Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Aplicación a la Distribución Muestral

Al aplicar los conceptos a la distribución muestral, podemos establecer lo siguiente:

a) Confianza en la Media Muestral

En el 95% de las muestras posibles, de igual tamaño que extraigamos de una población, sus medias tendrán un valor comprendido entre la media de la distribución muestral y ± 1,96 veces el error típico (que es la desviación típica de la distribución muestral). (Figura 5).

Esto se traduce en que, en 95 de cada 100 muestras, la media muestral (x̄) se expresará como: x̄ = Media Distribución Muestral ± (1,96 * ∂/√n).

b) Aproximación a la Media Poblacional

Gracias a la Ley de los Grandes Números, sabemos que la media de todas las muestras posibles se aproxima significativamente... Continuar leyendo "Estimación de Parámetros Poblacionales: Intervalos de Confianza y Error Muestral" »

Dominio de una función

Para determinar el dominio, sigue estos pasos:

• 1º Comprobación de condiciones: Asegúrate de que el argumento del logaritmo sea mayor que 0, el denominador sea distinto de 0 y las raíces sean mayores o iguales a 0.
• 2º Despeje: Si es una ecuación de segundo grado, factoriza o resuelve la ecuación.
• 3º Representación: Expresa las soluciones mediante una inecuación.

Interpolación y extrapolación en funciones lineales

1. Representación: Dibuja la parábola utilizando una tabla de valores o los puntos indicados.
2. Cálculo de la pendiente: Utiliza la fórmula m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
3. Ecuación punto-pendiente: Sustituye la pendiente en la fórmula: y = m(x - x₀) + y₀.
4. Identificación: Determina si es interpolación

Fundamentos de Geometría Espacial y Poliedros

Ejercicio 1: Escalado de Volumen en un Hexaedro

Problema: Si en un hexaedro regular (cubo) se duplica la longitud del lado, ¿qué volumen tiene el nuevo hexaedro respecto al original?

Resolución

1. Hexaedro Original (Lado $L$): El volumen $V_1$ se calcula como $V_1 = L^3$.
2. Nuevo Hexaedro (Lado $2L$): El volumen $V_2$ se calcula sustituyendo la nueva longitud: $$V_2 = (2L)^3$$ $$V_2 = 2^3 \cdot L^3$$ $$V_2 = 8L^3$$

Conclusión: El volumen del nuevo cubo será 8 veces mayor que el del cubo original.

Ejercicio 2: Trazado de una Circunferencia por Tres Puntos

Problema: Dibuja una circunferencia que pase por tres puntos no alineados.

Procedimiento Geométrico

Para trazar una circunferencia que pase por tres puntos... Continuar leyendo "Fundamentos de Geometría y Poliedros: Cálculo de Volumen, Aristas y Vértices" »

Estadística Unidimensional y Formulas

Media Aritmética: X=Σxifi/Σfi

Varianza: S²=Σxi²fi/Σfi

Desviación Típica: S=√S²

Coef. Variación: c.v=desviación típica/media aritmética

Moda: valor que más se repite

Rango: la diferencia entre uno y otro.

Covarianza: Sxy=∑xifi/n)-(X-Y)

Coeficiente de Correlación: r=Sxy/Sx*Sy

Recta de Regresión: y-y=m(x-x) ; M=Sxy/Sx²

Estadística Bidimensional

1. Distribuciones Marginales (media y desviación típica)
2. Desviaciones Típicas de x e y
3. Cálculo de la Covarianza
4. Coeficiente de Correlación
5. Recta de Regresión.

