Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Regla de Cramer (Sistema Compatible Determinado - SCD)

Un sistema es Compatible Determinado (SCD) si tiene una única solución. Para aplicar la Regla de Cramer, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero (|A| ≠ 0).

Ejemplo de SCD

Consideremos el sistema:

x - y       = 7
2x + y - z  = 3
     y + z  = 3

Primer paso: Calcular el determinante de la matriz de coeficientes |A|.

|A| = | 1  -1   0 |
    | 2   1  -1 |
    | 0   1   1 |

Calculando el determinante, obtenemos |A| = 4. Como |A| ≠ 0, el sistema es un SCD y podemos aplicar la Regla de Cramer.

La Regla de Cramer establece que la solución para cada incógnita (x, y, z) se obtiene dividiendo el determinante de la matriz... Continuar leyendo "Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Regla de Cramer y Rouché-Frobenius" »

Ejercicios de Sucesiones y Series

Ejercicio 1

Hallar los primeros 5 términos de la sucesión: a_n = 2n + (-1)ⁿ - 1

Solución:

• a₁ = 2(1) + (-1)¹ - 1 = 2 - 1 - 1 = 0
• a₂ = 2(2) + (-1)² - 1 = 4 + 1 - 1 = 4
• a₃ = 2(3) + (-1)³ - 1 = 6 - 1 - 1 = 4
• a₄ = 2(4) + (-1)⁴ - 1 = 8 + 1 - 1 = 8
• a₅ = 2(5) + (-1)⁵ - 1 = 10 - 1 - 1 = 8

Ejercicio 2

Hallar los primeros 5 términos de la sucesión recursiva: a₁ = 2, a₂ = -1, a_n = a_n-1 / a_n-2

Solución:

• a₁ = 2
• a₂ = -1
• a₃ = a₂ / a₁ = -1 / 2 = -1/2
• a₄ = a₃ / a₂ = (-1/2) / (-1) = 1/2
• a₅ = a₄ / a₃ = (1/2) / (-1/2) = -1

Ejercicio 3

Hallar una fórmula general para el n-ésimo término de la sucesión 0, 3, 8, 15, 24, 35...

Solución:

a_n = n² - 1

Ejercicio 4

Grafique la sucesión a_n = 3n - 4

Solución:

• a₁ = 3(1) - 4 = -1
• a₂ = 3(2) - 4 = 2
• a₃ = 3(

Semejanza: tiene igual forma y tamaños proporcionales
Razón (r)= lado primo | A’, B’ ,C’/A, B, C |
semejante(~) -> Triángulos | Congruentes ( -> Ángulos | Proporcionales -> Lados
Postulados: Ángulo Ángulo, Lado, ángulo, lado, lado lado lado.
Teorema de la proporcionalidad AD/AB * = DE/ BC
modelo a escala-> se considera la razón |A’/A= valor / incógnita = A’ * incognia =  A * valor |
Centro de la Homotecia (o): donde se cruzan lso verices de la figura original y la imagen
Razón de la homotecia (k) : K = A’O/AO
Homotecia Directa : la figura se “traslada” respecto a O ( k > 0 )
Homotecia Inversa : La figura toma efecto espejo respecto a O
-Si -1 < k="">< o="" :="">
-Si k<-1 :="">-1>
Teorema

Fundamentos de Probabilidad y Estadística

Cálculo de Probabilidades mediante el Teorema de Bayes

La siguiente tabla ilustra la aplicación de los componentes del Teorema de Bayes para calcular las probabilidades a posteriori, basándose en eventos previos ($P_i$) y un resultado observado ($D$).

Tabla de Distribución de Probabilidades Bayesianas

Tipos de Probabilidad y sus Fórmulas

Propiedades de la Multiplicación en Números Enteros

Propiedad Conmutativa

Establece que si se cambia el orden de los factores, no se altera el producto.

Ejemplo: [3 . (-2)] . 8 = 3 . [(-2) . 8] → (-6) . 8 = 3 . (-16) → -48 = -48

Propiedad Asociativa

Establece que si se agrupan los factores de distintas formas, se obtiene el mismo producto.

