Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Origen: se forman al cortar con un plano a una superficie conica de revolucion. Segun la posicion del plano secante tendremos las siguientes curvas: Circunferencia, elipse, parabola, hiperbola.

Clases de curvas:

Elipse: Plano secante oblicuo a todas las generatrices.

Parabola: Plano secante paralelo a una secante.

Hiperbola: plano secante al eje.

Propiedades de las curvas

Teorema de la altura: determinacion de la media proporcional de dos segmentos.

Igualdad: dos formas son iguales si al superponerlas coinciden todos sus puntos.

Semejanza: dos formas son semejantes si tienen sus angulos iguales y sus lados proporcionales.... Continuar leyendo "Curvas cónicas" »

ANÁLISIS DE “EL CORPUS CHRISTI EN SEVILLA” DE LA SUITE “IBERIA” DE ALBÉNIZ RITMO El ritmo de esta pieza viene determinado por el aire de procesión que pretende evocar. Se trata, por tanto, de un ritmo binario, regular y constante. Usa el compás de dos por cuatro, cuya unidad es la negra. El tempo es un Allegro grazioso, es decir, moderadamente rápido y con garbo. Es interesante destacar que cuando aparece el motivo de la saeta en los bajos, lo hace en compás de cuatro por cuatro, a la vez que, por encima, el motivo de las campanas sigue sonando en de dos por cuatro. Así se consigue dar idea del ritmo más libre y expresivo de la saeta, intensificado además por la colocación de calderones cada dos compases y la indicación de... Continuar leyendo "EL CORPUS CHRISTI EN SEVILLA isaac alveniz" »

clases de procesos productivos: produccion multiple: Se caracteriza por la obtención de varios productos diferenciados o productos y subproductos dignos de consideración, que pueden ser o no técnicamente interdependiente entre sí. produccion multiple independiente: Consiste en la unión de varios procesos técnicamente separados. Ejemplo: una explotación agrícola. produccion multiple conjunta o compuesta:Consta de varios procesos técnicamente interdependientes en todas o algunas de sus fases, de los que se obtienen varios productos, productos o subproductos. Ejemplo: el proceso refinado de crudos del que se obtiene keroseno, gasolina de diversos octanos, fue-oíl…produccion multiple alternativa:De la que de un mismo proceso productivo... Continuar leyendo "Gestion de empresa 2" »

Variables Aleatorias: Conceptos Fundamentales

En un experimento aleatorio, al asignar un valor numérico a cada suceso aleatorio elemental, se obtiene una variable aleatoria. Esta puede ser discreta o continua. Si el conjunto numérico resultante es el de los números enteros, la variable aleatoria es discreta. Si el conjunto numérico es el de los números reales, la variable aleatoria es continua.

Función de Probabilidad y de Distribución

Una función de probabilidad asigna a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad correspondiente. Formalmente:

Definición: La función de probabilidad, f, se define como: f(x_i) = P(X = x_i)

Media o Esperanza de una Variable Aleatoria

Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x₁, x₂,... Continuar leyendo "Variables Aleatorias: Conceptos y Tipos (Discretas y Continuas)" »

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Regla de Cramer (Sistema Compatible Determinado - SCD)

Un sistema es Compatible Determinado (SCD) si tiene una única solución. Para aplicar la Regla de Cramer, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero (|A| ≠ 0).

Ejemplo de SCD

Consideremos el sistema:

x - y       = 7
2x + y - z  = 3
     y + z  = 3

Primer paso: Calcular el determinante de la matriz de coeficientes |A|.

|A| = | 1  -1   0 |
    | 2   1  -1 |
    | 0   1   1 |

Calculando el determinante, obtenemos |A| = 4. Como |A| ≠ 0, el sistema es un SCD y podemos aplicar la Regla de Cramer.

La Regla de Cramer establece que la solución para cada incógnita (x, y, z) se obtiene dividiendo el determinante de la matriz... Continuar leyendo "Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Regla de Cramer y Rouché-Frobenius" »

Ejercicios de Sucesiones y Series

Ejercicio 1

Hallar los primeros 5 términos de la sucesión: a_n = 2n + (-1)ⁿ - 1

Solución:

• a₁ = 2(1) + (-1)¹ - 1 = 2 - 1 - 1 = 0
• a₂ = 2(2) + (-1)² - 1 = 4 + 1 - 1 = 4
• a₃ = 2(3) + (-1)³ - 1 = 6 - 1 - 1 = 4
• a₄ = 2(4) + (-1)⁴ - 1 = 8 + 1 - 1 = 8
• a₅ = 2(5) + (-1)⁵ - 1 = 10 - 1 - 1 = 8

Ejercicio 2

Hallar los primeros 5 términos de la sucesión recursiva: a₁ = 2, a₂ = -1, a_n = a_n-1 / a_n-2

Solución:

• a₁ = 2
• a₂ = -1
• a₃ = a₂ / a₁ = -1 / 2 = -1/2
• a₄ = a₃ / a₂ = (-1/2) / (-1) = 1/2
• a₅ = a₄ / a₃ = (1/2) / (-1/2) = -1

Ejercicio 3

Hallar una fórmula general para el n-ésimo término de la sucesión 0, 3, 8, 15, 24, 35...