Varianza: S²=Σ(x-X)²fi/ N     S²=Σ(x-X)²fi/ n-1    

Desviación Típica: S=√S²

Coef. Variación: c.v=desviación típica/media aritmética

Teorema de Bayes:

Incidencia Acumulada: IA= nº casos... Continuar leyendo "Estadística Unidimensional y Bidimensional" »

Definiciones Clave en Matemáticas

Conjuntos

• Conjunto: Reunión de un número cualquiera de objetos para formar una colección. Ejemplo: A = {a, b, c, d}
• Conjunto unitario: Aquel que tiene un solo elemento. Ejemplo: A = {2}
• Conjunto vacío: Aquel que no tiene ningún elemento. Ejemplo: El conjunto de números pares menores que 2 es { } o ∅.
• Conjunto universal: Aquel que tiene todos los elementos del universo de discurso. Ejemplo: U = {números naturales}

Tipos de Números

• Número compuesto: Todo número natural no primo, a excepción del 1. Tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. Ejemplos: 4, 6, 8
• Número primo: Número entero que solo es divisible por sí mismo y por la unidad. Ejemplos: 2, 7
• Números primos entre sí: Aquellos que

DEFINICIONES: Expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios, que se llaman términos de polinomio.-Términos de un polinomio:Cada uno de los monomios que forman el polinomio.-Polinomio reducido: Polinomio que resulta de operar sus términos semejantes(los que tiene igual parte literal).-Grado de un polinomio:En el grado del termino de mayor grado.Para calcular el grado de un monomio sumo todos los exponentes de la parte literal.-Términos independientes de un polinomio: Es el término que no tieen parte literal.-Regla de ruffini: Es un procedimiento (algoritmo) para realizar divisiones de manera sencilla cuando el divisor es de forma "x+a"siendo "a" un número. A)Procedimiento: 1ºColocar, los coeficientes del... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Álgebra: Definiciones, Factorización de Polinomios y Tipos de Ecuaciones" »

Razones y Proporciones

1. Razones

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo, la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee "siete es a cuatro".

• El primer término es el antecedente (que corresponde al dividendo).
• El segundo término es el consecuente (que corresponde al divisor).

2. Proporciones

Una proporción consiste en la igualdad entre dos razones y se representa de dos maneras:

a/b = c/d o a:b::c:d

Se lee: "a es a b como c es a d". En esta estructura:

• Los puntos a y d se llaman extremos.
• Los puntos b y c se llaman medios.

Porcentaje

El porcentaje es una proporcionalidad directa en la que se considera la totalidad como un 100%. Es un símbolo matemático que representa una cantidad dada como una fracción de 100 partes... Continuar leyendo "Fundamentos de Razones, Proporciones y Lógica Matemática" »

¿Qué es un Polinomio?

Un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Partes de un Polinomio

• Términos: Es una expresión que está formada por un coeficiente y una variable, y están separados por los signos de suma o resta.
  Ejemplo: 3x, -2x², 4
• Coeficiente: Es el número que multiplica a una variable.
  Ejemplo: 3x² + 2x

Fórmulas de Resto Mayor o Cociente Común

Explicación de las Cuotas de Hare, Droop e Imperiali

En estas fórmulas, se calcula una cuota y se asigna a cada partido tantos escaños como cuotas haya obtenido, es decir, las veces que la cuota esté contenida en su total de votos. Normalmente, después de realizar esta operación con todos los partidos, quedan escaños por asignar. Para ello, se inicia una segunda ronda de reparto, en la cual se ordenan de mayor a menor los restos de votos de cada partido.

• Cuota de Hare: Consiste en dividir el total de votos válidos entre el número de escaños a elegir. Es la fórmula electoral más proporcional.
• Cuota Droop: Se calcula dividiendo el número de votos emitidos entre el número de escaños a proveer

Recopilación de Ejercicios de Inferencia Estadística

A continuación, se presentan seis problemas fundamentales de estadística inferencial, cubriendo distribuciones muestrales, intervalos de confianza y determinación del tamaño de la muestra, con sus respectivas soluciones y notación corregida.

Problema 1: Probabilidad de la Media Muestral (Distribución Normal)

La estatura de los socios de un club tiene una media $\mu=175\text{ cm}$ y una desviación típica $\sigma=10\text{ cm}$. Si se elige una muestra de $n=64$ socios, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea menor o igual que $173\text{ cm}$?

Datos y Aproximación

• Media poblacional ($\mu$): $175\text{ cm}$
• Desviación típica poblacional ($\sigma$): $10\text{ cm}$
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