Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Significado de la adición: - Hay dos cantidades iniciales que se combinan dando lugar a una nueva cantidad. - Hay una cantidad inicial que experimenta un cambio al añadirle una segunda cantidad.

Álgebra Lineal: Operaciones con Matrices

Las matrices son una herramienta fundamental en matemáticas. A continuación, se describen las operaciones más comunes.

• Determinante de una matriz (|A|): Es un valor escalar que se puede calcular para las matrices cuadradas. El método de cálculo varía según el tamaño de la matriz (por ejemplo, regla de Sarrus para matrices 3x3 o desarrollo por cofactores).
• Matriz adjunta (Adj(A)): Para cada elemento de la matriz, se calcula su adjunto. El adjunto de un elemento se obtiene calculando el determinante del menor complementario (la submatriz que resulta de eliminar la fila y la columna de dicho elemento) y multiplicándolo por (-1)^i+j, donde 'i' es la fila y 'j' es la columna.
• Matriz transpuesta (A^t):

Clasificación de las Variables en Investigación

Las variables en investigación se clasifican según diferentes criterios. A continuación, se detallan los principales tipos:

Según su Escala de Medición

1. Variables Cualitativas

Expresan cualidades, características o modalidades. Cada modalidad se denomina atributo o categoría, y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Se subdividen en:

• Dicotómicas: Solo pueden tomar dos valores posibles (ej: sí/no, hombre/mujer).
• Politómicas: Pueden tomar múltiples valores. A su vez, se clasifican en:
  • Ordinales: Sus valores se pueden ordenar siguiendo una escala establecida (ej: leve, moderado, fuerte).
  • Nominales: No siguen un orden lógico (ej: colores).

2. Variables Cuantitativas

Toman... Continuar leyendo "Tipos de variables: clasificación y ejemplos para investigación" »

Lugares Geométricos: Fundamentos y Propiedades

Lugar geométrico: es un conjunto de puntos que cumplen una condición.

Mediatriz

Mediatriz: es la recta perpendicular que divide el segmento en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento.

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas cuando no se cortan en un punto propio. Los puntos de dos rectas paralelas son equidistantes. Dos rectas paralelas se cortan en el punto impropio de la dirección que llevan.

Bisectriz de un Ángulo

Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Es el lugar geométrico del centro de... Continuar leyendo "Explorando Lugares Geométricos: Definiciones y Propiedades Clave" »

Regla de símbols:

+ i + = + + i - = -

- i - = + - i + = -

Calcul de potencies:
(multiplicar tantes vegades la base com indica l'exponent)

4 elevat a 0= 4 elevat a 1
45 elevat a 1= 45
-4 elevat a 2= -4 · 4= -16
3 elevat a 2= 3 · 3= 9
(-4) elevat a 3= (-4) · (-4) · (-4)= -16 (- i -=+/ + i - = -)

Operacions de potencies amb les mateixes bases:

Les operacions es fan amb l'exponet i la base es manté:
Multiplicar: els exponents es sumen.
Dividir: els exponents es resten.
Parentesis: els exponents es multiplican

Arrel quadrada:
Tenim presents unes cuantas potencies elevades a 2 i b usquem el nombre que més s'ap roxima a l'arrel .
Aquest nombre sense ser elevat (la base) sera el resultat. Per calcular el residu li restem a l'arrel... Continuar leyendo "Conceptes Fonamentals de Matemàtiques: Regles i Càlculs" »

Leyes de De Morgan en Probabilidad

Las Leyes de De Morgan relacionan la unión y la intersección de sucesos con sus sucesos contrarios (complementarios):

• El suceso contrario del complemento de la unión de dos sucesos es la intersección de los sucesos contrarios.

  Fórmula: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

• El suceso contrario del complemento de la intersección de dos sucesos es la unión de los sucesos contrarios.

  Fórmula: $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

Ley de los Grandes Números

Esta ley describe la tendencia de la frecuencia relativa a estabilizarse (converger) hacia la probabilidad teórica cuando el experimento se realiza en un número elevado de ocasiones.

Propiedades Fundamentales de la Probabilidad

Números COMPLEJOS: def:llamamos num complejos a un numero Z con la forma a+bi, donde a y b son números reales, e i verifica (i²=-1). Tienen una parte real y otra imaginaria.simbólica: C = { z / a = a + bi , a ∧ b ∈ R } N.Opuesto: num con su parte real e imaginaria opuesta. conjugado:opuesta solo su perte imaginaria exp.Carteiana: Z=(a;b) binomica:Z=a+bi //ECUACIONES de segundo grado:ax² + bx + c = 0 ∧ a ∈ R ∧ b ∈ R ∧ c ∈ R ∧ a ≠ 0 ec.Incompletas:si b=0 la ecuación es incompleta, ax² + c=0. Para resolver debemos despejar el valor de X teniendo en cuenta √x²= |x| . Si c=0, ax² + bx =0, debemos tener en cuenta q m.N=0→ m=0 V n=0. discriminante: es el radicando de la formula de bhaskara y se simboliza con la... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra: Conceptos Clave de Polinomios y Números Complejos" »

A continuación, se presentan varios ejercicios resueltos relacionados con derivadas, rectas tangentes y el teorema de Bolzano.

Ejercicio 1: Aplicación del Teorema de Bolzano

5. a) ¿Podemos afirmar, aplicando el teorema de Bolzano, que la ecuación tiene alguna solución en el intervalo?

f no es continua en el intervalo. Por lo tanto, no podemos aplicar el teorema de Bolzano. Esto no quiere decir que no haya soluciones, sino que no podemos determinarlo con este teorema.

b) ¿Y en el intervalo [−1, 1]? En caso afirmativo, calcule esta solución con un error menor que 0,1.

f es continua en [−1,1]. Se puede aplicar el teorema de Bolzano.

Ejercicio 2: Recta Tangente en un Punto

Determina la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x²

Elementos Notables del Triángulo

Altura y Ortocentro

La altura es la distancia que va desde la base a su vértice opuesto. Estas alturas se trazan mediante segmentos perpendiculares al lado opuesto.

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.

Mediana y Baricentro

La mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

El punto de corte de las tres medianas es el baricentro (o centro de gravedad), el cual divide a cada mediana en dos segmentos, manteniendo una proporción de 2:1 (el segmento que une el baricentro con el vértice es el doble del segmento que une el baricentro con el punto medio del lado opuesto).

Mediatriz y Circuncentro

La mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Geometría Plana: Elementos Notables de Triángulos y Polígonos" »

Teoremas y Propiedades de Figuras Geométricas

Paralelogramos

• Todos los ángulos formados en una misma recta suman 180°.
• La suma de ángulos consecutivos en un paralelogramo es igual a 180°.
• Los ángulos opuestos en un paralelogramo son congruentes.
• La suma de los ángulos internos de un paralelogramo es igual a 360°.
• Los pares de lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
• Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.
• Las diagonales de un trapecio son congruentes.
• Las diagonales de un rombo son perpendiculares.

Triángulos

• A lados congruentes se oponen ángulos congruentes (y viceversa).
• El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad