Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

A continuación, se presentan varios ejercicios resueltos relacionados con derivadas, rectas tangentes y el teorema de Bolzano.

Ejercicio 1: Aplicación del Teorema de Bolzano

5. a) ¿Podemos afirmar, aplicando el teorema de Bolzano, que la ecuación tiene alguna solución en el intervalo?

f no es continua en el intervalo. Por lo tanto, no podemos aplicar el teorema de Bolzano. Esto no quiere decir que no haya soluciones, sino que no podemos determinarlo con este teorema.

b) ¿Y en el intervalo [−1, 1]? En caso afirmativo, calcule esta solución con un error menor que 0,1.

f es continua en [−1,1]. Se puede aplicar el teorema de Bolzano.

Ejercicio 2: Recta Tangente en un Punto

Determina la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x²

Elementos Notables del Triángulo

Altura y Ortocentro

La altura es la distancia que va desde la base a su vértice opuesto. Estas alturas se trazan mediante segmentos perpendiculares al lado opuesto.

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.

Mediana y Baricentro

La mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

El punto de corte de las tres medianas es el baricentro (o centro de gravedad), el cual divide a cada mediana en dos segmentos, manteniendo una proporción de 2:1 (el segmento que une el baricentro con el vértice es el doble del segmento que une el baricentro con el punto medio del lado opuesto).

Mediatriz y Circuncentro

La mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Geometría Plana: Elementos Notables de Triángulos y Polígonos" »

Teoremas y Propiedades de Figuras Geométricas

Paralelogramos

• Todos los ángulos formados en una misma recta suman 180°.
• La suma de ángulos consecutivos en un paralelogramo es igual a 180°.
• Los ángulos opuestos en un paralelogramo son congruentes.
• La suma de los ángulos internos de un paralelogramo es igual a 360°.
• Los pares de lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
• Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.
• Las diagonales de un trapecio son congruentes.
• Las diagonales de un rombo son perpendiculares.

Triángulos

• A lados congruentes se oponen ángulos congruentes (y viceversa).
• El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad

Raó i proporció

Raó: Una raó entre dos nombres és el cocient a/b.

Proporció: Una proporció és la igualtat entre dues raons.

Proporcions:

• A i B = extrems
• B i C = mitjans

En una proporció, el producte d'extrems és igual al producte de mitjans.

Terme desconegut d'una proporció

Per resoldre un terme desconegut en una proporció s'utilitza la propietat: el producte d'extrems = producte de mitjans.

Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple inversa és un procediment per trobar una quantitat desconeguda que forma una proporció amb altres quantitats conegudes, corresponents a dues magnituds inversament proporcionals.

Magnituds directament i inversament proporcionals

Magnituds directament proporcionals

Dues magnituds són directament proporcionals... Continuar leyendo "Raó, proporció i percentatges: regla de tres i proporcionalitat" »

Transformaciones Geométricas y Cuerpos Poliedricos

Giros (Rotaciones)

Un giro es una transformación geométrica donde un punto se mueve alrededor de un punto fijo (centro de giro) un cierto ángulo. El ángulo de giro es igual al ángulo de rotación, y la bisectriz de dicho ángulo pasa por el centro de giro. Los giros de 360º transforman cualquier punto en el mismo; todos los puntos son dobles (es equivalente al giro nulo de 0º).

Homotecia (Dilatación)

Dada un punto fijo O y un número real k no igual a 0, se llama homotecia a la transformación geométrica que hace corresponder a un punto A otro punto A', siendo el vector OA' el producto de k por el vector OA. Al punto O se le llama centro de homotecia, y a la constante k, razón de la

Buzamiento y Dirección de un Vector: Cálculo y Aplicaciones

En geología y otras disciplinas, es fundamental comprender y calcular la dirección y el buzamiento de vectores. A continuación, se presenta una explicación detallada y los pasos necesarios para realizar estos cálculos.

