Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Dado el sistema de ecuaciones lineales Ax=b donde A admite una descomposición L-U tal que A=LU y siendo:

b=               

  a) Resolver el sistema Ax=b utilizando las matrices L y U b) Si nos proporcionan una solución aproximada               del sistema perturbado Ax’=b’ , calcular la variación en el término independiente (b’-b). c) A partir de los resultados de los apartados anteriores dar una estimación del condicionamiento de A para la norma infinito. Comentar los resultados obtenidos.

Dada la matriz

Se pide: a) Calcular la factorización LU de la matriz A (sin permutación de filas ni columnas), e indicar para qué valores de α es válida dicha factorización. L= Matriz triangular inferior... Continuar leyendo "no es newton" »

Sistema Diédrico o Monge: Representaciones del Punto en los Distintos Cuadrantes

El Punto

Cada punto en el espacio tiene dos proyecciones: una horizontal (P1) y otra vertical (P2). Cuando se abate el plano horizontal (PH) sobre el vertical (PV), tales proyecciones se ubican sobre una misma recta perpendicular a la línea de tierra (LT), ya que la proyección P1 gira junto con el plano horizontal.

La ubicación del punto en el espacio queda determinada por la cota, el alejamiento y la desviación.

• Cota: es la distancia o altura del punto P al plano horizontal (PH) y en el sistema diédrico o Monge está representada por la medida desde P2 a la línea de tierra (LT).
• Alejamiento: es la distancia del punto A al plano vertical (PV) y es la medida desde

Coordenadas en Espacios Vectoriales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

Base de un Espacio Vectorial

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan V. Lo indicamos como:

B = (v₁, v₂, …, v_n)

Una base ordenada es aquella en la cual los vectores se especifican en un cierto orden:

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Cualquier vector v ∈ V se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

v ∈ V ⇒ v = α₁v₁ + α₂v₂ + ⋯ + α_nv_n

Los escalares utilizados en la combinación lineal, se denominan coordenadas del vector v respecto de la base B y lo indicamos:

[v]_B = [α₁, α₂,... Continuar leyendo "Coordenadas y Cambio de Base en Espacios Vectoriales" »

Test de diferencia de medias (datos aleatorios o no)

Primero miramos si provienen de una distribución normal, si provienen de una distribución normal miramos si las varianzas son iguales o no, y luego miramos la comparación de medias que si son iguales las medias, los datos serán aleatorios. Si no se supone normalidad, miramos directamente la comparación de medianas, si aceptamos la hipótesis nula de igualdad de medianas los datos perdidos son aleatorios.

Normalidad

Sesgo y Curtosis: los valores tienen que estar comprendidos entre 2 y -2 Shapiro Wilks: Debido a que el valor-p de las pruebas realizadas ha sido 0.02 menor que alfa (0.05), rechazamos la hipótesis nula de que empleo proviene de una distribución normal con un nivel de confianza... Continuar leyendo "Análisis de datos estadísticos: Test de diferencia de medias" »

Funciones Biyectivas

Sea f : A → B una función biyectiva. Por ser f sobreyectiva, para cada b ∈ B existe un elemento a ∈ A tal que f(a) = b. Además, por ser f inyectiva, este a es único. Esto permite definir la aplicación f^-1: B → A, f^-1(b) = a ⇔ f(a) = b. Esta aplicación f^-1 es la inversa de f.

Ejemplos de Funciones Biyectivas

Determinar si las siguientes funciones son biyectivas:

1. f : R → R, f(x) = 2x + 5

   1. Inyectividad: ∀x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ + 5 = 2x₂ + 5 ⇒ x₁ = x₂. Sí es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈ R, ∃x ∈ R / f(x) = y ⇔ ∃x ∈ R / 2x + 5 = y. Sí es sobreyectiva.

   Conclusión: f es biyectiva.

2. f : R → [0, +∞), f(x) = x²

   1. Inyectividad: f(1) = f(-1) = 1. No es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈

1. Definiciones.

En Topografía cualquier trabajo comienza por la adquisición en campo de medidas de magnitudes llamadas observables. La metrología es, por tanto, algo intrínseco a la Topografía.

Metrología.

Ciencia que tiene por objeto el estudio de las unidades y de las medidas de las magnitudes; así como de definir la técnica e instrumentos de medida.

Magnitud.

Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente (mensurable).

Mensurando y observable.

Mensurando es cualquier magnitud objeto de medición. Si son susceptibles de medición directa se les denomina observables.

Valor.

Dimensión de un mensurando expresada como unidad de medida... Continuar leyendo "Fundamentos de Metrología y Medidas de Precisión y Exactitud" »

Estadística descriptiva

Tendría por objetivo la ordenación, clasificación y resumen de datos.

Frecuencia Relativa

Es el cociente entre la frecuencia absoluta de cada uno de los sucesos o datos y el número total de elementos observados.

Frecuencia absoluta

Es precisamente el número de veces que se repite un determinado dato o suceso.

Sesgo

Es la distorsión de la realidad como consecuencia de no tomar datos de forma adecuada o objetiva, o por usar muestras no representativas, o por tomar dichas muestras con cierta intencionalidad.

Variables cualitativas

Son aquellas que nos indican algún atributo o característica del individuo de forma NO numérica, por ejemplo la marca de su teléfono móvil.

Variables cuantitativas

Nos proporcionan algún rasgo... Continuar leyendo "Estadística descriptiva y su importancia en la inferencia estadística" »

Funciones

Polinómica de 1 grado

y=mx+n sustituir los puntos y ya

Polinómica de 2 grado

y= ax2 + bx + c, es una parábola, xv, yv, a mayor o menor, puntos de corte y tabla valores

Función racional

y=k:x-a es una hiperbola, asíntota vertical la x=a, si k mayor que 0 esta en el 1 y 3 cuadrante

Función exponencial

y= a elevado x, creciente si a mayor q 1, tabla valores

Función logarítmica

y=log base a de x, dom f de 0, + inf, creciente si a mayor k 1

Combinatoria

n:m= n!: m! (n-m)! propiedades: n:n= 1, n:o= 1, n:m= n: n-m, n+1: m+1= ejemplo 6:2 mas 6:3= arriba se pone uno mas y abajo el mayor de los denominadores 7:3, n:1= n

Variaciones

vn, m: n!: (n-m)!

Variación con repetición

pn= vn, n= n!

Combinaciones

cn, m= n:m= n!: m! (n-m)!

Grafica

influye el orden?... Continuar leyendo "Funciones matemáticas y estadísticas para exámenes" »

Teorema de Rolle y Teorema de Bolzano

Teorema de Rolle

El Teorema de Rolle se utiliza para comprobar cuándo cambia el signo de una función. Si el signo cambia, entonces f(a) * f(b) < 0, lo que implica que existe al menos una raíz en el intervalo [a, b].

Condiciones:

• f(x) debe ser continua en el intervalo [a, b].
• f(x) debe ser derivable en el intervalo (a, b). (Generalmente, esto se cumple por composición de funciones elementales).

Teorema de Bolzano

(El documento original no proporciona detalles sobre el Teorema de Bolzano, pero se asume su relevancia por el contexto).

Si una función continua f(x) tiene valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo [a,b], entonces existe al menos un punto c dentro del intervalo (a,b) tal que f(... Continuar leyendo "Teoremas y Métodos Numéricos: Rolle, Bolzano, LU, Cholesky, Lagrange, Vandermonde, Newton, Chebyshev, Splines y Cuadratura" »