Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Primera Ley o Principio de Uniformidad

Todos los híbridos obtenidos del cruce entre dos razas puras presentan el mismo fenotipo, y este coincide con el de uno de los progenitores.

Experimento

Mendel cruzó entre sí dos razas puras de guisantes: una con semilla verde y otra con semilla amarilla. Los híbridos resultantes constituyeron la F1 o primera generación filial.

Interpretación

Las plantas de la generación parental son homocigotas para el carácter color de la semilla (AA y aa). Las plantas AA solo pueden formar gametos con el alelo A, y las plantas aa solo pueden formar gametos con el alelo a. El resultado es una F1 necesariamente uniforme en relación con el genotipo (Aa) y el fenotipo (el color dominante).

Segunda Ley o Principio de

Teorema del Valor Medio de Lagrange

Enunciado Formal

Dada una función f que cumple las siguientes condiciones:

• Es continua en el intervalo cerrado [a,b].
• Es derivable en el intervalo abierto (a,b).

Entonces, existirá al menos un punto c ∈ (a,b) tal que la derivada de la función en ese punto es igual a la pendiente de la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)):

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Interpretación Geométrica

El Teorema del Valor Medio de Lagrange nos asegura que, para una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), siempre podemos encontrar al menos un punto c en el intervalo (a,b) en el que la recta tangente a la función en x=c es paralela a la recta secante que une los puntos de la función en x=a y x=b.

Punto

Decisión Bajo Incertidumbre

Criterio de Decisión Pesimista

El criterio asegura al tomador de decisión que no ganará menos (o perderá más) que una suma determinada. Este criterio es muy conservativo. El procedimiento para encontrar la decisión pesimista es como sigue:

UNO) Para cada estrategia posible, identificar el peor retorno. Este será la utilidad mínima o el máximo costo. Colocar éste número en una nueva columna de la matriz.

DOS) Seleccionar la estrategia con el mejor retorno anticipado.

Criterio de Decisión Optimista

El criterio asegura al tomador de decisión que no perderá la oportunidad de obtener los mayores beneficios o los menores costos posibles. Sin embargo, este comportamiento asume el riesgo de grandes pérdidas. El... Continuar leyendo "Criterios Fundamentales para la Toma de Decisiones Estratégicas Bajo Incertidumbre" »

Tipos de Escalas de Medición en Estadística

Escala Nominal

Es la escala de nivel más básico. Consiste en la asignación arbitraria de números o símbolos a cada una de las categorías, sin que puedan establecerse relaciones entre ellas. En el caso en que se asignen números a las categorías, estos sirven única y exclusivamente para identificarlas y no poseen propiedades cuantitativas.

Ejemplos de escala nominal son:

• El tipo de grupo sanguíneo.
• El estado civil de un ciudadano.
• El sector en el que se encuadra la actividad de una empresa.

Mención especial merecen las variables que presentan dos categorías, denominadas binarias o dicotómicas. Estas se subdividen en:

• Simétricas: Como el sexo de un individuo o si una empresa es grande o pequeña.

Introducción a las Funciones Matemáticas

Las funciones son uno de los conceptos fundamentales en matemáticas, esenciales para describir relaciones entre cantidades y modelar fenómenos en diversas disciplinas. A continuación, exploraremos los diferentes tipos de funciones y sus propiedades esenciales.

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto (codominio o rango).

Ejemplos de Evaluación de Funciones

Función de una Variable

Consideremos la función f(x) = 2x - 3x². Para evaluar esta función en un punto específico, por ejemplo, cuando x = 2, sustituimos el valor... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Funciones Matemáticas: Tipos y Propiedades Clave" »

Muelles: Grafo del problema y modelado

A: grafo del problema

A.1: Sistema mecánico para el problema

• 1º: Estado natural sin fuerza aplicada.
• 2º: Estado final con fuerza aplicada.

A.2: Conceptos de ingeniería y modelado matemático del problema

A.2.1: Energía elástica interna (tensión interna del muelle i-ésimo):

Ei = 1/2 · Ki · (MM')² ⇒ Ei = 1/2 · Ki · Xi².

A.2.2: Trabajo de la fuerza externa:

W = F · Xi.