Definiciones Clave

• Ángulo de Buzamiento (β): Es el ángulo que se forma con la horizontal si la dirección es descendente (según el convenio geológico).
• Strike o Dirección: Es el ángulo entre 0° y 180° que una dirección OA forma con un meridiano de referencia (línea Norte-Sur).

Para medir ángulos verticales, se utiliza el ángulo entre la dirección dada y un plano horizontal. Los ángulos no pueden ser mayores de 90°, pero el signo del ángulo puede cambiar... Continuar leyendo "Cálculo de Buzamiento y Dirección de Vectores: Guía Práctica" »

FUNCIONS: y=variable dependent(tu no decideixes, per exemple €)

                 x= variable independent( és el que tu decideixes, per exemple els minuts que parles.

Es busquen les variables, després es fa la taula de valors, i si es demana, es fa el gràfic.

IMATGE: Ens donen la x cal trobar la y. Es canvia per la x o la y de la operació: per exemple:

y=3x-2

imatge del 3: y=3.3-2=7

imatge del 0: y=3(0)-2=-2

ANTIIMATGE: Ens donen la y cal trobar la x. Es canvia per el de fora: per exemple:

antiimatge de 7: 7=3x-2

                        -3x=-2-7

                       -3x=-9

                       x=-9/-3

                         x=3

antiimatge... Continuar leyendo "Imatge i antiimatge" »

Adición y sustracion: si las fracciones tienen igual denominador (v se mantiene,) la + o - es con los numeradores, y si son distintos (v) se saca MCM : 3/2 + 5/3 + 4/5 mcm: 60, el 2 multiplicado por cuanto me da 60?: 15, entonces 15 x 2: 45, queda 45/60 la primera fracción, la segunda 25/30 y cuarta 24/30=98/30 y se puede simplificar.
En multiplicación es lineal A/C B/D : AB/CD, sin importar que los denominadores sean iguales, se multiplican.
División: Se invierte la segunda fracción(divisor) y se multiplica. División por 0 no esta definida. Ej: 1/5: 3/4= 1/5 x 4/3.
Simplificación y amplificación por el mismo numero en común y lineal.
Orden operatoria: Al eliminar () se invierten los signos dentro. Potencias, raíces/mult y divisiones... Continuar leyendo "Fundamentos de Aritmética: Operaciones con Fracciones, Decimales y Proporcionalidad" »

Subespacios Vectoriales y Álgebra de Matrices: Conceptos Esenciales

Subespacios Vectoriales: Sea S un subconjunto no vacío de vectores del espacio vectorial Rn. Diremos que S es un subespacio vectorial de Rn si (S,+,R) tiene estructura de espacio vectorial.

Caracterización de Subespacio Vectorial

Dado el espacio vectorial Rn y un subconjunto no vacío S de Rn, una condición necesaria y suficiente para que S sea un subespacio vectorial es: α .x + β .y ∈ S ∀x, y ∈ S ,∀α ,β ∈ R

Combinación Lineal. Sistema de Generadores

Dados los vectores u1, u2, ..., um pertenecientes al espacio vectorial Rn y los escalares α1, α2,... αm ∈ R, la expresión α1+u1, α2+u2,.... αm+um denomínase combinación lineal de los vectores u1,... Continuar leyendo "Subespacios Vectoriales y Álgebra de Matrices: Conceptos Esenciales" »

Ángulo: es la unión de dos semirrectas o rayos con un origen común. Las dos semirrectas se llaman lados del ángulo y el origen se denomina vértice. @ Se obtiene por la rotación de una semirrecta alrededor de su origen. @ La posición original de la semirrecta se denomina lado inicial del anglo y la posición final lado terminal. @ Cuando una semirrecta gira en el sentido de las manecillas del reloj, origina ángulos negativos. Cuando lo hace en el sentidon contrario, origina anglos positivos. @ Un ángulo representado sobre el plano cartesiano esta en posición normal si su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, y el vértice con el origen del sistema. El lado terminal puede ubicarse en cualquiera de los cuatro... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de la Trigonometría: Ángulos, Razones e Identidades Clave" »