Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Propiedades de la Transformada de Laplace

Definición 6.2.1. Función de Tipo Exponencial

Sea f una función continua por secciones en el intervalo [0, ∞). Se dice que f es de tipo exponencial si existen constantes positivas a, b y t₀ tales que |f(t)| ≤ be^at para todo t ≥ t₀.

Notemos que si existe una constante a tal que el límite lim_t→∞ f(t)/e^at existe y es finito, entonces f es una función de tipo exponencial. En efecto, sea:

L = lim_t→∞ f(t)/e^at

Por la definición de límite se deduce la existencia de un número t₀ > 0 tal que si t ≥ t₀, entonces:

|f(t)/e^at − L|

o equivalentemente,

|f(t)| L| + 1)e^at

y la condición se cumple tomando b = |L| + 1.

Como consecuencia inmediata de este criterio, vemos que las funciones consideradas... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales y Convergencia de la Transformada de Laplace" »

Adolphe Quetelet: Padre de la Estadística Moderna

Adolphe Quetelet es considerado el padre de la estadística moderna.

Tipos de Datos en Estadística

Clasificación según el número de variables

• Univariados: Se mide solo una variable en una sola unidad experimental.
• Bivariados: Se miden dos variables en una sola unidad experimental.
• Multivariados: Se miden más de dos variables en una sola unidad experimental.

Clasificación según la agrupación

• Agrupados: Cantidad dada de datos que puede clasificarse, ya sea por sus cualidades cualitativas o cuantitativas, y por tal agruparse para su análisis. Estos datos por lo general son aconsejable agruparles cuando su población cuenta con alrededor de 20 o más elementos que comparten una característica

Propiedades de la Suma y la Multiplicación

• Propiedad Conmutativa: A + B = B + A // A * B = B * A
• Propiedad Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C // A * (B * C) = (A * B) * C
• Neutro: A + 0 = A // A * 1 = A
• Inverso: A - A = 0 // A * (1/A) = 1

Relación de Igualdad y Desigualdad

• Relación "Es igual a"
  • Reflexiva: A = A
  • Simétrica: A = B -> B = A
  • Transitiva: A = B, B = C -> A = C
• Relación "Es menor que"
  • Irreflexiva: A < A (No es cierto)
  • Antisimétrica: A < B -> B > A
  • Transitiva: A < B y B < C -> A < C

Inecuación Cuadrática

Pasos para resolver una inecuación cuadrática:

1. Báscara (Fórmula cuadrática)
2. Crear intervalos: (-∞; n), (n; n), (n; ∞)
3. Probar la desigualdad en cada intervalo

Paridad de Funciones

• Función Par: f(x) = f(-

Intervalos de Confianza

Cálculo del Intervalo de Confianza

1. Sacar Z(α/2) o t(α/2) dependiendo del caso:
   • INV.T
   • DISTR.NORM.ESTAND.INV
2. Sacar Error típico (σ de x̄)
3. Sacar error máximo (positivo siempre, en la tabla de datos se llama nivel de confianza)
4. Límites
5. Interpretación

Interpretación del Intervalo de Confianza para la Media

Se puede confiar que en el (confianza)% de los casos, cuando se tomen muestras del mismo tamaño n, el verdadero promedio de __________________ está entre el valor límite inferior (Li) y el valor límite superior (Ls).

Interpretación del Intervalo de Confianza para la Proporción

Con una confianza del (%)% de los casos, se afirma que la proporción de ____________ está entre Li y Ls.

Tamaño de la Muestra

Tamaño de la

Determinación de la Ecuación de la Demanda de Pantalones de Tela

Objetivo: Determinar la ecuación matemática de la demanda final por pantalones de tela después de la caída del precio de los jeans.

Elasticidad precio cruzada de la demanda en el mercado local de pantalones de tela: e = +0,77

La elasticidad precio cruzada se define como:

e = (Δ%Q_{pantalones de tela}) / (Δ%P_jeans) = (Δ%Q_{pantalones de tela}) / (-22%) = +0,77

Despejando Δ%Q_{pantalones de tela}:

Δ%Q_{pantalones de tela} = +0,77 * (-22%) = -16,94%

Calculando la nueva cantidad demandada (Q_nueva):

Q_nueva = Q_antigua * (1 - 16,94%) = (103.400 - 4,84P) * 0,8306 = 85.894 - 4,02P

Por lo tanto, la nueva ecuación de la demanda es:

Q_nueva = 85.894 - 4,02P

Obtención del Precio de Equilibrio Final

Objetivo:

A Era Compostelá: Esplendor (séculos XII-XIII)

Caracterizábase por:

• Galicia como terra de retagarda na guerra contra os árabes, o que provocou unha paz relativa que permitía o aumento da poboación e o florecemento do comercio.
• Melloras na agricultura.
• Crecemento das urbes e forte tensión co poder nobiliario que desembocou nas chamadas Revolucións Irmandiñas.
• Compostela, grazas aos restos do Apóstolo Santiago, converteuse nun dos tres grandes centros de peregrinación medieval europea, e iso conlevou que o Camiño de Santiago trouxo riqueza á terra.
• Papel destacado da nobreza de orixe galega na corte Asturleonesa.

Decadencia Socioeconómica e Política de Galicia (Baixa Idade Media)

Factores:

• A independencia de Portugal en 1121.
• A unificación

Tipos de Matrices

Matriz triangular superior (inferior): es toda matriz que tiene nulos todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal.

Matriz diagonal: es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal.

Matriz escalonada por filas: es aquella que tiene, al principio de cada fila no nula, al menos un cero más que la anterior.

Propiedades de las Matrices

Es importante señalar que:

• a) El elemento neutro de la suma en el conjunto de matrices M_nxm es la matriz nula, denotada O_nxm.
• b) El elemento neutro del producto en el conjunto de matrices cuadradas M_n es la matriz unidad I_n.
• c) El producto de matrices en M_n no verifica la propiedad conmutativa.

1. (A^t)^t = A para cualquier

Objetivos del Estudio Relacional

Comparar, asociar y medir la fuerza de asociación entre variables.

Cantidad de Variables Analizadas

Dos variables.

Tipo de Validez

Validez externa.

Pruebas Estadísticas para Relaciones entre Variables

• Dos variables cualitativas: Chi cuadrado
• Dos variables cuantitativas: Correlación de Pearson
• Una variable cualitativa y una cuantitativa: T de Student
• Dos variables fijas: Fisher
• Dos variables aleatorias: Chi cuadrado de independencia
• Una variable fija y una aleatoria: Chi cuadrado de homogeneidad

Propósito del Contraste de Hipótesis para Frecuencias

Identificar las diferencias entre los grupos.

Pruebas Estadísticas para Probar Hipótesis

• Variables categóricas en grupos independientes: Chi cuadrado de homogeneidad
• Variables