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Estadística Descriptiva e Inferencial: Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Análisis de Estaturas

Los datos siguientes corresponden a las estaturas de 20 personas:

1,73 1,66 1,65 1,60 1,71 1,58 1,75 1,56 1,63 1,64
1,68 1,71 1,78 1,73 1,57 1,69 1,65 1,63 1,66 1,72

1. Agrupación de datos e intervalos y frecuencias

   Agrupa estos datos en intervalos de amplitud 0,05, de forma que el límite aparente inferior del primero sea 1,55. Haz una tabla en la que aparezcan los límites reales y aparentes, las marcas de clase y los dos tipos de frecuencias absolutas.

   Límites Reales (li ; Li)	Límites Aparentes	Marca de Clase (xi)	Frecuencia Absoluta (ni)	Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni)
   Total			20
   (1,545 ; 1,595)	1,55 - 1,59	1,57	3	3
   (1,595 ; 1,645)	1,60 - 1,64	1,62	4	7
   (1,645 ; 1,

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Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial

Ejercicio n.º 1: Cálculo de Derivadas por Reglas

A continuación, se presentan ejercicios de cálculo de derivadas utilizando las reglas de derivación.

a) Derivada de una función racional

Función: f(x) = 4x³ - 3/(x² - 1)

Aplicando la regla del cociente (d/dx(u/v) = (u'v - uv')/v²), donde u = 4x³ - 3 y v = x² - 1:

• u' = 12x²
• v' = 2x

Derivada: f'(x) = ((x² - 1)(12x²) - (4x³ - 3)(2x)) / (x² - 1)²

b) Derivada de una función exponencial

Función: f(x) = e^{7x2 - 3}

Aplicando la regla de la cadena (d/dx(e^u) = e^u * u'), donde u = 7x² - 3:

• u' = 14x

Derivada: f'(x) = 14x ⋅ e^{7x2 - 3}

c) Derivada de una función racional (simplificación)

Función: f(x) = 2x / (x² + 1)

Aplicando la regla del cociente (d/dx(u/v) = (u'v -... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Derivadas: Cálculo y Aplicaciones" »

Ángulos

Agudo: menos de 90º
Recto: 90º
Obtuso: más de 90º y menos de 180º
Extendido: 180º
Completo: 360º

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal:
Ángulo 1 = Ángulo 4 = Ángulo 5 = Ángulo 8
Ángulo 2 = Ángulo 3 = Ángulo 6 = Ángulo 7
Ángulo 1 + Ángulo 2 = 180º; Ángulo 3 + Ángulo 4 = 180º; Ángulo 5 + Ángulo 6 = 180º; Ángulo 7 + Ángulo 8 = 180º
Ángulo 1 + Ángulo 3 = 180º; Ángulo 2 + Ángulo 4 = 180º; Ángulo 5 + Ángulo 7 = 180º; Ángulo 6 + Ángulo 8 = 180º

Triángulos

Equilátero: todos los lados y ángulos iguales
Isósceles: 2 lados iguales y 2 ángulos iguales
Escaleno: todos los lados y ángulos distintos
Rectángulo: 1 ángulo recto (90º)

Áreas

Tipos de Experimentos

• Deterministas: Son aquellos experimentos que, si se realizan bajo las mismas condiciones, se obtiene siempre el mismo resultado.
• Aleatorios: Son aquellos experimentos que, aunque se realicen bajo las mismas condiciones, nunca se sabe de antemano el resultado que se va a obtener.

Conceptos Fundamentales

• Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
• Punto muestral: Cada uno de los resultados del espacio muestral.
• Sucesos aleatorios: Es un subconjunto del espacio muestral.
  • Suceso imposible: No se puede dar.
  • Sucesos elementales: Formado por un punto muestral.
  • Sucesos compuestos: Formado por más de un punto muestral.
  • Suceso seguro: Es el propio espacio muestral.
  • Suceso contrario: Un suceso

Conceptos Clave de la Regresión Logística

Función de Enlace

• Invertible: g:[0,1]→ R debe ser invertible tal que g^-1:R→[0,1]
• Soporte en [0,1]: g:[0,1]→R, definida para cualquier valor en [0,1]
• Codominio real: g^-1:R→[0,1], definida para todo valor real.
• Monótona creciente: B₀+B₁x₁+...+B_px_p cuantifica el efecto de los predictores en la probabilidad de éxito en la variable objetivo. g^-1 nunca debe decrecer.