A.2.3: Modelado: superficie de la energía potencial del sistema mecánico (muelles y fuerza):

E_poten = acción externa – reacción interna o equivalentemente E_poten = - (reacción interna – acción externa). En el equilibrio: E_poten debe ser mínima.

Diagrama (descripción): Eje vertical: u → energía potencial del sistema mecánico;... Continuar leyendo "Equilibrio y optimización en sistemas de muelles y posición óptima en una portería" »

1.-A ORGANIZACIÓN POLÍTICO-ADMINISTRATIVA DO ESTADO.

A) A organización do Estado español é o resultado dunha evolución histórica.
Cando a Península Ibérica se incorporou ao Imperio Romano deu de unidade de política, cultural e relixiosa.
Durante a idade media a loita de cristiáns e musulmáns polo control da península foron configurando os rasgos particulares de cada rexión. Rasgos que en algúns casos perviven ata hoxe.
Tras a reconquista os reis católicos deron unidade política ao conxunto de reinos e territorios coa excepción de Portugal pero mantívose a diversidade cultural das distintas rexións.

B) A Constitución de 1978
O Estado español ten a organización dun estado democrático:
 

 -Recoñece o principio de soberanía... Continuar leyendo "Organización Político-Administrativa do Estado Español" »

1. OBJETIVO DE LA ASIGNATURA

Obtener la probabilidad de una variable aleatoria por la que uno tiene un interés particular, como por ejemplo el PIB.

2. ¿QUE NECESITO PARA HAYAR LA PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA?

• Conocer la función de densidad de la variable aleatoria. 
• Conocer la forma funcional de la función de densidad, y los parámetros que la integran (μ, σ²) en una normal.

En la practica real como mucho podremos conocer la forma funcional en el caso de que la variable aleatoria se distribuya como una normal, dado que ellas son muy abundantes en ningún caso conoceremos los valores de los parámetros de dicha función ni μ ni σ². Si no vamos a poder conocerlos vamos a ser capaces de calcular un intervalo de confianza para cada uno.... Continuar leyendo "Estimación de Parámetros y Cálculo de Probabilidad en Variables Aleatorias" »

Aplicación a la Distribución Muestral

Al aplicar los conceptos a la distribución muestral, podemos establecer lo siguiente:

a) Confianza en la Media Muestral

En el 95% de las muestras posibles, de igual tamaño que extraigamos de una población, sus medias tendrán un valor comprendido entre la media de la distribución muestral y ± 1,96 veces el error típico (que es la desviación típica de la distribución muestral). (Figura 5).

Esto se traduce en que, en 95 de cada 100 muestras, la media muestral (x̄) se expresará como: x̄ = Media Distribución Muestral ± (1,96 * ∂/√n).

b) Aproximación a la Media Poblacional

Gracias a la Ley de los Grandes Números, sabemos que la media de todas las muestras posibles se aproxima significativamente... Continuar leyendo "Estimación de Parámetros Poblacionales: Intervalos de Confianza y Error Muestral" »

Fundamentos de Geometría Espacial y Poliedros

Ejercicio 1: Escalado de Volumen en un Hexaedro

Problema: Si en un hexaedro regular (cubo) se duplica la longitud del lado, ¿qué volumen tiene el nuevo hexaedro respecto al original?

Resolución

1. Hexaedro Original (Lado $L$): El volumen $V_1$ se calcula como $V_1 = L^3$.
2. Nuevo Hexaedro (Lado $2L$): El volumen $V_2$ se calcula sustituyendo la nueva longitud: $$V_2 = (2L)^3$$ $$V_2 = 2^3 \cdot L^3$$ $$V_2 = 8L^3$$

Conclusión: El volumen del nuevo cubo será 8 veces mayor que el del cubo original.

Ejercicio 2: Trazado de una Circunferencia por Tres Puntos

Problema: Dibuja una circunferencia que pase por tres puntos no alineados.

Procedimiento Geométrico

Para trazar una circunferencia que pase por tres puntos... Continuar leyendo "Fundamentos de Geometría y Poliedros: Cálculo de Volumen, Aristas y Vértices" »