Ejemplo: [3 . 24] . 2 = 3 . [24 . 2] → 72 . 2 = 3 . 48 → 144 = 144

Elemento Neutro

En el conjunto de los números enteros (Z), el elemento neutro de la multiplicación es el número 1.

Ejemplo: (-4) . 1 = -4; 1 . (-6) = -6

Factor Cero

Es el factor que anula a cualquier número.

Ejemplo: 0 . 12 = 0

Propiedad Distributiva

Con respecto a la adición, se aplica cuando uno de los factores es una suma con dos o más... Continuar leyendo "Propiedades de la Multiplicación y Potenciación en Números Enteros" »

Conceptos Básicos de Geometría

Punto, Recta, Semirrecta, Segmento y Curva

• Punto: Intersección de dos líneas.
• Recta: Sucesión de puntos en la misma dirección.
• Semirrecta: Parte de una recta limitada por un punto en uno de sus extremos.
• Segmento: Parte de la recta limitada por dos puntos.
• Curva: Sucesión de puntos que no siguen la misma dirección.

Plano

Un plano puede quedar determinado por tres casos:

1. Tres puntos no alineados.
2. Una recta y un punto.
3. Dos rectas que se cortan.

Lugar Geométrico

El lugar geométrico de unos puntos es el conjunto de puntos del plano o del espacio que cumplen una determinada condición.

Circunferencia: Lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro llamado centro.

Perpendicularidad

Las rectas convergentes... Continuar leyendo "Conceptos Básicos de Geometría: Puntos, Rectas, Ángulos y Circunferencias" »

El Método Científico: Un Camino Hacia el Conocimiento

El trabajo científico es aquella actividad que consiste en descubrir las leyes que rigen la naturaleza mediante un proceso válido y fiable que recibe el nombre de método científico. Este método se compone de varias etapas interconectadas:

1. Observación

La primera etapa del método científico es la observación de hechos o fenómenos. Para que esta observación sea fructífera y conduzca a descubrimientos significativos, debe ser:

• Cuidadosa: Prestando atención a los detalles.
• Exhaustiva: Abarcando todos los aspectos relevantes.
• Exacta: Registrando los datos de forma precisa.

2. Elaboración de Hipótesis

Una hipótesis científica es una suposición o explicación provisional que debe... Continuar leyendo "Método Científico: Observación, Experimentación y Medición" »

Gizarte Zerbitzuen Jatorri eta Eboluzioa Historian

1. Karitatea eta Elkar Laguntza (Erdi Aroa iritsi arte)

• Elkar Laguntza (Betidanik egon den ikuspegia): Familian eta bizikidetza arremanetan oinarritua.
• Gizarte Zerbitzuak: Ongizate Estatuan Gizarte Laneko gradua. 1. maila.
• Kofradia eta Ermandadeen Sorrera: Aaldibidetuko du.

Karitatea (Erdi Arotik aurrera)

• Erlijioan jatorria duen jarrera.
• Miseriari aurre egitea, behar dutenei laguntza.
• Filantropiarekiko ezberdina: gizabanakoaren behar osoari egiten dio arreta.
• Gaur egun ekintza pribatuaren jarduera gisa darrai.

2. Benefizentzia Publikoa (XVII – XVIII Mendeak)

• Bizirauteko prestazio graziagarriak, fondo publikoetatik ordainduak (inongo jarraikortasun konpromisorik gabe, diskrezionalitate printzipioak gidatuta)

Funciones Implícitas

Definición

Una función es **implícita** cuando una variable (ej. *x*) no está despejada explícitamente en términos de las otras variables. Se define *x* como una función implícita del resto de variables, por ejemplo, **x = f(y,z)**, a partir de una ecuación de la forma **F(x,y,z) = c** (o **z = f(x,y)**).

Hipótesis del Teorema de la Función Implícita (TFI)

Si se cumplen las siguientes hipótesis del Teorema de la Función Implícita (TFI), podemos definir *x* en función del resto de variables. El **dominio de definición de *f*** es Rⁿ++, abierto, y el punto (x₀,y₀) (dado) ∈ Rⁿ++.

1. I. Continuidad y Diferenciabilidad (Gradiente): Existen las **derivadas parciales** de F y son **continuas** en Rⁿ++, lo que implica