Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Funciones Diferenciables

Definición

Consideremos una función f(x) definida en un entorno E(a,δ). Decimos que f(x) es diferenciable en x = a si existe un número real constante, A, tal que para todo h que cumpla que a + h ∈ E(a,δ), el incremento de la función al pasar del punto a al punto a + h se puede expresar como:

Δf = f(a + h) - f(a) = Ah + hε(h), con lim_h→0 ε(h) = 0

Relación entre Diferenciabilidad y Derivabilidad

Teorema

Una función f(x) es diferenciable en un punto x = a si y solo si dicha función es derivable en x = a.

f(a + h) - f(a) = f'(a)h + hε(h), con lim_h→0 ε(h) = 0

Demostración

Implicación directa: f(x) diferenciable en x = a ⇒ f(x) derivable en x = a.

Como f(x) es diferenciable en x = a, f(a + h) - f(a) = Ah + hε(

Tipos de Escalas de Medición en Estadística

Escala Nominal

Es la escala de nivel más básico. Consiste en la asignación arbitraria de números o símbolos a cada una de las categorías, sin que puedan establecerse relaciones entre ellas. En el caso en que se asignen números a las categorías, estos sirven única y exclusivamente para identificarlas y no poseen propiedades cuantitativas.

Ejemplos de escala nominal son:

• El tipo de grupo sanguíneo.
• El estado civil de un ciudadano.
• El sector en el que se encuadra la actividad de una empresa.

Mención especial merecen las variables que presentan dos categorías, denominadas binarias o dicotómicas. Estas se subdividen en:

• Simétricas: Como el sexo de un individuo o si una empresa es grande o pequeña.

Introducción a las Funciones Matemáticas

Las funciones son uno de los conceptos fundamentales en matemáticas, esenciales para describir relaciones entre cantidades y modelar fenómenos en diversas disciplinas. A continuación, exploraremos los diferentes tipos de funciones y sus propiedades esenciales.

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto (codominio o rango).

Ejemplos de Evaluación de Funciones

Función de una Variable

Consideremos la función f(x) = 2x - 3x². Para evaluar esta función en un punto específico, por ejemplo, cuando x = 2, sustituimos el valor... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Funciones Matemáticas: Tipos y Propiedades Clave" »

Muelles: Grafo del problema y modelado

A: grafo del problema

A.1: Sistema mecánico para el problema

• 1º: Estado natural sin fuerza aplicada.
• 2º: Estado final con fuerza aplicada.

A.2: Conceptos de ingeniería y modelado matemático del problema

A.2.1: Energía elástica interna (tensión interna del muelle i-ésimo):

Ei = 1/2 · Ki · (MM')² ⇒ Ei = 1/2 · Ki · Xi².

A.2.2: Trabajo de la fuerza externa:

W = F · Xi.

A.2.3: Modelado: superficie de la energía potencial del sistema mecánico (muelles y fuerza):

E_poten = acción externa – reacción interna o equivalentemente E_poten = - (reacción interna – acción externa). En el equilibrio: E_poten debe ser mínima.

Diagrama (descripción): Eje vertical: u → energía potencial del sistema mecánico;... Continuar leyendo "Equilibrio y optimización en sistemas de muelles y posición óptima en una portería" »

1. OBJETIVO DE LA ASIGNATURA

Obtener la probabilidad de una variable aleatoria por la que uno tiene un interés particular, como por ejemplo el PIB.

2. ¿QUE NECESITO PARA HAYAR LA PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA?

• Conocer la función de densidad de la variable aleatoria. 
• Conocer la forma funcional de la función de densidad, y los parámetros que la integran (μ, σ²) en una normal.

En la practica real como mucho podremos conocer la forma funcional en el caso de que la variable aleatoria se distribuya como una normal, dado que ellas son muy abundantes en ningún caso conoceremos los valores de los parámetros de dicha función ni μ ni σ². Si no vamos a poder conocerlos vamos a ser capaces de calcular un intervalo de confianza para cada uno.... Continuar leyendo "Estimación de Parámetros y Cálculo de Probabilidad en Variables Aleatorias" »

Razones y Proporciones

1. Razones

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo, la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee "siete es a cuatro".

