1}B$.

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema de ecuaciones lineales es:

• Compatible si $\text{Rg}(A) = \text{Rg}(A^*)$.
  • Compatible Determinado (Solución Única) si $\text{Rg}(A) = \text{número de incógnitas}$.
  • Compatible Indeterminado (Infinitas Soluciones) si $\text{Rg}(A) < \text{número de incógnitas}$.
• Incompatible (Sin Solución) si $\text{Rg}(A) \neq \text{Rg}(A^*)$.

Producto Escalar (Producto Punto)

El producto escalar de dos vectores $u$ y $v$ es:

$u \cdot v = |u||v| \cos(u,v) = x x' + y y' + z z'$

Geometría

Hominizazio Prozesua

XIX. mendera arte, gizakiaren jatorriari buruzko teoriak erlijiosoak izan ziren:

• Biblia: Jainkoak lur-hautsez gizona egin zuen, eta gero emakumea.
• Brahmanismoa: Purusha erraldoia hiltzean mila zatitan hautsi zen; zati horietako bakoitza naturako gauza oro da.

Charles Darwin eta Bilakaeraren Teoria

1859an Espezieen jatorria liburua argitaratzean, izaki bizidunak organismo sinpleagoen bilakaeraren ondorio zirela zioen. Gure burmuinaren ezaugarri anatomikoak tximinoenaren oso antzekoak direla azaltzen zuen. Teoria hau oso kritikatua izan zen, gizakia eta beste primate batzuek arbaso berberak zituztela zioen eta.

Bilakaera Prozesua

Duela 10 milioi urte, klima hoztu egin zen eta sabanak agertu ziren. Afrikako primateen talde batek... Continuar leyendo "Hominizazio Prozesua: Gizakiaren Bilakaera eta Historia" »

Cancioneiros Principais

Cancioneiro de Ajuda: Composto durante as últimas décadas do século XIII. É un manuscrito de pergamiño que está incompleto, xa que faltan bastantes follas e carece dos nomes dos autores, da notación musical e dalgunhas miniaturas. Contén 310 cantigas de amor e consérvase na Biblioteca do Pazo Real da Ajuda en Lisboa, onde foi atopado.

Cancioneiro da Biblioteca Nacional, tamén chamado Colocci-Brancuti, porque foi o humanista italiano Angelo Colocci quen encargou a súa compilación e se atopou na biblioteca dos condes de Brancuti. Foi copiado en Italia a principios do século XVI e constitúe o máis completo repertorio da nosa lírica profana, xa que contén, ademais das 1205 cantigas do Cancioneiro da Vaticana,... Continuar leyendo "Principais Cancioneiros Medievais Galego-Portugueses" »

Sintaxis y Operadores Básicos

Diferencia entre los dos puntos (:) y el punto y coma (;): Los dos puntos (:) sirven para sumar todos los datos de un rango o columna, mientras que el punto y coma (;) se utiliza para sumar solo valores concretos. Por ejemplo, en (A2;B3), se tomarían únicamente los datos de las celdas A2 y B3.

Funciones Lógicas y de Búsqueda

Función SI

SI = (Condición; valor o expresión1; valor o expresión2). Esta función evalúa una condición. Si la condición es cierta, se ejecuta el valor o expresión1; si la condición es falsa, se ejecuta el valor o expresión2.

Función SUMAR.SI

SUMAR.SI = (Rango a evaluar; "Condición"; Rango a sumar). Suma las casillas del Rango a sumar que cumplen la condición en su correspondiente... Continuar leyendo "Dominio de Funciones en Hojas de Cálculo y Sintaxis de Excel" »

Secciones de Prismas

Prisma Proyectante Recto (Nivel 1)

1. Se abaten los puntos directamente.

Prisma Oblicuo Recto (Nivel 2)

1. Se elevan los puntos mediante horizontales de plano para dibujar la proyección superior.
2. Se trasladan los puntos hasta el eje.
3. Tras realizar un cambio de plano (z'z), se abaten los puntos.

