Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial

Teorema de Weierstrass

Se unha función é continua nun intervalo pechado, entón ten un máximo e un mínimo en dito intervalo.

Teorema de Bolzano

Se unha función é continua en [a,b] e toma valores de signo contrario nos extremos, entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto no que a gráfica da función corta o eixo OX.

Teorema de Rolle

Se f(x) é continua en [a,b], derivable en (a,b) e f(a)=f(b), entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f'(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto c en (a,b) tal que a tanxente á curva pasando por (c,f(c)) é paralela ao eixo OX.

Teorema do Valor Medio do Cálculo Diferencial

Casos Fundamentales de Construcción de Tangencias

1. Circunferencia que pasa por un punto exterior $P_e$ y es tangente a una recta $r$ en un punto dado $T$

Condiciones: $P_r(T), P_e, r$

• Paso 1: Trazar una perpendicular a la recta r que pase por el punto de tangencia T.
• Paso 2: Unir el punto T con el punto exterior P_e y hallar la mediatriz del segmento resultante.
• Paso 3: El punto donde la mediatriz corta a la perpendicular trazada anteriormente es el centro O de la circunferencia buscada.

2. Circunferencia que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ y es tangente a una recta $r$

Condiciones: $P_e(P), P_e(Q), r$

• Paso 1: Unir los dos puntos dados, P y Q.
• Paso 2: Hallar la mediatriz del segmento P-Q.
• Paso 3: Con centro en cualquier punto de la mediatriz, se dibuja

Erromantizismo aurrea (I. Karlistaldia)

F. Amezketarra, Izuelako Artzaia.

Herriaren oroitzapenari esker jasoak, gehienak galdu dira. Nekazari giroko mundua islatzen dute. Bertsio saioak desafioak ziren.

Erromantizismoa (Karlistaldien arteko aroa)

Juanmari Lekuonak urrezko aroa deitu zion. Xenpelar, Bilintx, Iparragirre, Etxahun, Bordel.

Gaiak: nekazari giroa, industria eta ondoriozko garapenak. Ahapaldiak luzeagoak eta landuagoak dira: puntuak aberatsagoak, zailagoak eta doinu berriak.

Pizkunde aurrea (Gerra bitartea)

Aldi luzea: Foruen galeratik Gerra Zibilera arte. Otaño, Txirrita, Kepa Enbeita.

Gaiak: kultura, eskakizun politikoak, euskararen defentsa eta abertzaletasuna. Neurri eta gai aniztasun handia.

Bertsoak osatzeko prozesua:

1. Mezuaren eta gaiaren

Glosario de Términos Fundamentales en Geometría Analítica

I. Fundamentos del Plano Cartesiano y Coordenadas

• Lugar Geométrico

  Se establece por un conjunto de puntos que tienen una propiedad o regularidad común. Está definido por medio de la condición geométrica que cumplen todos sus puntos.

• Plano Cartesiano

  Es el plano formado por dos rectas perpendiculares entre sí, que reciben el nombre de ejes. El eje horizontal (Eje X) y el eje vertical (Eje Y). Ambos ejes se intersecan en un punto llamado origen del sistema. Los ejes pertenecen a un plano el cual se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

• Coordenadas Polares

  Estas coordenadas expresan la posición de un punto mediante una distancia radial (r) desde un origen, con su dirección

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Una función es una relación entre un conjunto X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio), donde a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del codominio.

Criterio de la Línea Vertical para Funciones

Para determinar si una gráfica representa una función, se traza una línea vertical en la gráfica. Si esta línea toca la gráfica en al menos dos puntos, entonces la gráfica no representa una función, ya que contradice el concepto fundamental de que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el codominio.

Dominio y Rango de una Función

• Dominio: Es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable

Fundamentos de Trigonometría

sen = cat op / hip

cos = cat cont / hip

tg = cat op / cat cont

cosec = 1 / sen

sec = 1 / cos

cotang = 1 / tg

tg = sen / cos

sen² + cos² = 1

1 + tg² = sec² | 1 + cotg² = cosec²

Razones Trigonométricas de un Ángulo Cualquiera

sen = y / r     r² = x² + y²

cos = x / r

tg = y / x

Valores de las Funciones Trigonométricas en Ángulos Clave

• Ángulo 0: sen = 0, cos = 1, tg = 0
• Ángulo 90: sen = 1, cos = 0, tg = no definida
• Ángulo 180: sen = 0, cos = -1, tg = 0
• Ángulo 270: sen = -1, cos = 0, tg = no definida

Cuadrantes y Signos de las Funciones Trigonométricas

• sen o cosec = + en 1º, 2º; - en 3º, 4º
• cos o sec = + en 1º, 4º; - en 2º, 3º
• tg o cotg = + en 1º, 3º; - en 2º, 4º

Tabla de Valores Trigonométricos

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Definiciones Clave en Probabilidad

• Experiencia aleatoria:

  Es aquella cuyo resultado depende del azar.

• Suceso aleatorio:

  Es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar.

• Espacio Muestral (E):

  Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

• Suceso:

  Cualquier subconjunto de E. Pueden ser sucesos elementales o individuales. También son sucesos el suceso vacío y el propio E (suceso seguro).

Operaciones con Sucesos

• Unión (A ∪ B):

  Suceso formado por los elementos de A y B. Se verifica cuando ocurre al menos uno de los dos.

• Intersección (A ∩ B):

  Suceso formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B.

• Diferencia (A - B):

  Suceso formado por todos los elementos

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Bolzano

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. Si el signo de f(a) es distinto del signo de f(b) (es decir, f(a) · f(b) < 0), entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

Aplicación (Tabla de valores): Se puede construir una tabla de valores para f(x) en el intervalo [a, b] para encontrar subintervalos donde la función cambia de signo, asegurando la existencia de una raíz.

Consecuencia del Teorema de Bolzano (Intersección de funciones)

Si tenemos dos funciones f(x) y g(x), ambas continuas en [a, b], y definimos una nueva función h(x) = f(x) - g(x) (que también será continua en [a, b]), podemos aplicar el Teorema de... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Cálculo y Geometría Analítica: Teoremas, Derivadas y Posiciones Relativas" »