Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Fórmulas Fundamentales de Matemáticas Superiores

Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

Matriz Inversa y Solución de Sistemas

• Matriz Inversa: $A^{-1} = \frac{(\text{Adj}(A))^t}{|A|}$
• Solución Matricial: Si $AX=B$, entonces $X = A^{-1}B$.

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema de ecuaciones lineales es:

• Compatible si $\text{Rg}(A) = \text{Rg}(A^*)$.
  • Compatible Determinado (Solución Única) si $\text{Rg}(A) = \text{número de incógnitas}$.
  • Compatible Indeterminado (Infinitas Soluciones) si $\text{Rg}(A) < \text{número de incógnitas}$.
• Incompatible (Sin Solución) si $\text{Rg}(A) \neq \text{Rg}(A^*)$.

Producto Escalar (Producto Punto)

El producto escalar de dos vectores $u$ y $v$ es:

$u \cdot v = |u||v| \cos(u,v) = x x' + y y' + z z'$

Geometría

Cancioneiros Principais

Cancioneiro de Ajuda: Composto durante as últimas décadas do século XIII. É un manuscrito de pergamiño que está incompleto, xa que faltan bastantes follas e carece dos nomes dos autores, da notación musical e dalgunhas miniaturas. Contén 310 cantigas de amor e consérvase na Biblioteca do Pazo Real da Ajuda en Lisboa, onde foi atopado.

Cancioneiro da Biblioteca Nacional, tamén chamado Colocci-Brancuti, porque foi o humanista italiano Angelo Colocci quen encargou a súa compilación e se atopou na biblioteca dos condes de Brancuti. Foi copiado en Italia a principios do século XVI e constitúe o máis completo repertorio da nosa lírica profana, xa que contén, ademais das 1205 cantigas do Cancioneiro da Vaticana,... Continuar leyendo "Principais Cancioneiros Medievais Galego-Portugueses" »

Sintaxis y Operadores Básicos

Diferencia entre los dos puntos (:) y el punto y coma (;): Los dos puntos (:) sirven para sumar todos los datos de un rango o columna, mientras que el punto y coma (;) se utiliza para sumar solo valores concretos. Por ejemplo, en (A2;B3), se tomarían únicamente los datos de las celdas A2 y B3.

Funciones Lógicas y de Búsqueda

Función SI

SI = (Condición; valor o expresión1; valor o expresión2). Esta función evalúa una condición. Si la condición es cierta, se ejecuta el valor o expresión1; si la condición es falsa, se ejecuta el valor o expresión2.

Función SUMAR.SI

SUMAR.SI = (Rango a evaluar; "Condición"; Rango a sumar). Suma las casillas del Rango a sumar que cumplen la condición en su correspondiente... Continuar leyendo "Dominio de Funciones en Hojas de Cálculo y Sintaxis de Excel" »

Secciones de Prismas

Prisma Proyectante Recto (Nivel 1)

1. Se abaten los puntos directamente.

Prisma Oblicuo Recto (Nivel 2)

1. Se elevan los puntos mediante horizontales de plano para dibujar la proyección superior.
2. Se trasladan los puntos hasta el eje.
3. Tras realizar un cambio de plano (z'z), se abaten los puntos.

Prisma Proyectante Oblicuo (Nivel 2)

1. Se bajan los puntos para dibujar la proyección inferior.
2. Se abaten los puntos directamente.

Prisma Oblicuo Oblicuo (Nivel 3)

1. Se realiza un cambio de plano (z'z) por cada punto para dibujar la proyección inferior.
2. Se elevan los puntos para dibujar la proyección superior.
3. Se trasladan esos puntos y, tras un nuevo cambio de plano (z'z), se abaten.

Secciones de Pirámides

Pirámide Proyectante Recta (Nivel 2)

1. Se bajan

Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial

Teorema de Weierstrass

Se unha función é continua nun intervalo pechado, entón ten un máximo e un mínimo en dito intervalo.

Teorema de Bolzano

Se unha función é continua en [a,b] e toma valores de signo contrario nos extremos, entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto no que a gráfica da función corta o eixo OX.

Teorema de Rolle

Se f(x) é continua en [a,b], derivable en (a,b) e f(a)=f(b), entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f'(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto c en (a,b) tal que a tanxente á curva pasando por (c,f(c)) é paralela ao eixo OX.

Teorema do Valor Medio do Cálculo Diferencial

Casos Fundamentales de Construcción de Tangencias

1. Circunferencia que pasa por un punto exterior $P_e$ y es tangente a una recta $r$ en un punto dado $T$

Condiciones: $P_r(T), P_e, r$

• Paso 1: Trazar una perpendicular a la recta r que pase por el punto de tangencia T.
• Paso 2: Unir el punto T con el punto exterior P_e y hallar la mediatriz del segmento resultante.
• Paso 3: El punto donde la mediatriz corta a la perpendicular trazada anteriormente es el centro O de la circunferencia buscada.

2. Circunferencia que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ y es tangente a una recta $r$

Condiciones: $P_e(P), P_e(Q), r$

• Paso 1: Unir los dos puntos dados, P y Q.
• Paso 2: Hallar la mediatriz del segmento P-Q.
• Paso 3: Con centro en cualquier punto de la mediatriz, se dibuja

Glosario de Términos Fundamentales en Geometría Analítica

I. Fundamentos del Plano Cartesiano y Coordenadas

• Lugar Geométrico

  Se establece por un conjunto de puntos que tienen una propiedad o regularidad común. Está definido por medio de la condición geométrica que cumplen todos sus puntos.

• Plano Cartesiano

  Es el plano formado por dos rectas perpendiculares entre sí, que reciben el nombre de ejes. El eje horizontal (Eje X) y el eje vertical (Eje Y). Ambos ejes se intersecan en un punto llamado origen del sistema. Los ejes pertenecen a un plano el cual se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

• Coordenadas Polares

  Estas coordenadas expresan la posición de un punto mediante una distancia radial (r) desde un origen, con su dirección

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Una función es una relación entre un conjunto X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio), donde a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del codominio.

Criterio de la Línea Vertical para Funciones

Para determinar si una gráfica representa una función, se traza una línea vertical en la gráfica. Si esta línea toca la gráfica en al menos dos puntos, entonces la gráfica no representa una función, ya que contradice el concepto fundamental de que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el codominio.

Dominio y Rango de una Función

• Dominio: Es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable

Fundamentos de Trigonometría

sen = cat op / hip

cos = cat cont / hip

tg = cat op / cat cont

cosec = 1 / sen

sec = 1 / cos

cotang = 1 / tg

tg = sen / cos

sen² + cos² = 1

1 + tg² = sec² | 1 + cotg² = cosec²

Razones Trigonométricas de un Ángulo Cualquiera

sen = y / r     r² = x² + y²

cos = x / r

tg = y / x

Valores de las Funciones Trigonométricas en Ángulos Clave

• Ángulo 0: sen = 0, cos = 1, tg = 0
• Ángulo 90: sen = 1, cos = 0, tg = no definida
• Ángulo 180: sen = 0, cos = -1, tg = 0
• Ángulo 270: sen = -1, cos = 0, tg = no definida

Cuadrantes y Signos de las Funciones Trigonométricas

• sen o cosec = + en 1º, 2º; - en 3º, 4º
• cos o sec = + en 1º, 4º; - en 2º, 3º
• tg o cotg = + en 1º, 3º; - en 2º, 4º

Tabla de Valores Trigonométricos