Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Condiciones de Optimización en Cálculo Multivariable

Condición Suficiente de Optimalidad (Criterio de la Segunda Derivada)

Si para una función escalar f, se cumple que:

• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida positiva, entonces f tiene un mínimo local en a.
• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida negativa, entonces f tiene un máximo local en a.

Optimización Convexa

Una función f es convexa en un conjunto A si para cualquier x, y en A y cualquier λ en [0, 1], se cumple:

f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)

Teoría Local-Global

Sea A un conjunto convexo y f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ una función escalar. Se verifica que:

• Si f es cóncava, entonces todo

Divisió de Polinomis

Es posa en forma de divisió de tota la vida. Es busca un número que multiplicat pel primer que divideix doni el primer número de l'esquerra. Aquest número que trobem el multipliquem pels altres dos números que divideixen i els anem apuntant. Fem la resta dels números que hem obtingut amb els del principi. Anem repetint afegint números fins arribar a grau 2.

Ruffini

Dividir pel número que et donen canviant de signe (el de fora de la caixa). Es baixa el primer número i es multiplica pel de fora de la caixa i es fica el resultat a la dreta. Se suma el que hem posat amb el de dalt i anotem el resultat a baix, i així amb tots.

Arrel d'un Polinomi

Passar d'un polinomi fins a grau 1. Diverses solucions. Primer s'iguala a... Continuar leyendo "Divisió de Polinomis, Ruffini i Factorització: Guia Completa" »

Conceptos Fundamentales de Álgebra

Sistemas de Ecuaciones con Dos Incógnitas

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede representar rectas que se comportan de las siguientes maneras:

• Se cortan en un punto.
• Son coincidentes (misma pendiente y ordenada en el origen).
• Son paralelas (misma pendiente, diferente ordenada en el origen).

Por lo tanto, el conjunto solución puede tener:

• Un solo punto (sistema compatible determinado).
• Infinitos puntos (sistema compatible indeterminado).
• Ningún punto (sistema incompatible).

En resumen, los sistemas se clasifican en:

• Compatibles
  • Determinados (un punto de intersección, perpendiculares).
  • Indeterminados (infinitos puntos).
• Incompatibles (paralelas, sin punto de solución).

Cuadrado y Cubo de Binomios

• Cuadrado

Teorema del Resto: El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Logaritmos:

Producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

LOGa2+LOGa7=LOGa(2x7)=LOGa14

Cociente: Es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

LOGa75-LOGa25=LOGa75/25=LOGa3

Potencia: Es igual al prodcuto del exponente por el logaritmo de la base.

LOGa2^5=5xLOGa2

Interés Simple:          Interés Compuesto:

Ci:Ci*r*t/100      Cf=Ci*(1+r)^t

Periodo de Capitalización:  [Dif del año]
Cf= Ci*(1+r)^t        [Cf=Ci*(1+r/k)^k*t]

Anualidades de capitalización(pens/aorrovi):    C=a*[(1+r)^t+1  

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Representación de Vectores y Rectas

Vector de dos coordenadas: $(1, -1)$ y $(2, -2)$.

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial: $(x, y) = (p_1, p_2) + t(d_1, d_2)$
• Ecuación Paramétrica:
  • $x = p_1 + t(d_1)$
  • $y = p_2 + t(d_2)$

Formas de la Ecuación de la Recta

• Ecuación General (Implícita): $Ax + By + C = 0 \rightarrow$ Vector director $\vec{d} = (-B, A)$
• Ecuación Explícita: $y = mx + n \rightarrow m$ es la pendiente.
• Ecuación Punto-Pendiente: $y = y_0 + m(x - x_0)$

Relaciones entre Rectas

Condiciones de Paralelismo

Dos rectas son paralelas si:

1. Sus vectores directores son proporcionales: $\vec{d}_r = \lambda \cdot \vec{d}_s$ (o $d_r \propto d_s$).
2. Tienen la misma pendiente: $m_r = m_s$.

Condiciones de

Fórmulas Fundamentales de Matemáticas Superiores

Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

Matriz Inversa y Solución de Sistemas

• Matriz Inversa: $A^{-1} = \frac{(\text{Adj}(A))^t}{|A|}$
• Solución Matricial: Si $AX=B$, entonces $X = A^{-1}B$.

