Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Ecuaciones de la Recta

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación general de la recta

Ecuación explícita de la recta

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Pendiente de la Recta

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Relaciones entre Rectas

Rectas paralelas

Rectas paralelas al eje OX

Rectas paralelas al eje OY

Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

Rectas perpendiculares

El vector v = (A, B) es perpendicular a la recta r ≡ A x + B y + C = 0.

Si dos rectas son perpendiculares, tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Posiciones relativas

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones de Segundo Grado

Ejercicio 1

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 3 y −2.

S = 3 − 2 = 1 /// P = 3 · (−2) = −6 /// x² − x − 6 = 0

Ejercicio 2

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

x² − Sx + P = 0

Ejercicio 3

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

Edad actual x

Edad hace 13 años x − 13

Edad dentro de 11 años x + 11

Edad actual 21

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Ecuaciones de Segundo Grado: Problemas y Soluciones" »

Cuba i la Pau de Zanjón (1878)

• Després de la Pau de Zanjón el 1878, es van prometre reformes a Cuba, com ara:
  • Llibertat de comerç.
  • Participació a les Corts igual que els espanyols de la Península.
  • Abolició de l'esclavitud.
• No obstant això, aquestes reformes no es van complir a causa de la pressió dels grans propietaris, dels negrers i dels comerciants de la península.

Desig d'autonomia i formació de partits

• Els cubans volien l'autonomia i van crear dos grans partits:
  • Partit Autonomista: Formats per cubans que volien l'autonomia de l'illa. Posteriorment es va transformar en el Partit Revolucionari Cubà, que buscava la independència i va rebre el suport dels Estats Units.
  • Unió Constitucional: Formats per espanyols instal·lats a Cuba.

Augment

Asociación Estadística y Causalidad

Se establecen inferencias causales mediante dos tipos de procesos lógicos:

• Razonamiento Deductivo: Una preposición de orden general se traslada a un orden específico.
• Razonamiento Inductivo: Una preposición de orden específico se traslada a un nivel más general.

Tipos de Error

• Error Aleatorio (Error de muestra): Se presenta cuando existe una diferencia entre la estimación obtenida a partir de los datos estudiados y el parámetro que se puede estudiar.
• Error Sistemático (Sesgo): Se presenta cuando existe una diferencia entre la estimación y el verdadero efecto que interesa.

Criterios de Exposición

• Criterio Cualitativo: Consiste en establecer la lista indicativa de las ocupaciones donde se pueda producir

Derivadas y Ecuaciones de Funciones

f(x) = k ----- f´(x) = 0 f(x) = x ----- f´(x) = 1

f(x) = ax + b --- f´(x) = a f(x) = u^k --- f´(x) = k.u^(k-1).u´

f(x) = k raíz de u ---------- f´(x) = u´ / k . raíz k de u^(k-1)

f(x) = u ± v --- f´(x) = u´ ± v´ f(x) = k.u ---- f´(x) = k.u´

f(x) = u.v --- f´(x) = u´.v + u.v´ f(x) = u/v --- f´(x) = (u´.v - u.v´) / v^2

f(x) = k/v -- f´(x) = -k.v´ / v^2 f(x) = a^u -- f´(x) = u´.a^u. ln a

f(x) = e^u --- f´(x) = u´.e^u f(x) = ln u ---- f´(x) = u´ / u

f(x) = lg n base a de u -- f´(x) = u´ / u. ln a = (u´ / u).(lg n base a de e)

f(x) = sen u --- f´(x) = u´.cos u f(x) = cos u -- f´(x) = -u´.sen u

f(x) = tg u --- f´(x) = u´/(cos^2 u) = u´.sec^2 u = u´.(1 + tg^2 u)

f(x) = cotg u f´(x)

Es fragment del manifest Conjunt de l'UGT i CNT escrit per dirigents d'ambdós sindicats el 27 de març de 1917 a Madrid i publicat en el diari La Correspondencia d'España. Un dia després de la seva creació, en aquest manifest, ambdós sindicats s'uneixen per convocar una vaga a favor dels drets i per demanar al govern una millor situació, ja que la 1a GM i la burgesia no ajudaven a la seva millora. Segons la naturalesa, correspon a un text històric, circumstancial, de contingut social/polític i amb matís de provenir de fonts primàries. Redactat al març de 1917, estant en la restauració de la crisi. El text consta d'autor col·lectiu. Aquest document té un abast popular, el fi del qual és la promulgació d'una reivindicació dels... Continuar leyendo "Anàlisi del Manifest del Conjunt UGT i CNT" »

Cálculo de Distancias en Geometría Analítica

Distancia entre un Punto y una Recta

La distancia de un punto, P, a una recta, r, es la menor de las distancias desde el punto P a los infinitos puntos de la recta r.

Esta distancia corresponde a la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto hasta la recta.

Distancia entre Rectas Paralelas

La distancia de una recta, r, a otra recta paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de r hasta la recta s.

Distancia entre Rectas que se Cruzan

La distancia entre dos rectas que se cruzan se mide sobre la recta perpendicular común a ambas.

Sean y las determinaciones lineales de las rectas r y s (P punto de r, u vector director de r; Q punto de s, v vector director de s).

Los vectores... Continuar leyendo "Cómo Calcular Distancias y Ángulos entre Puntos, Rectas y Planos" »

Fundamentos de Probabilidad y Estadística

Definiciones Clave

Estadística

Ciencia que utiliza un conjunto de datos numéricos para obtener a partir de ellos inferencias basadas en el cálculo.

Ramas de la Estadística

• Estadística Descriptiva: Nos ayuda a describir cierto acontecimiento a partir de los datos de una muestra.
• Estadística Inferencial: Estudia la forma de obtener conclusiones de los resultados obtenidos.

Variables Estadísticas

Variables

Características o propiedades que posee un individuo o cosa.

Tipos de Variables Cualitativas (No Medibles)

• Cualitativa: Característica no medible.
• Nominal: Los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden (ejemplo: colores o lugar de residencia).
• Ordinal: La variable puede tomar distintos valores

Cilindre pneumàtic de doble efecte

Un cilindre pneumàtic de doble efecte té un diàmetre de l’èmbol de D = 30 mm, un diàmetre de la tija d = 8 mm i una carrera c = 17 mm i una pressió p0 = 0,8 MPa i els seus fregaments interns es poden considerar negligibles. Determineu:

a) La força avanç i retrocés

En una maniobra la tija fa una carrera d’avanç i una de retrocés.

b) Quin volum d’aire a pressió es consumeix en la maniobra d'avanç i retrocés?

1r fem els canvis d'unitats D = 30 mm = 0,03 m, d = 8 mm = 0,008 m, c = 17 mm = 0,017 m, p = 0,8 MPa = 0,8·10 Pa⁶. Apliquem la fórmula p = F/A --> F = p·A

La força avanç i retrocés en una maniobra:

• F màx = p·A1 = 565,48 N
• F min = p·(A1−A2) = 525,27 N

El volum d'aire consumit en... Continuar leyendo "Cilindres pneumàtics i hidràulics: càlcul de forces i volums" »