Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Variables Aleatorias

Definición de Probabilidad

La probabilidad se ocupa del estudio de los fenómenos aleatorios y su objeto es la modelización matemática de estos fenómenos.

Propiedades:

• 1. [Propiedad no especificada en el original, pero se mantiene la numeración.]

Función de Distribución de Variable Aleatoria (V.A.)

Calcula las probabilidades de que la variable aleatoria tome valores en determinados subconjuntos.

Propiedades:

1. $F_X(-\infty)=0$ y $F_X(\infty)=1$.
2. $F_X(\cdot)$ es una función no decreciente.
3. $F_X(\cdot)$ es una función continua por la derecha.

Asignación de Probabilidades

Diferentes enfoques para la asignación de probabilidades:

• Espacio Muestral Discreto: $P(A) = \sum P(x)$. [Fórmula

Fórmulas Fundamentales de Cálculo y Trigonometría

Identidades Trigonométricas

Relaciones Recíprocas y de Cociente

• sen(x) = 1/cosec(x)
• cosec(x) = 1/sen(x)
• cos(x) = 1/sec(x)
• sec(x) = 1/cos(x)
• tg(x) = 1/cotg(x)
• cotg(x) = 1/tg(x)
• tg(x) = sen(x)/cos(x) = sec(x)/cosec(x)
• cotg(x) = cos(x)/sen(x)

Identidades Pitagóricas

• sen²(x) + cos²(x) = 1
• sec²(x) = tg²(x) + 1
• cosec²(x) = cotg²(x) + 1

Otras Relaciones y Expresiones

• sen(x) = cos(x)/cotg(x) = tg(x)/sec(x)
• cos(x) = sen(x)/tg(x) = cotg(x)/cosec(x)
• cosec(x) = cotg(x)/cos(x)
• sec(x) = cosec(x)/cotg(x)
• sec²(x) = sec(x)/cos(x)
• cosec²(x) = cosec(x)/sen(x)
• cotg²(x) = cotg(x)/tg(x)
• sen²(x) = sen(x)/cosec(x)
• cos²(x) = cos(x)/sec(x)
• tg²(x) = tg(x)/cotg(x)

Tabla de Integrales Inmediatas (Antiderivadas)

Nota: Todas las integrales

¿Qué características debe tener un sistema de ecuaciones para que sea inconsistente? Justifique gráficamente.

Respuesta: Un sistema de dos ecuaciones lineales es inconsistente cuando las rectas correspondientes son paralelas y distintas. Gráficamente, esto significa que las rectas tienen la misma pendiente pero distinto término independiente, por lo que no se intersecan y no existe ningún punto común (no hay solución).

Justifique por qué se puede decir en los números reales que solo existe la suma

Respuesta: En los números reales la operación básica es la adición. La resta no es una operación primitiva independiente: restar es lo mismo que sumar el inverso aditivo (por ejemplo, a - b = a + (−b)). Por eso se puede decir que, desde... Continuar leyendo "Sistemas de ecuaciones, matrices y operaciones clave en Álgebra Lineal" »

Propiedades de la Transformada de Laplace

Definición 6.2.1. Función de Tipo Exponencial

Sea f una función continua por secciones en el intervalo [0, ∞). Se dice que f es de tipo exponencial si existen constantes positivas a, b y t₀ tales que |f(t)| ≤ be^at para todo t ≥ t₀.

Notemos que si existe una constante a tal que el límite lim_t→∞ f(t)/e^at existe y es finito, entonces f es una función de tipo exponencial. En efecto, sea:

L = lim_t→∞ f(t)/e^at

Por la definición de límite se deduce la existencia de un número t₀ > 0 tal que si t ≥ t₀, entonces:

|f(t)/e^at − L|

o equivalentemente,

|f(t)| L| + 1)e^at

y la condición se cumple tomando b = |L| + 1.

Como consecuencia inmediata de este criterio, vemos que las funciones consideradas... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales y Convergencia de la Transformada de Laplace" »

Adolphe Quetelet: Padre de la Estadística Moderna

Adolphe Quetelet es considerado el padre de la estadística moderna.