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema de ecuaciones lineales es:

• Compatible si $\text{Rg}(A) = \text{Rg}(A^*)$.
  • Compatible Determinado (Solución Única) si $\text{Rg}(A) = \text{número de incógnitas}$.
  • Compatible Indeterminado (Infinitas Soluciones) si $\text{Rg}(A) < \text{número de incógnitas}$.
• Incompatible (Sin Solución) si $\text{Rg}(A) \neq \text{Rg}(A^*)$.

Producto Escalar (Producto Punto)

El producto escalar de dos vectores $u$ y $v$ es:

$u \cdot v = |u||v| \cos(u,v) = x x' + y y' + z z'$

Geometría

Hominizazio Prozesua

XIX. mendera arte, gizakiaren jatorriari buruzko teoriak erlijiosoak izan ziren:

• Biblia: Jainkoak lur-hautsez gizona egin zuen, eta gero emakumea.
• Brahmanismoa: Purusha erraldoia hiltzean mila zatitan hautsi zen; zati horietako bakoitza naturako gauza oro da.

Charles Darwin eta Bilakaeraren Teoria

1859an Espezieen jatorria liburua argitaratzean, izaki bizidunak organismo sinpleagoen bilakaeraren ondorio zirela zioen. Gure burmuinaren ezaugarri anatomikoak tximinoenaren oso antzekoak direla azaltzen zuen. Teoria hau oso kritikatua izan zen, gizakia eta beste primate batzuek arbaso berberak zituztela zioen eta.

Bilakaera Prozesua

Duela 10 milioi urte, klima hoztu egin zen eta sabanak agertu ziren. Afrikako primateen talde batek... Continuar leyendo "Hominizazio Prozesua: Gizakiaren Bilakaera eta Historia" »

Cancioneiros Principais

Cancioneiro de Ajuda: Composto durante as últimas décadas do século XIII. É un manuscrito de pergamiño que está incompleto, xa que faltan bastantes follas e carece dos nomes dos autores, da notación musical e dalgunhas miniaturas. Contén 310 cantigas de amor e consérvase na Biblioteca do Pazo Real da Ajuda en Lisboa, onde foi atopado.

Cancioneiro da Biblioteca Nacional, tamén chamado Colocci-Brancuti, porque foi o humanista italiano Angelo Colocci quen encargou a súa compilación e se atopou na biblioteca dos condes de Brancuti. Foi copiado en Italia a principios do século XVI e constitúe o máis completo repertorio da nosa lírica profana, xa que contén, ademais das 1205 cantigas do Cancioneiro da Vaticana,... Continuar leyendo "Principais Cancioneiros Medievais Galego-Portugueses" »

Sintaxis y Operadores Básicos

Diferencia entre los dos puntos (:) y el punto y coma (;): Los dos puntos (:) sirven para sumar todos los datos de un rango o columna, mientras que el punto y coma (;) se utiliza para sumar solo valores concretos. Por ejemplo, en (A2;B3), se tomarían únicamente los datos de las celdas A2 y B3.

Funciones Lógicas y de Búsqueda

Función SI

SI = (Condición; valor o expresión1; valor o expresión2). Esta función evalúa una condición. Si la condición es cierta, se ejecuta el valor o expresión1; si la condición es falsa, se ejecuta el valor o expresión2.

Función SUMAR.SI

SUMAR.SI = (Rango a evaluar; "Condición"; Rango a sumar). Suma las casillas del Rango a sumar que cumplen la condición en su correspondiente... Continuar leyendo "Dominio de Funciones en Hojas de Cálculo y Sintaxis de Excel" »

Secciones de Prismas

Prisma Proyectante Recto (Nivel 1)

1. Se abaten los puntos directamente.

Prisma Oblicuo Recto (Nivel 2)

1. Se elevan los puntos mediante horizontales de plano para dibujar la proyección superior.
2. Se trasladan los puntos hasta el eje.
3. Tras realizar un cambio de plano (z'z), se abaten los puntos.

Prisma Proyectante Oblicuo (Nivel 2)

1. Se bajan los puntos para dibujar la proyección inferior.
2. Se abaten los puntos directamente.

Prisma Oblicuo Oblicuo (Nivel 3)

1. Se realiza un cambio de plano (z'z) por cada punto para dibujar la proyección inferior.
2. Se elevan los puntos para dibujar la proyección superior.
3. Se trasladan esos puntos y, tras un nuevo cambio de plano (z'z), se abaten.

Secciones de Pirámides

Pirámide Proyectante Recta (Nivel 2)

1. Se bajan