Solución:

a_n = n² - 1

Ejercicio 4

Grafique la sucesión a_n = 3n - 4

Solución:

• a₁ = 3(1) - 4 = -1
• a₂ = 3(2) - 4 = 2
• a₃ = 3(

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Algoritmo de Búsqueda

A continuación, se presenta la lógica para la búsqueda de un elemento en una lista:

1. Leer llave
2. x1 = lmin
3. x2 = lmax
4. resp = -1
5. Mientras (x1 < x2 - 1)
6.    ix = (x1 + x2) / 2
7.    Si (Lista[ix] == llave) entonces
8.       resp = ix
9.       x1 = ix
10.      x2 = ix
11.   De otro modo si (Lista[ix] < llave) entonces
12.      x1 = ix
13.   De otro modo x2 = ix
14. Fin del mientras
15. Regresa resp

Diagrama de Flujo: Búsqueda

        INICIO
          |
        (5)--------------------------\
          |                          |
    x1 < x2 - 1                      |
          |                          |
         (6)                         |
          |                          |
         (7)---

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Semejanza: tiene igual forma y tamaños proporcionales
Razón (r)= lado primo | A’, B’ ,C’/A, B, C |
semejante(~) -> Triángulos | Congruentes ( -> Ángulos | Proporcionales -> Lados
Postulados: Ángulo Ángulo, Lado, ángulo, lado, lado lado lado.
Teorema de la proporcionalidad AD/AB * = DE/ BC
modelo a escala-> se considera la razón |A’/A= valor / incógnita = A’ * incognia =  A * valor |
Centro de la Homotecia (o): donde se cruzan lso verices de la figura original y la imagen
Razón de la homotecia (k) : K = A’O/AO
Homotecia Directa : la figura se “traslada” respecto a O ( k > 0 )
Homotecia Inversa : La figura toma efecto espejo respecto a O
-Si -1 < k="">< o="" :="">
-Si k<-1 :="">-1>
Teorema

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Fundamentos de Probabilidad y Estadística

Cálculo de Probabilidades mediante el Teorema de Bayes

La siguiente tabla ilustra la aplicación de los componentes del Teorema de Bayes para calcular las probabilidades a posteriori, basándose en eventos previos ($P_i$) y un resultado observado ($D$).

Tabla de Distribución de Probabilidades Bayesianas

Evento $P_i$	Probabilidad Previa $P(P_i)$	Probabilidad Condicional $P(D|P_i)$	Probabilidad Conjunta $P(D|P_i) \cdot P(P_i)$	Probabilidad a posteriori $P(P_i|D)$
P1	0.723	0.824	0.596	0.837
P2	0.188	0.536	0.101	0.142
P3	0.089	0.174	0.015	0.021
Total	1.000		0.712	1.000

Tipos de Probabilidad y sus Fórmulas

Concepto y Notación	Definición
Probabilidad Previa: $P(A)$	Es la probabilidad de un evento posible antes de incorporar cualquier

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Propiedades de la Multiplicación en Números Enteros

Propiedad Conmutativa

Establece que si se cambia el orden de los factores, no se altera el producto.

Ejemplo: [3 . (-2)] . 8 = 3 . [(-2) . 8] → (-6) . 8 = 3 . (-16) → -48 = -48

Propiedad Asociativa

Establece que si se agrupan los factores de distintas formas, se obtiene el mismo producto.

Ejemplo: [3 . 24] . 2 = 3 . [24 . 2] → 72 . 2 = 3 . 48 → 144 = 144

Elemento Neutro

En el conjunto de los números enteros (Z), el elemento neutro de la multiplicación es el número 1.

Ejemplo: (-4) . 1 = -4; 1 . (-6) = -6

Factor Cero

Es el factor que anula a cualquier número.

Ejemplo: 0 . 12 = 0

Propiedad Distributiva

Con respecto a la adición, se aplica cuando uno de los factores es una suma con dos o más... Continuar leyendo "Propiedades de la Multiplicación y Potenciación en Números Enteros" »