Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Raó i proporció

Raó: Una raó entre dos nombres és el cocient a/b.

Proporció: Una proporció és la igualtat entre dues raons.

Proporcions:

• A i B = extrems
• B i C = mitjans

En una proporció, el producte d'extrems és igual al producte de mitjans.

Terme desconegut d'una proporció

Per resoldre un terme desconegut en una proporció s'utilitza la propietat: el producte d'extrems = producte de mitjans.

Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple inversa és un procediment per trobar una quantitat desconeguda que forma una proporció amb altres quantitats conegudes, corresponents a dues magnituds inversament proporcionals.

Magnituds directament i inversament proporcionals

Magnituds directament proporcionals

Dues magnituds són directament proporcionals... Continuar leyendo "Raó, proporció i percentatges: regla de tres i proporcionalitat" »

Transformaciones Geométricas y Cuerpos Poliedricos

Giros (Rotaciones)

Un giro es una transformación geométrica donde un punto se mueve alrededor de un punto fijo (centro de giro) un cierto ángulo. El ángulo de giro es igual al ángulo de rotación, y la bisectriz de dicho ángulo pasa por el centro de giro. Los giros de 360º transforman cualquier punto en el mismo; todos los puntos son dobles (es equivalente al giro nulo de 0º).

Homotecia (Dilatación)

Dada un punto fijo O y un número real k no igual a 0, se llama homotecia a la transformación geométrica que hace corresponder a un punto A otro punto A', siendo el vector OA' el producto de k por el vector OA. Al punto O se le llama centro de homotecia, y a la constante k, razón de la

Buzamiento y Dirección de un Vector: Cálculo y Aplicaciones

En geología y otras disciplinas, es fundamental comprender y calcular la dirección y el buzamiento de vectores. A continuación, se presenta una explicación detallada y los pasos necesarios para realizar estos cálculos.

Definiciones Clave

• Ángulo de Buzamiento (β): Es el ángulo que se forma con la horizontal si la dirección es descendente (según el convenio geológico).
• Strike o Dirección: Es el ángulo entre 0° y 180° que una dirección OA forma con un meridiano de referencia (línea Norte-Sur).

Para medir ángulos verticales, se utiliza el ángulo entre la dirección dada y un plano horizontal. Los ángulos no pueden ser mayores de 90°, pero el signo del ángulo puede cambiar... Continuar leyendo "Cálculo de Buzamiento y Dirección de Vectores: Guía Práctica" »

FUNCIONS: y=variable dependent(tu no decideixes, per exemple €)

                 x= variable independent( és el que tu decideixes, per exemple els minuts que parles.

Es busquen les variables, després es fa la taula de valors, i si es demana, es fa el gràfic.

IMATGE: Ens donen la x cal trobar la y. Es canvia per la x o la y de la operació: per exemple:

y=3x-2

imatge del 3: y=3.3-2=7

imatge del 0: y=3(0)-2=-2

ANTIIMATGE: Ens donen la y cal trobar la x. Es canvia per el de fora: per exemple:

antiimatge de 7: 7=3x-2

                        -3x=-2-7

                       -3x=-9

                       x=-9/-3

                         x=3

antiimatge... Continuar leyendo "Imatge i antiimatge" »

Adición y sustracion: si las fracciones tienen igual denominador (v se mantiene,) la + o - es con los numeradores, y si son distintos (v) se saca MCM : 3/2 + 5/3 + 4/5 mcm: 60, el 2 multiplicado por cuanto me da 60?: 15, entonces 15 x 2: 45, queda 45/60 la primera fracción, la segunda 25/30 y cuarta 24/30=98/30 y se puede simplificar.
En multiplicación es lineal A/C B/D : AB/CD, sin importar que los denominadores sean iguales, se multiplican.
División: Se invierte la segunda fracción(divisor) y se multiplica. División por 0 no esta definida. Ej: 1/5: 3/4= 1/5 x 4/3.
Simplificación y amplificación por el mismo numero en común y lineal.
Orden operatoria: Al eliminar () se invierten los signos dentro. Potencias, raíces/mult y divisiones... Continuar leyendo "Fundamentos de Aritmética: Operaciones con Fracciones, Decimales y Proporcionalidad" »

Subespacios Vectoriales y Álgebra de Matrices: Conceptos Esenciales

Subespacios Vectoriales: Sea S un subconjunto no vacío de vectores del espacio vectorial Rn. Diremos que S es un subespacio vectorial de Rn si (S,+,R) tiene estructura de espacio vectorial.