Tipos de Datos en Estadística

Clasificación según el número de variables

• Univariados: Se mide solo una variable en una sola unidad experimental.
• Bivariados: Se miden dos variables en una sola unidad experimental.
• Multivariados: Se miden más de dos variables en una sola unidad experimental.

Clasificación según la agrupación

• Agrupados: Cantidad dada de datos que puede clasificarse, ya sea por sus cualidades cualitativas o cuantitativas, y por tal agruparse para su análisis. Estos datos por lo general son aconsejable agruparles cuando su población cuenta con alrededor de 20 o más elementos que comparten una característica

Propiedades de la Suma y la Multiplicación

• Propiedad Conmutativa: A + B = B + A // A * B = B * A
• Propiedad Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C // A * (B * C) = (A * B) * C
• Neutro: A + 0 = A // A * 1 = A
• Inverso: A - A = 0 // A * (1/A) = 1

Relación de Igualdad y Desigualdad

• Relación "Es igual a"
  • Reflexiva: A = A
  • Simétrica: A = B -> B = A
  • Transitiva: A = B, B = C -> A = C
• Relación "Es menor que"
  • Irreflexiva: A < A (No es cierto)
  • Antisimétrica: A < B -> B > A
  • Transitiva: A < B y B < C -> A < C

Inecuación Cuadrática

Pasos para resolver una inecuación cuadrática:

1. Báscara (Fórmula cuadrática)
2. Crear intervalos: (-∞; n), (n; n), (n; ∞)
3. Probar la desigualdad en cada intervalo

Paridad de Funciones

• Función Par: f(x) = f(-

Intervalos de Confianza

Cálculo del Intervalo de Confianza

1. Sacar Z(α/2) o t(α/2) dependiendo del caso:
   • INV.T
   • DISTR.NORM.ESTAND.INV
2. Sacar Error típico (σ de x̄)
3. Sacar error máximo (positivo siempre, en la tabla de datos se llama nivel de confianza)
4. Límites
5. Interpretación

Interpretación del Intervalo de Confianza para la Media

Se puede confiar que en el (confianza)% de los casos, cuando se tomen muestras del mismo tamaño n, el verdadero promedio de __________________ está entre el valor límite inferior (Li) y el valor límite superior (Ls).

Interpretación del Intervalo de Confianza para la Proporción

Con una confianza del (%)% de los casos, se afirma que la proporción de ____________ está entre Li y Ls.

Tamaño de la Muestra

Tamaño de la

Ecuación de una Recta Paralela

Encuentre la ecuación de la recta paralela a la recta 2x - y + 4 = 0 y que pasa por el punto de intersección entre las rectas 2x - 3y - 7 = 0 y 2x + y - 11 = 0.

Paso 1: Calcular la pendiente

Para que una recta sea paralela a otra, deben tener la misma pendiente. Primero, despejamos y de la recta de referencia para encontrar su pendiente (m).

2x - y + 4 = 0
2x + 4 = y

La ecuación toma la forma y = mx + b, por lo que la pendiente es m = 2.

Paso 2: Encontrar el punto de intersección

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones para encontrar el punto donde se cruzan las dos rectas:

1. 2x - 3y - 7 = 0
2. 2x + y - 11 = 0

Usaremos el método de eliminación. Multiplicamos la segunda ecuación por 3:

2x - 3y - 7 = 0
3 * (2x + y -

Determinación de la Ecuación de la Demanda de Pantalones de Tela

Objetivo: Determinar la ecuación matemática de la demanda final por pantalones de tela después de la caída del precio de los jeans.

Elasticidad precio cruzada de la demanda en el mercado local de pantalones de tela: e = +0,77

La elasticidad precio cruzada se define como:

e = (Δ%Q_{pantalones de tela}) / (Δ%P_jeans) = (Δ%Q_{pantalones de tela}) / (-22%) = +0,77

Despejando Δ%Q_{pantalones de tela}:

Δ%Q_{pantalones de tela} = +0,77 * (-22%) = -16,94%

Calculando la nueva cantidad demandada (Q_nueva):

Q_nueva = Q_antigua * (1 - 16,94%) = (103.400 - 4,84P) * 0,8306 = 85.894 - 4,02P

Por lo tanto, la nueva ecuación de la demanda es:

Q_nueva = 85.894 - 4,02P

Obtención del Precio de Equilibrio Final

Objetivo: