Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Secundaria

Funciones Exponenciales y Logarítmicas: Propiedades y Teoremas

Función Exponencial de Base 2

Se define la función exponencial de base 2 como la función definida de los números reales en los números reales.

Propiedades:

• Es continua en el conjunto de los números reales.
• Es estrictamente creciente.
• Es una función inyectiva.
• Propiedad de producto: 2^r · 2^s = 2^r+s (el producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la suma de sus exponentes).

Límites y Comportamiento:

• lim_x→-∞ 2^x = 0
• lim_x→+∞ 2^x = +∞
• 0 < 2^x < 1 si x < 0
• 2^x = 1 si x = 0
• 2^x > 1 si x > 0

Función Exponencial de Base e

• Es continua en ℝ.
• Es estrictamente creciente e inyectiva.
• Propiedad: e^r · e^s = e^r+s

Límites y Comportamiento:

Ecuaciones

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor que debe tomar la incógnita para que se cumpla la igualdad. Podemos comprobar si la solución encontrada es correcta sustituyendo la incógnita por la solución.

Exponentes y Términos Algebraicos

Signos

Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo - se llaman términos negativos. El signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo, se sobreentiende que es positivo.

Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se coloca delante de una cantidad para multiplicar. El coeficiente indica el número de veces que dicha... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra: Ecuaciones, Potencias y Raíces" »

Conceptos Geométricos Fundamentales

Semirrecta

Todo punto A de una recta determina en ella dos semirrectas opuestas. El punto en cuestión se llama origen de ambas. Una semirrecta se designa enunciando primero el origen y, después, otro punto de ella.

Segmento

Es la figura formada por dos puntos de una recta, llamados extremos del segmento. Los puntos situados entre los extremos se denominan puntos interiores al segmento.

Mediatriz

Es la recta perpendicular a un segmento en su punto medio.

Vector

Es un segmento orientado. Se suele designar por “vector AB”, de modo que el primer punto (A) se refiere al origen del vector, mientras que el segundo (B) se refiere a su extremo.

Semiplano

Dada una recta r del plano, se denomina semiplano a la figura formada... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría: Definiciones Esenciales y Elementos del Triángulo" »

Teorema 19 (Cauchy para series)

Una serie ∑an es convergente si, y sólo si,

∀ε > 0, ∃ N ∈ N : si m > n ≥ N entonces

|an+1 + an+2 + · · · + am| < ε.

Demostración: ∑an es convergente si la sucesión {Sn} es convergente, y por el Teorema 7, {Sn} es convergente si, y sólo si, es Sucesión de Cauchy:

∀ε > 0, ∃ N ∈ N : si m > n ≥ N entonces |Sm − Sn| < ε,

donde Sm − Sn = (a1 + a2 + · · · + am) − (a1 + a2 + · · · + an) = a1 + a2 + · · · + an + an+1 + · · · + am − a1 − a2 − · · · − an = an+1 + an+2 + · · · + am.

Teorema 22 (Criterio de Comparación con ≤)

Sean 0 < an ≤ bn para todo n.

Si ∑bn es convergente, entonces ∑an también es convergente. Equivalentemente, si ∑an... Continuar leyendo "Teoremas Clave sobre Convergencia y Divergencia de Series Numéricas" »

Polinomios y Expresiones Algebraicas

El valor numérico de un polinomio es el resultado obtenido al sustituir la variable x por un número cualquiera. Puede que el polinomio dependa de más de una variable; para resolverlo, se sustituirían las variables por igual a la vez.

• Un monomio es una expresión algebraica donde únicamente aparecen operaciones de productos y/o potencias de exponente natural.
• Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios.
• El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
• Sacar factor común en un polinomio es extraer un monomio que se repite en todos los términos.
• Factorizar un polinomio es expresar dicho polinomio como producto de otros polinomios

Industria Antzinako Erregimenean

Pribilegiatuek ez dute inbertitzen; lurretan inbertitzea nahiago dute. Burgesek ezin dute industrietan inbertitu, gremioek oztopatzen dietelako. Erregeak inbertitzen du eta fabrikak sortzen ditu, baina ez dago makinarik eta ez da efizientea.

Absolutismoa

Botere guztiak erregean kontzentratu dira.

Justifikazioa

Erregea Jainkoaren ordezkaria omen zen.

Teoria Ekonomikoa: Merkantilismoa

Ezaugarriak

• Urre eta zilar metaketa.
• Esportazioak sustatu, inportazioak mugatu (zergak).
• Estatuak industriak sortu.
• Estatuaren hazkundeak zerga gehiago ekarri herri xehearentzat.

Parlamentarismoa

Legea erregearen gainetik dago, botereen banaketa dago, eta pertsonek, pertsona izateagatik, eskubideak dituzte.

Liberalismo Politikoa

Pertsona guztiak... Continuar leyendo "Antzinako Erregimenaren eta Ilustrazioaren Kontzeptu Gakoak" »

Función: definición y conceptos básicos

Función es la relación entre dos magnitudes (variables) de modo que a cada valor de la primera variable se le asigna un único valor de la segunda.

Imagen → función → preimagen/contraimagen.

Una función se puede representar por diagramas, gráficos o mediante una expresión algebraica.

Representación en ejes y coordenadas

En el eje x se colocan los valores independientes y en el eje y los valores dependientes. Un par ordenado se escribe (x, y): la abscisa es la coordenada x y la ordenada es la coordenada y.

Formas de representación

• Diagramas
• Gráficos
• Expresión algebraica

Función lineal

Una función lineal es una función de proporcionalidad directa: f(x) = m x. Se dice que es de proporcionalidad... Continuar leyendo "Funciones matemáticas: definición, pendiente, composición y conceptos estadísticos" »

A continuación, se presentan los conceptos clave relacionados con las expresiones algebraicas, monomios y polinomios:

• Expresión Algebraica: Es cualquier combinación de números y letras relacionados entre sí por las operaciones aritméticas.
• Valor Numérico de una Expresión Algebraica: Es el número que se obtiene al sustituir en ella las variables por números concretos y realizar las operaciones indicadas.
• Monomio: Es una expresión algebraica formada por el producto de un número real y una o más variables elevadas a exponentes naturales.
• Polinomio: Es la suma de varios monomios. Su grado es el del monomio de mayor grado que contenga.
• Suma y Resta de Monomios: Se suman o restan los monomios semejantes y se deja indicada la suma o resta

perímetro 

                  7                                      P=l+l+l+l

             _ _ _ _ _ _ _ _ _                      p=7+7+7+7

             I                     I                      p=28cm

     7      I                      I   7

             I _ _ _ _ _  _ _ _I

                   7

             /  I                                    P=l+l+l+l+l

          /      I  _ __                            P=7+6+4+8+3

        I _ _ _ _ _ _ _ I                          P= 28cm

medidas de tendencia central 

 media: se suma los datos y se divide para el total de datos... Continuar leyendo "Matemáticas: perímetro, medidas de tendencia central, conversiones y más" »