• El primer término es el antecedente (que corresponde al dividendo).
• El segundo término es el consecuente (que corresponde al divisor).

2. Proporciones

Una proporción consiste en la igualdad entre dos razones y se representa de dos maneras:

a/b = c/d o a:b::c:d

Se lee: "a es a b como c es a d". En esta estructura:

• Los puntos a y d se llaman extremos.
• Los puntos b y c se llaman medios.

Porcentaje

El porcentaje es una proporcionalidad directa en la que se considera la totalidad como un 100%. Es un símbolo matemático que representa una cantidad dada como una fracción de 100 partes... Continuar leyendo "Fundamentos de Razones, Proporciones y Lógica Matemática" »

¿Qué es el Método de Bisección?

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que contiene la raíz. Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.

Fundamentos Teóricos

Se basa en el Teorema del Valor Intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio, por lo que con certeza existe un punto p en [a, b] que cumple f(p) = 0. De esta forma, se asegura... Continuar leyendo "Método de Bisección: Fundamentos y Aplicación en Ecuaciones No Lineales" »

1.1. Dimensionamiento y Comprobación de Rigidez del Encepado

El objetivo es determinar las dimensiones mínimas en planta del encepado y verificar su rigidez de acuerdo con la normativa vigente.

Tipo de Cimentación (Art. 58.2.1)

Para garantizar la rigidez de la cimentación, se debe cumplir la siguiente condición:

V_max ≤ 2h

Donde:

• V_max = Desplazamiento máximo admisible (57,5 cm en este caso)
• h = Canto del encepado

Comprobación:

57,5 cm ≤ 2 x 90 cm (encepado rígido)

Dimensiones Mínimas del Canto del Encepado (Art. 58.8.1)

Se debe verificar que el canto del encepado cumpla con las dimensiones mínimas establecidas:

h = 90 cm ≥ 40 cm y ø pilote = 55 cm

El canto dado por el enunciado CUMPLE con la norma para dicha cimentación.

Dimensiones Mínimas

Conceptos Fundamentales en Teoría de Grafos: Ciclos, Matrices y Más

Ciclo de Euler

El ciclo de Euler debe pasar por todas las aristas sin repetirse.

Ciclo Hamiltoniano

Debe pasar por todos los vértices sin repetir aristas o vértices.

Gráfica Bipartida Completa

Es K5,3; es decir, tiene 5 puntos V1 y 3 V2. Se une V1 con cada punto de V2 (aEv1 y dEv2).

Matriz de Adyacencia

Se colocan todos los vértices en fila y columna. Se irá comparando las aristas y se pondrá en la matriz el número de aristas que tocan un punto al otro.

Matriz de Incidencia

En la fila se pondrán las aristas y en la columna se pondrán los vértices. Se analizará si incide; si incide, se pondrá 1, y si no incide, se pondrá 0.

Tipos de Ciclos y Caminos

Ciclo Simple

(5,6,2,5)... Continuar leyendo "Explorando Ciclos Eulerianos, Hamiltonianos y Grafos: Conceptos Clave" »

Prueba 2: Conceptos clave de probabilidad y estadística

Preguntas y respuestas

1. La probabilidad de cualquier suceso toma valores entre:

   R: 0 y 1

2. ¿Qué parámetros determinan la función de distribución normal?

   R: Media (μ) y desviación estándar (σ)

3. Cuanto mayor sea el tamaño muestral, se cumple que:

   R: Menor es la varianza

4. ¿Qué característica se cumple cuando dos sucesos son incompatibles?

   R: No pueden ocurrir simultáneamente

5. Dados dos sucesos compatibles A y B, sabiendo que P(A) = 0,10 y P(B) = 0,20, ¿cuál es la probabilidad de que se dé al menos uno de ellos?

   R: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,10 + 0,20 - (0,10 * 0,20) = 0,28

6. Dados dos sucesos compatibles A y B, tales que P(A) = 0,10 y P(B) = 0,20, ¿cuál es la probabilidad de