Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

4. ariketa.

Bolzano-ren teoremak dio tarte itxi batean jarraitua den funtzio batek, tartearen muturretan aurkako zeinua duten balioak hartzen baditu, funtzioak OX ardatza ebaki egingo duela.

Beste hitz batzuekin, marra baten beheko aldetik goiko aldera edo goiko aldetik beheko aldera funtzio jarraitu batekin igarotzeko, marra ebaki egin behar.

Eta hori zelan esaten da matematikoki:

Grafikoki:

Orain, ekuazioaren soluzio baten bila goaz. Lehenengo Ruffini-ren erregelarekin abiatuko gara:

Erro osorik ez du. Har dezagun funtzioa eta ikus dezagun zein tartetan betetzen dituen Bolzanoren teoremaren hipotesiak.

f(x) jarraitua da, polinomikoa baita, orduan balio positibo bat zein puntutan hartzen duen eta balio negatibo... Continuar leyendo "Bolzano-ren Teorema eta Ekuazioen Soluzioa" »

Antropologia Kulturala eta Gizarte Eboluzioa

Antropologia Kulturalaren Helburua

Antropologia kulturalak giza taldeen bizimodua eta horietako bakoitzaren bilakaera ditu aztergai. Bere helburua kultura sakon aztertzea da.

Gizarte Moten Bilakaera

Lehenengo Gizarteak

• Ezaugarriak: Berdintasunezko gizakiak ziren, ehiztariak eta biltzaileak.
• Ekonomia: Trukea eta elkarrikotasuna ziren oinarri.

Nekazaritza Gizartea

Ehiza larria agortu egin zen, biztanle kopurua gora egin zuen, baita ere laborantza eta animalien ustiapena.

Estatua Sortu Berriak

Estatua iristeko ezaugarriak hauek izan ziren:

1. Boterea zentralizatua.
2. Gizartea maila gehiagotan banatuta.
3. Ondasunen banaketa desberdina.
4. Hiri-garapena.

Gizarte Identitatea eta Sozializazioa

Gizarte Identitatea

Gu guztiok gizarte... Continuar leyendo "Antropologia eta Gizarte Identitatea: Oinarrizko Kontzeptuak" »

Conceptos Fundamentales de Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones: Definiciones y Tipos

Una ecuación es una expresión algebraica que contiene un signo de igualdad y que puede verificarse para uno o varios valores de la variable.

Tipos Específicos de Ecuaciones

• Ecuación Racional: Es aquella que tiene la incógnita en el denominador. Para resolverla, se multiplica la ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores y se resuelve la ecuación resultante.

• Ecuación Irracional: Es una ecuación que tiene la incógnita bajo un signo radical. Para su resolución, es necesario elevar al cuadrado (o a la potencia correspondiente) uno o ambos miembros, ya que pueden aparecer soluciones extrañas (no válidas) que deben ser verificadas

Conceptos Básicos de Estadística

Tablas de Frecuencias

• Tabla de frecuencias: Se utiliza para organizar los datos obtenidos en un estudio estadístico.
• Frecuencia absoluta (f_i): Número de veces que aparece un dato en la muestra.
• Frecuencia absoluta acumulada (F_i): Suma de las frecuencias absolutas de un elemento y la frecuencia absoluta de sus anteriores.
• Frecuencia relativa (h_i): Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la muestra.
• Frecuencia relativa acumulada (H_i): Suma de la frecuencia relativa de un elemento más la frecuencia relativa de los datos anteriores.
• Tamaño de la muestra (N): Número de individuos que componen la muestra.

Representación y Medidas

• Tipos de gráficos estadísticos: Diagrama de barras, histogramas,

La estructura ósea de la caja torácica está formada por la columna vertebral, 12 pares de costillas y el esternón, además de las escápulas. Las costillas se articulan hacia atrás con la columna dorsal y hacia delante, las primeras siete se unen al esternón y las tres siguientes, se van uniendo entre ellas y forman del reborde costal. Las costillas 11 y 12 son “flotantes” ya que no se unen al esternón. El reborde costal derecho e izquierdo forman un ángulo llamado ángulo costal.

-Volumen corriente: cantidad de aire que entra y sale del pulmón en un ciclo. -Volumen residual: cantidad de aire que queda después de la espiración. -Volumen espiratorio de reserva: volumen adicional que se puede espirar luego de la espiración normal.... Continuar leyendo "Español" »

Ejercicio 1: Contraste de Hipótesis sobre la Duración de Bombillas

Contraste Unilateral Izquierdo: Un fabricante afirma que sus bombillas tienen una duración media de al menos 1600 horas. Para verificar esto, se tomó una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniendo una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas.

1. a) Plantear el contraste para decidir si se acepta la información del fabricante.
2. b) ¿Puede aceptarse la información del fabricante con un nivel de significación del 4%?
3. c) Si la misma información muestral se hubiese obtenido de una muestra de 40 bombillas, ¿se aceptaría la información del fabricante con un nivel de significación del 4%?

Ejercicio 2: Proporción de Estudiantes que Usan Transporte

Asíntotas de Funciones

Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de una función se acerca indefinidamente sin llegar a cruzarlas en el infinito.

Asíntotas Horizontales (AH)

Si el límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito (o a menos infinito) es un valor finito 'a', entonces la recta y = a es una asíntota horizontal.

• Si lim_x→∞ f(x) = a o lim_x→-∞ f(x) = a, entonces y = a es una asíntota horizontal.
• Una función puede tener un máximo de dos asíntotas horizontales (una para x→∞ y otra para x→-∞).

Asíntotas Verticales (AV)

En una función racional, puede haber tantas asíntotas verticales (AV) como raíces tenga el denominador que no sean también raíces del numerador.

• Si una función tiene asíntotas verticales,

1. Plano perpendicular a una recta que pasa por un punto

Cogemos el vector director de la recta y lo sustituimos en Ax + By + Cz + D = 0. Después, cogemos el punto y lo sustituimos en la x, y, z para sacar D y ya tenemos el plano.

2. Simétrico de P(1,2,1) respecto a una recta r

Empezamos calculando M = proyección de P sobre r, es decir, Π perpendicular a r que contiene a P. Para ello, se coge el vector director de la recta y se sustituye en Ax + By + Cz + D = 0. Después se sustituye x, y, z para sacar D y obtener el plano.

Después de esto, debemos hacer la intersección de Π y r, es decir, se sustituyen x, y, z en el plano por las coordenadas de la recta para obtener λ (lambda). Una vez sacada λ, sustituimos λ en las coordenadas de la... Continuar leyendo "Guía Práctica de Geometría Analítica: Problemas Resueltos y Explicaciones Claras" »

Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

Para el cálculo de la matriz inversa, podemos utilizar el método de Gauss-Jordan o la fórmula basada en la adjunta:

A^-1 = (Adj(A))^t / |A|

Para resolver sistemas de ecuaciones del tipo AX = B, despejamos la incógnita como X = A^-1B.

Teorema de Rouché-Frobenius

• Sistema Compatible: Si Rg(A) = Rg(A*).
  • Determinado: Si el rango es igual al número de incógnitas.
  • Indeterminado: Si el rango es menor al número de incógnitas.
• Sistema Incompatible: Si Rg(A) ≠ Rg(A*).

Geometría Analítica en el Espacio

Producto Escalar y Puntos

El producto escalar se define como: u • v = |u| |v| cos(u, v) = x·x' + y·y' + z·z'.

El punto medio de un segmento se halla mediante la fórmula: M = ((a+b)/2, ...).

Posiciones Relativas

Entre