Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

A continuación, se presentan una serie de ejercicios resueltos sobre variables aleatorias, distribuciones de probabilidad y estimación estadística.

Variables Aleatorias y Distribuciones

1. 1. Sea X una v.a. de tipo continuo:

   c) f(x) = δF(x)/δx

2. 2. Sean Xi ∈ B(p=0.5) independientes, la v.a. Σ(i=1 hasta 60) Xi, tiene por distribución:

   c) N(media=30; σ=√15)

3. 3. Si X ∈ N(μ=0, σ=2), la v.a. Y = 3X + 1 tiene por distribución:

   c) N(μ=1, σ²=36)

4. 4. Sea Z1 ∈ N(0,1), independiente de Z2 ∈ N(0,1) y sea X = Z1²/Z2², entonces:

   b) X ∈ t (1)

5. 5. En una distribución F de Fisher-Snedecor con 5 grados de libertad en el numerador y 7 en el denominador, la P(X=7.4604) es:

   a) 0

6. 6. El estadístico media muestral, obtenido por m.a.s. en una población de

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Interpretación de Resultados Cuantitativos

Evaluación de Matías

Puntaje Bruto (PB), Percentil (%) y Puntaje T (sin aproximar):

Matías obtiene un Puntaje Bruto (PB) de 55 puntos, lo que equivale a un percentil de 48. Esto significa que el 52% de los niños en iguales condiciones obtienen un nivel superior, mientras que un 47% obtendría un nivel inferior.

Evaluación de Francisca

Puntaje Bruto (PB), Percentil (%), Puntaje T (sin aproximar) y Puntaje Z (desviaciones típicas):

Francisca obtiene un puntaje bruto de 38 puntos, lo que la ubica en un percentil de 35. Es decir, el 65% de los niños en iguales condiciones obtienen un nivel superior y un 34% obtendría un nivel inferior. En relación a la media, Francisca se encuentra a 5.1 puntos bajo... Continuar leyendo "Interpretación de Resultados en Evaluaciones Psicopedagógicas y Psicométricas" »

Relaciones

Sea X un conjunto y R ⊆ X × X una relación en X.

• Se dice que R es reflexiva si (x, x) ∈ R para todo x ∈ X.
• Se dice que R es simétrica si siempre que (x, y) ∈ R se verifica que (y, x) ∈ R.
• Se dice que R es antisimétrica si cuando (x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R, entonces x = y.
• Se dice que R es transitiva si siempre que (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, se tiene que (x, z) ∈ R.

Sea X un conjunto y R ⊆ X × X una relación en X.

• Se dice que R es una relación de equivalencia si R verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
• Se dice que R es una relación de orden si R verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Representación de Relaciones Binarias

Puesto que una relación binaria en un conjunto... Continuar leyendo "Propiedades y Representación de Relaciones Binarias en Conjuntos" »

FORMULARIO DE GEOMETRÍA

figuras geometricas area   perimetro triángulo  A= base. altura/2   P=suma lados cuadrado y rectangulo  A= base.altura  P= suma lados rombo  A= diagmayor.diagmenor/2  p= suma lados poligono regular  A=perimetro.apotema/2  p=suma lados cualquier poligono  A= se triangulan y se suman las areas de triangulos  p= suma lados circulo  A= pi.r2  2pir

teorema del coseno: a²= b² + c²-2.b.c.cos A

prisma y cilindro: V= area.base.altura  

piramide y cono: V= area.base.altura/3

esfera: V= 4/3pi.r³   A= 4.pi.r²

teorema de tales:

x/z = y/w      x/p = x+y/q

 

 

 

1. Determinantes del Salario y Rendimiento sobre el Capital

Considere el siguiente modelo: log(salary) = β₀ + β₁ log(sales) + β₂ roe + β₃ ros + u

a) Hipótesis y Efecto de ROS

Se plantea la hipótesis de que, controlando las ventas (sales) y el ROE (Return on Equity), el ROS (Return on Stock) no tiene efecto en el salario. Se propone la alternativa de que el ROS sube el salario:

• H₀: β₃ = 0
• H₁: β₃ > 0

b) Estimación y Significado Económico

Dada la ecuación estimada: log(salary) = 4.32 + 0.280 log(sales) + 0.0174 roe + 0.00024 ros

¿Cuánto porcentaje se estima que suba el salario si el ROS sube en 50 puntos?

El cálculo es: 0.00024 * 50 = 0.012, lo que equivale a un incremento del 1.2%. Desde un punto de vista de significado

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Modelos ARIMA

Conceptos Clave

Estacionariedad

Una serie de tiempo es estacionaria si su media y su varianza son constantes en el tiempo, y si el valor de la covarianza entre periodos no depende del tiempo en el cual se calculó (son invariantes en el tiempo). Los modelos MA(q) son estacionarios por construcción, ya que son un proceso construido en base a la suma ponderada de procesos de ruido blanco. Para los modelos AR(p), las condiciones de estacionariedad son distintas. Es ventajoso trabajar con series estacionarias debido a que se puede generalizar y estudiar otros periodos fuera de la muestra.

Si la varianza es indeterminada, la serie es no estacionaria, por lo que se necesita del proceso random walk para que los momentos puedan ser calculados.... Continuar leyendo "Modelos ARIMA: Conceptos y Aplicaciones" »

Funciones Diferenciables

Definición

Consideremos una función f(x) definida en un entorno E(a,δ). Decimos que f(x) es diferenciable en x = a si existe un número real constante, A, tal que para todo h que cumpla que a + h ∈ E(a,δ), el incremento de la función al pasar del punto a al punto a + h se puede expresar como:

Δf = f(a + h) - f(a) = Ah + hε(h), con lim_h→0 ε(h) = 0

Relación entre Diferenciabilidad y Derivabilidad

Teorema

Una función f(x) es diferenciable en un punto x = a si y solo si dicha función es derivable en x = a.

f(a + h) - f(a) = f'(a)h + hε(h), con lim_h→0 ε(h) = 0

Demostración

Implicación directa: f(x) diferenciable en x = a ⇒ f(x) derivable en x = a.

Como f(x) es diferenciable en x = a, f(a + h) - f(a) = Ah + hε(

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Tipos de Escalas de Medición en Estadística

Escala Nominal

Es la escala de nivel más básico. Consiste en la asignación arbitraria de números o símbolos a cada una de las categorías, sin que puedan establecerse relaciones entre ellas. En el caso en que se asignen números a las categorías, estos sirven única y exclusivamente para identificarlas y no poseen propiedades cuantitativas.

Ejemplos de escala nominal son:

• El tipo de grupo sanguíneo.
• El estado civil de un ciudadano.
• El sector en el que se encuadra la actividad de una empresa.

Mención especial merecen las variables que presentan dos categorías, denominadas binarias o dicotómicas. Estas se subdividen en:

• Simétricas: Como el sexo de un individuo o si una empresa es grande o pequeña.

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Introducción a las Funciones Matemáticas

Las funciones son uno de los conceptos fundamentales en matemáticas, esenciales para describir relaciones entre cantidades y modelar fenómenos en diversas disciplinas. A continuación, exploraremos los diferentes tipos de funciones y sus propiedades esenciales.

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto (codominio o rango).

Ejemplos de Evaluación de Funciones

Función de una Variable

Consideremos la función f(x) = 2x - 3x². Para evaluar esta función en un punto específico, por ejemplo, cuando x = 2, sustituimos el valor... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Funciones Matemáticas: Tipos y Propiedades Clave" »