Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

¿Qué características debe tener un sistema de ecuaciones para que sea inconsistente? Justifique gráficamente.

Respuesta: Un sistema de dos ecuaciones lineales es inconsistente cuando las rectas correspondientes son paralelas y distintas. Gráficamente, esto significa que las rectas tienen la misma pendiente pero distinto término independiente, por lo que no se intersecan y no existe ningún punto común (no hay solución).

Justifique por qué se puede decir en los números reales que solo existe la suma

Respuesta: En los números reales la operación básica es la adición. La resta no es una operación primitiva independiente: restar es lo mismo que sumar el inverso aditivo (por ejemplo, a - b = a + (−b)). Por eso se puede decir que, desde... Continuar leyendo "Sistemas de ecuaciones, matrices y operaciones clave en Álgebra Lineal" »

Propiedades de la Transformada de Laplace

Definición 6.2.1. Función de Tipo Exponencial

Sea f una función continua por secciones en el intervalo [0, ∞). Se dice que f es de tipo exponencial si existen constantes positivas a, b y t₀ tales que |f(t)| ≤ be^at para todo t ≥ t₀.

Notemos que si existe una constante a tal que el límite lim_t→∞ f(t)/e^at existe y es finito, entonces f es una función de tipo exponencial. En efecto, sea:

L = lim_t→∞ f(t)/e^at

Por la definición de límite se deduce la existencia de un número t₀ > 0 tal que si t ≥ t₀, entonces:

|f(t)/e^at − L|

o equivalentemente,

|f(t)| L| + 1)e^at

y la condición se cumple tomando b = |L| + 1.

Como consecuencia inmediata de este criterio, vemos que las funciones consideradas... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales y Convergencia de la Transformada de Laplace" »

Adolphe Quetelet: Padre de la Estadística Moderna

Adolphe Quetelet es considerado el padre de la estadística moderna.

Tipos de Datos en Estadística

Clasificación según el número de variables

• Univariados: Se mide solo una variable en una sola unidad experimental.
• Bivariados: Se miden dos variables en una sola unidad experimental.
• Multivariados: Se miden más de dos variables en una sola unidad experimental.

Clasificación según la agrupación

• Agrupados: Cantidad dada de datos que puede clasificarse, ya sea por sus cualidades cualitativas o cuantitativas, y por tal agruparse para su análisis. Estos datos por lo general son aconsejable agruparles cuando su población cuenta con alrededor de 20 o más elementos que comparten una característica

Propiedades de la Suma y la Multiplicación

• Propiedad Conmutativa: A + B = B + A // A * B = B * A
• Propiedad Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C // A * (B * C) = (A * B) * C
• Neutro: A + 0 = A // A * 1 = A
• Inverso: A - A = 0 // A * (1/A) = 1

Relación de Igualdad y Desigualdad

• Relación "Es igual a"
  • Reflexiva: A = A
  • Simétrica: A = B -> B = A
  • Transitiva: A = B, B = C -> A = C
• Relación "Es menor que"
  • Irreflexiva: A < A (No es cierto)
  • Antisimétrica: A < B -> B > A
  • Transitiva: A < B y B < C -> A < C

Inecuación Cuadrática

Pasos para resolver una inecuación cuadrática:

1. Báscara (Fórmula cuadrática)
2. Crear intervalos: (-∞; n), (n; n), (n; ∞)
3. Probar la desigualdad en cada intervalo

Paridad de Funciones

• Función Par: f(x) = f(-

Intervalos de Confianza

Cálculo del Intervalo de Confianza

1. Sacar Z(α/2) o t(α/2) dependiendo del caso:
   • INV.T
   • DISTR.NORM.ESTAND.INV
2. Sacar Error típico (σ de x̄)
3. Sacar error máximo (positivo siempre, en la tabla de datos se llama nivel de confianza)
4. Límites
5. Interpretación

Interpretación del Intervalo de Confianza para la Media

Se puede confiar que en el (confianza)% de los casos, cuando se tomen muestras del mismo tamaño n, el verdadero promedio de __________________ está entre el valor límite inferior (Li) y el valor límite superior (Ls).

Interpretación del Intervalo de Confianza para la Proporción

Con una confianza del (%)% de los casos, se afirma que la proporción de ____________ está entre Li y Ls.

Tamaño de la Muestra

Tamaño de la

Ecuación de una Recta Paralela

Encuentre la ecuación de la recta paralela a la recta 2x - y + 4 = 0 y que pasa por el punto de intersección entre las rectas 2x - 3y - 7 = 0 y 2x + y - 11 = 0.

Paso 1: Calcular la pendiente

Para que una recta sea paralela a otra, deben tener la misma pendiente. Primero, despejamos y de la recta de referencia para encontrar su pendiente (m).

2x - y + 4 = 0
2x + 4 = y

La ecuación toma la forma y = mx + b, por lo que la pendiente es m = 2.

Paso 2: Encontrar el punto de intersección

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones para encontrar el punto donde se cruzan las dos rectas:

1. 2x - 3y - 7 = 0
2. 2x + y - 11 = 0

Usaremos el método de eliminación. Multiplicamos la segunda ecuación por 3:

2x - 3y - 7 = 0
3 * (2x + y -

Determinación de la Ecuación de la Demanda de Pantalones de Tela

Objetivo: Determinar la ecuación matemática de la demanda final por pantalones de tela después de la caída del precio de los jeans.

Elasticidad precio cruzada de la demanda en el mercado local de pantalones de tela: e = +0,77

La elasticidad precio cruzada se define como:

e = (Δ%Q_{pantalones de tela}) / (Δ%P_jeans) = (Δ%Q_{pantalones de tela}) / (-22%) = +0,77

Despejando Δ%Q_{pantalones de tela}:

Δ%Q_{pantalones de tela} = +0,77 * (-22%) = -16,94%

Calculando la nueva cantidad demandada (Q_nueva):

Q_nueva = Q_antigua * (1 - 16,94%) = (103.400 - 4,84P) * 0,8306 = 85.894 - 4,02P

Por lo tanto, la nueva ecuación de la demanda es:

Q_nueva = 85.894 - 4,02P

Obtención del Precio de Equilibrio Final

Objetivo:

 1.  Los estimadores se expresan en Qs

2.Son estimadores puntuales. Yest corr Ypo

3.Propiedades de la Línea de regresión muestral

-Pasa por los promedios muéstrales de Y y X

-Valor medio Y est = Valor medio de Y Obs

-Valor medio de los residuos es 0 b  derivar B1

-Los residuos no están correlacionados con el Valor pronosticado de Y

-Los residuos no están correlacionados con X   derivar B2

MCRL Supuestos

1.Mod Reg es Lin en los Parámetros aunque pueda o No serlo en las variables

2.Valores fijos de X o Valores de X independientes Del  u (suponemos que X no es estoscastica Por)

-Por simplicidad aritmética

-En determinadas expresiones no es ireal mantener La X fija

-aunque las variables X sean estocásticas, los resultados Estadísticos de la... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Econometría: Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y Supuestos del Modelo Clásico de Regresión Lineal (MCRL)" »

3.- Muestreo aleatorio estratificado: Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores ya que simplifican los procesos Y suelen reducir el error muestral para un tamaño dado de la muestra. Consiste en considerar Categorías típicas diferentes entre sí (estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna Carácterística (se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, el Sexo, el estado civil, etc.). 4.- Muestreo aleatorio por conglomerados: Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionar directamente los Elementos de la población, es decir, que las unidades muéstrales son los elementos de la Población. En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es... Continuar leyendo "Métodos de Muestreo Probabilístico y Distribuciones de Probabilidad Discretas" »