Caracterización de Subespacio Vectorial

Dado el espacio vectorial Rn y un subconjunto no vacío S de Rn, una condición necesaria y suficiente para que S sea un subespacio vectorial es: α .x + β .y ∈ S ∀x, y ∈ S ,∀α ,β ∈ R

Combinación Lineal. Sistema de Generadores

Dados los vectores u1, u2, ..., um pertenecientes al espacio vectorial Rn y los escalares α1, α2,... αm ∈ R, la expresión α1+u1, α2+u2,.... αm+um denomínase combinación lineal de los vectores u1,... Continuar leyendo "Subespacios Vectoriales y Álgebra de Matrices: Conceptos Esenciales" »

Ángulo: es la unión de dos semirrectas o rayos con un origen común. Las dos semirrectas se llaman lados del ángulo y el origen se denomina vértice. @ Se obtiene por la rotación de una semirrecta alrededor de su origen. @ La posición original de la semirrecta se denomina lado inicial del anglo y la posición final lado terminal. @ Cuando una semirrecta gira en el sentido de las manecillas del reloj, origina ángulos negativos. Cuando lo hace en el sentidon contrario, origina anglos positivos. @ Un ángulo representado sobre el plano cartesiano esta en posición normal si su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, y el vértice con el origen del sistema. El lado terminal puede ubicarse en cualquiera de los cuatro... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de la Trigonometría: Ángulos, Razones e Identidades Clave" »

Cálculos de Propagación de Radiofrecuencia

Enlace

Potencia media (Pmedia): Pmedia = Pr = Pt + Gt + Gr - Lb

Porcentaje de tiempo disponible: z = (sensib - Pr) / desv ---> Q(z) = 1 - Q(-z)

Sensibilidad para 90%: Q(z) = 1 - 0.9 = 0.1; buscamos en la tabla el valor 0.1, que corresponde a -z = 1.28; sensib = z * desv + Pr

Relación portadora/ruido (C/N): Te = To(F-1) ---> N = k(Ta + Te)B en dBm --> C/N = C - N = Pr - N

Pérdida por exceso de reflexión: ang = arctan(ht + hr / d); R = mód * E^-jfase; delta = (4π * ht * hr * f) / (d * λ); e = eo(1 + R * (cos(delta) + jsen(delta))); Lex = 20log(1 / |e/eo|)

Altura máxima del obstáculo (hmáx): Con la gráfica, teniendo Att = J(v), obtenemos v; de la fórmula de v, obtenemos h; ecuación de... Continuar leyendo "Fórmulas y cálculos esenciales para la propagación de radiofrecuencia" »

Sección I: Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra

Método de Newton

El Método de Newton (o Newton-Raphson) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de las raíces de una función real.

1. Se selecciona un punto inicial $x_1$.
2. Se calcula la ecuación de la recta tangente (tg) en $x_1$: $y - f(x_1) = f'(x_1)(x - x_1)$.
3. Se iguala la ecuación de la tangente a cero ($y=0$) para encontrar la siguiente aproximación $x_2$.

Máximos y Mínimos

Para encontrar los extremos absolutos de una función $f(x)$ en un intervalo cerrado:

1. Encontrar los puntos críticos:
   • Donde la primera derivada es cero: $f'(x) = 0$.
   • Donde la primera derivada no está definida.
2. Evaluar la función $f(x)$ en los puntos críticos encontrados y en los extremos del intervalo.

Álgebra y Cálculo: Fundamentos Esenciales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

Inversa:

Teorema de Rouché-Frobenius: Para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución, el rango de la matriz de los coeficientes (R) y el de la matriz ampliada (R') tienen que ser iguales.

• Si R = R': El sistema es compatible.
• Si R = R' = N (nº de incógnitas): El sistema es compatible determinado (SCD).
• Si R = R' y R es diferente de N: El sistema es compatible indeterminado (SCI).
• Si R es diferente de R': El sistema es incompatible.

Un sistema es homogéneo si los términos independientes son nulos y solo admite la solución 000... Para que tenga soluciones distintas de la trivial, el rango de la matriz de los coeficientes tiene que ser menor que el... Continuar leyendo "Guía Práctica de Álgebra, Cálculo y Optimización: Matrices, Sistemas, Continuidad y Más" »