Métricas de Ajuste del Modelo

• NULL DEVIANCE: Es la «diferencia» al comparar la log-verosimilitud del modelo perfectamente sobreajustado vs. un modelo sin parámetros (solo intercepto) D₀=−2(L_β⁰−L_saturado)≥0, L_modelo=ln(P(observado|modelo))
• RESIDUAL DEVIANCE: «Diferencia» al comparar la log-verosimilitud del modelo perfectamente

Fundamentos de Álxebra Lineal

Definición: Sistema de Xeradores dun Espazo Vectorial

Un sistema de xeradores dun espazo vectorial V é un conxunto de vectores S = {v₁, v₂, ..., vₖ} tal que calquera vector v ∈ V se pode expresar como unha combinación lineal dos vectores de S. É dicir, existen escalares a₁, a₂, ..., aₖ en K tales que:

v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₖvₖ

Demostración: O Conxunto {v₁, v₂, ..., vₙ, θ} ⊂ ℝⁿ é Linealmente Dependente

Un conxunto de vectores {v₁, v₂, ..., vₙ, θ} ⊂ ℝⁿ é ligado (ou linealmente dependente) se existe unha combinación lineal non trivial dos vectores do conxunto que resulta no vector nulo.

1. Observamos que θ (o vector nulo) pertence ao conxunto.
2. Por definición,

Optimización Matemática e Condicións de Optimalidade

Definicións de Extremos e Convexidade

• Máximo local: Un punto x₀ ∈ X é un máximo local do problema se existe unha contorna B(x₀, r) tal que f(x₀) > f(x) para todos os puntos x ∈ B(x₀, r) ∩ X.
• Máximo global: Un punto x₀ ∈ X é o máximo global do problema se f(x₀) > f(x) para todos os puntos x ∈ X.
• Subconxunto convexo: Un subconxunto X de ℝⁿ é convexo se contén o segmento que une calquera par de puntos de X. Unha función f é convexa (cóncava) nun conxunto convexo X se e só se a matriz Hessiana de f é definida positiva (negativa) en todos os puntos x ∈ X.

Teorema de Weierstrass

Se f é continua e X é compacto (pechado —contén a súa fronteira— e acoutado —contido... Continuar leyendo "Métodos de Optimización Matemática, Programación Lineal e Ecuacións Diferenciais" »

Procedimientos Fundamentales de Construcción Geométrica

Procedimiento 3: Construcción de Polígonos y Puntos Clave

Se coloca el segmento AB. Desde el punto A, con un radio r=68, se traza un arco. Se construye la recta AC formando un ángulo de 45º. Se traza la mediatriz del segmento AB y, al intersecarla con un arco de radio r=68 (cuyo centro se asume implícito en el contexto de la construcción), se obtiene el punto M. Se prolonga la recta BM hasta obtener el punto C. Con una medida de 49 unidades y centro en C, se marca el punto F sobre la recta AC. Con esto, se finaliza la construcción del polígono.

Procedimiento 4: Determinación de Puntos y Ángulos en Construcciones Complejas

Se coloca el segmento AB. Se trazan arcos desde A con radios... Continuar leyendo "Trazados Geométricos Avanzados: Construcciones Fundamentales en Dibujo Técnico" »

Estudio Completo de Gráficas

• Dominio D(f): Valores que pasan por el eje X.
• Recorrido R(f): Valores que pasan por el eje Y.
• Crecimiento, decrecimiento y constante: Siempre se expresan con intervalos ().
• Punto de corte eje Y: Solo corta una vez; se debe indicar en qué punto corta.
• Punto de corte eje X: Puede haber 0, 1 o 2 puntos. Se resuelve la ecuación ax² + bx + c = 0.
• Continuidad o discontinuidad.
• Simetría: Es simétrica si f(x) = f(-x); no es simétrica si f(x) ≠ f(-x).
• Par e Impar: Par si f(x) = f(-x); Impar si -f(x) = f(x).
• Extremos: Máximo absoluto, máximo relativo, mínimo absoluto y mínimo relativo.
• f(x): Es la coordenada Y correspondiente al eje X.

Periodicidad

Una función es periódica si f(x) = f(x + T), es decir, cuando la misma... Continuar leyendo "Estudio Completo de Funciones: Conceptos, Gráficas y Ecuaciones" »