Prisma Proyectante Oblicuo (Nivel 2)

1. Se bajan los puntos para dibujar la proyección inferior.
2. Se abaten los puntos directamente.

Prisma Oblicuo Oblicuo (Nivel 3)

1. Se realiza un cambio de plano (z'z) por cada punto para dibujar la proyección inferior.
2. Se elevan los puntos para dibujar la proyección superior.
3. Se trasladan esos puntos y, tras un nuevo cambio de plano (z'z), se abaten.

Secciones de Pirámides

Pirámide Proyectante Recta (Nivel 2)

1. Se bajan

Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial

Teorema de Weierstrass

Se unha función é continua nun intervalo pechado, entón ten un máximo e un mínimo en dito intervalo.

Teorema de Bolzano

Se unha función é continua en [a,b] e toma valores de signo contrario nos extremos, entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto no que a gráfica da función corta o eixo OX.

Teorema de Rolle

Se f(x) é continua en [a,b], derivable en (a,b) e f(a)=f(b), entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f'(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto c en (a,b) tal que a tanxente á curva pasando por (c,f(c)) é paralela ao eixo OX.

Teorema do Valor Medio do Cálculo Diferencial

Casos Fundamentales de Construcción de Tangencias

1. Circunferencia que pasa por un punto exterior $P_e$ y es tangente a una recta $r$ en un punto dado $T$

Condiciones: $P_r(T), P_e, r$

• Paso 1: Trazar una perpendicular a la recta r que pase por el punto de tangencia T.
• Paso 2: Unir el punto T con el punto exterior P_e y hallar la mediatriz del segmento resultante.
• Paso 3: El punto donde la mediatriz corta a la perpendicular trazada anteriormente es el centro O de la circunferencia buscada.

2. Circunferencia que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ y es tangente a una recta $r$

Condiciones: $P_e(P), P_e(Q), r$

• Paso 1: Unir los dos puntos dados, P y Q.
• Paso 2: Hallar la mediatriz del segmento P-Q.
• Paso 3: Con centro en cualquier punto de la mediatriz, se dibuja

Erromantizismo aurrea (I. Karlistaldia)

F. Amezketarra, Izuelako Artzaia.

Herriaren oroitzapenari esker jasoak, gehienak galdu dira. Nekazari giroko mundua islatzen dute. Bertsio saioak desafioak ziren.

Erromantizismoa (Karlistaldien arteko aroa)

Juanmari Lekuonak urrezko aroa deitu zion. Xenpelar, Bilintx, Iparragirre, Etxahun, Bordel.

Gaiak: nekazari giroa, industria eta ondoriozko garapenak. Ahapaldiak luzeagoak eta landuagoak dira: puntuak aberatsagoak, zailagoak eta doinu berriak.

Pizkunde aurrea (Gerra bitartea)

Aldi luzea: Foruen galeratik Gerra Zibilera arte. Otaño, Txirrita, Kepa Enbeita.

Gaiak: kultura, eskakizun politikoak, euskararen defentsa eta abertzaletasuna. Neurri eta gai aniztasun handia.

Bertsoak osatzeko prozesua:

1. Mezuaren eta gaiaren

Glosario de Términos Fundamentales en Geometría Analítica

I. Fundamentos del Plano Cartesiano y Coordenadas

• Lugar Geométrico

  Se establece por un conjunto de puntos que tienen una propiedad o regularidad común. Está definido por medio de la condición geométrica que cumplen todos sus puntos.

• Plano Cartesiano

  Es el plano formado por dos rectas perpendiculares entre sí, que reciben el nombre de ejes. El eje horizontal (Eje X) y el eje vertical (Eje Y). Ambos ejes se intersecan en un punto llamado origen del sistema. Los ejes pertenecen a un plano el cual se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

• Coordenadas Polares

  Estas coordenadas expresan la posición de un punto mediante una distancia radial (r) desde un origen, con su dirección