Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

¿Cómo se realiza el análisis estadístico?

El proceso estadístico implica obtener datos y comprender las funciones de densidad, lo cual es crucial para comparar variables.

Tipos de datos

• Corte transversal: Información de N datos en un punto específico del tiempo.
• Datos de panel: Información de N datos a lo largo del tiempo.
• Serie de tiempo: Estudio de dos variables a lo largo del tiempo.

Conceptos clave

Función de densidad: Describe la probabilidad relativa de que una variable tome un determinado valor.

Regresión lineal: Modelo matemático que aproxima la relación de dependencia entre una variable dependiente (y) y variables independientes (xi), incluyendo un término aleatorio.

Mínimos cuadrados ordinarios (MCO): Método para estimar los... Continuar leyendo "Fundamentos de Econometría y Estadística" »

La Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una técnica matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales, como la Transformada de Fourier.

Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.

Aplicaciones de la Transformada de Laplace

¿Para qué sirve la Transformada de Laplace? Se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales. Aunque puede resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, generalmente se aplica a problemas con coeficientes constantes.

Definición de la Transformada de Laplace de f(t)

ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt

Transformada Inversa

1. Fracción

El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina. Se divide en dos partes:

• Numerador: Indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero.
• Denominador: Indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.

2. Número racional

Todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo). Ejemplo: 1/2 es un número racional (1 dividido entre 2, o la proporción de 1 a 2).

3. Fracción decimal

Una fracción decimal es una fracción... Continuar leyendo "Fundamentos de Fracciones, Números Racionales y Conceptos Didácticos Clave" »

Ruido

Ruido al realimentarlo:

Sensibilidad

Ancho de Banda

Ajuste por Mínimos Cuadrados

El ajuste por mínimos cuadrados minimiza los efectos de los errores aleatorios utilizando observaciones, parámetros, residuos y constantes para establecer un modelo funcional.

Métodos Fundamentales del Ajuste por Mínimos Cuadrados

• Igual precisión: (ô = v^t * v -> ô = v₁² + v₂² + ...)? v¹₂ = mínimo
• Distinta precisión: (ô = v^t * p * v)

• Paramétrico: Se plantean tantas ecuaciones como observaciones. Pueden aparecer parámetros, observaciones, residuos y constantes. El número mínimo de parámetros coincide con el número de observaciones. Solo hay una observación por ecuación. Todas las ecuaciones son lineales. [v(0, 1); A(n, n₀); x(n_o, 1); L(n, 1)]
• Ecuación de condición: Tantas ecuaciones como observaciones

Sistema Diédrico o Monge: Representaciones del Punto en los Distintos Cuadrantes

El Punto

Cada punto en el espacio tiene dos proyecciones: una horizontal (P1) y otra vertical (P2). Cuando se abate el plano horizontal (PH) sobre el vertical (PV), tales proyecciones se ubican sobre una misma recta perpendicular a la línea de tierra (LT), ya que la proyección P1 gira junto con el plano horizontal.

La ubicación del punto en el espacio queda determinada por la cota, el alejamiento y la desviación.

• Cota: es la distancia o altura del punto P al plano horizontal (PH) y en el sistema diédrico o Monge está representada por la medida desde P2 a la línea de tierra (LT).
• Alejamiento: es la distancia del punto A al plano vertical (PV) y es la medida desde

Coordenadas en Espacios Vectoriales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

Base de un Espacio Vectorial

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan V. Lo indicamos como:

B = (v₁, v₂, …, v_n)

Una base ordenada es aquella en la cual los vectores se especifican en un cierto orden:

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Cualquier vector v ∈ V se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

v ∈ V ⇒ v = α₁v₁ + α₂v₂ + ⋯ + α_nv_n

Los escalares utilizados en la combinación lineal, se denominan coordenadas del vector v respecto de la base B y lo indicamos:

[v]_B = [α₁, α₂,... Continuar leyendo "Coordenadas y Cambio de Base en Espacios Vectoriales" »

Teorema de Rolle y Teorema de Bolzano

Teorema de Rolle

El Teorema de Rolle se utiliza para comprobar cuándo cambia el signo de una función. Si el signo cambia, entonces f(a) * f(b) < 0, lo que implica que existe al menos una raíz en el intervalo [a, b].

Condiciones:

• f(x) debe ser continua en el intervalo [a, b].
• f(x) debe ser derivable en el intervalo (a, b). (Generalmente, esto se cumple por composición de funciones elementales).

Teorema de Bolzano

(El documento original no proporciona detalles sobre el Teorema de Bolzano, pero se asume su relevancia por el contexto).

Si una función continua f(x) tiene valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo [a,b], entonces existe al menos un punto c dentro del intervalo (a,b) tal que f(... Continuar leyendo "Teoremas y Métodos Numéricos: Rolle, Bolzano, LU, Cholesky, Lagrange, Vandermonde, Newton, Chebyshev, Splines y Cuadratura" »

Clasificación de Variables en Investigación

Las variables pueden ser clasificadas según diferentes criterios, entre ellos el nivel de medición y el rol que ocupan en la investigación.

Según el Nivel de Medición

Una cuestión fundamental a considerar antes de proceder a un análisis es el nivel de medición de las variables. Este nivel determina tanto el tipo de operaciones matemáticas que pueden realizarse (suma, resta, multiplicación, división, etc.) como las técnicas estadísticas adecuadas para la prueba de hipótesis.

• Nominal: Clasificar
• Ordinal: Clasificar y Ordenar
• De Intervalo: Sumar, Restar, Dividir, Multiplicar
• De Razón: Idem (Igual que de intervalo, pero con cero absoluto)

Tipos de Variables según su Nivel de Medición

A continuación,... Continuar leyendo "Clasificación y Tipos de Variables Esenciales en Investigación Científica" »

Poligonación en Topografía

Este método se realiza cuando no se pueden radiar todos los puntos de un levantamiento desde una misma estación. Esto se hace mediante la medición de distancias y del ángulo que forman las visuales a los puntos anterior y posterior.

La precisión establecida de antemano determina los errores admisibles, el instrumental y la metodología a emplear. El instrumental, método y geometría de la poligonal determinan el error de cierre (Ec). Si Ec es menor que la tolerancia (T), hay compensación.

Clasificación de Poligonales

Las poligonales se clasifican según:

• Puntos de partida y llegada: Cerrada, Abierta, Encerrada (o encuadrada), Colgada.
• Observación: Orientada, No orientada.

Observación de una Poligonal

En la actualidad,... Continuar leyendo "Poligonación en Topografía: Método, Errores y Compensación de Levantamientos" »