Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Teorema de Rolle

Sea f(x) una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. f(x) es continua en [a,b]
2. f(x) es derivable en (a,b)
3. f(a)=f(b)

Entonces existe un número cÎ(a,b) tal que f´(c)=0

Demostración:

Hay tres casos:

1er caso:

f(x) = cte ® f ´(x)=0 para todo xÎ(a,b). Cualquier c Î(a,b) lo cumple.

2do caso:

Existe un x tal que f(x)>f(a). Dado que por hipótesis f(x) es continua en [a,b], f(x) tiene un valor máximo en [a,b] (teorema de Weierstrass). Dado que f(a)=f(b) el máximo debe alcanzarse en algún c Î(a,b), es decir que también en c se alcanza un máximo local (pues está en el interior de [a,b]). f(x) es derivable en (a,b) (hipótesis 2) entonces podemos aplicar el teorema de Fermat, es decir, f´(c) = 0.

3er caso:

Existe un x... Continuar leyendo "Teorema de Rolle y Otros Conceptos Fundamentales del Cálculo" »

Ojos claros, serenos: O madrigal de Gutierre de Cetina está composto por versos endecasílabos e heptasílabos que son propios da poesía italianista. Estes versos pretenden imitar os tipos de estrofa usados por Horacio, un dos poetas da antigüidade que é venerado. Ademais, os metros italianos corresponden a un contido menos abstracto, máis suave e sensorial como se pode ver co uso do adjetivo “claros”. Este madrigal está dentro do período do Renacemento, polo que é un poema no que se ensalza a beleza e o protagonismo do amor, e se concibe á dama como un ser inalcanzable.

Estancia breve e aislada

O poema é unha estancia breve e aislada. É unha composición de tipo ingenioso, breve con rima consonante para xogos conceptistas, dedicados... Continuar leyendo "O madrigal de Gutierre de Cetina: poesía amorosa renacentista" »

Estudio de una Función a partir de su Derivada

Se conoce la función derivada de f: f'(x) = 3x² - 8x + 5.

a) Monotonía y Extremos Relativos

Estudiamos el signo de la primera derivada f'(x) para determinar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento).

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos (posibles extremos relativos):

f'(x) = 0 ⇒ 3x² - 8x + 5 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: x = 1 y x = 5/3 ≈ 1.67.

Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:

• Intervalo (-∞, 1): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 0. f'(0) = 3(0)² - 8(0) + 5 = 5 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en (-∞, 1).
• Intervalo (1, 5/3): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 1.

PROBABILIDAD

Llamaremos ESPACIO MUESTRAL ( Ω) al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Llamaremos SUCESO a cualquier subconjunto del espacio muestral.

La probabilidad que un suceso S ocurra es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Un suceso es imposible cuando el cardinal del suceso es 0 por lo tanto la probabilidad es 0.

Un suceso es seguro cuando el cardinal del suceso es igual al espacio muestral por lo tanto la probabilidad es 1.

Llamaremos suceso complementario o contrarios a aquellos en los que siempre ocurre uno de ellos pero nunca ambos a la vez.

En un mismo espacio muestral, dos sucesos son mutuamente excluyentes si y sólo si, éstos no pueden ocurrir simultáneamente.... Continuar leyendo "Conceptos clave de Probabilidad y Conteo" »

Adierazi taula batean TRADIZIOKO HEZKUNTZA eta HEZKUNTZA IRAUNKURRAREN arteko desberdintasuna

TRADIZIOZKO HEZKUNTZA

• Paradigma mugatua; denboran, espazioan, edukietan, metodoetan eta bizitza etapetan.
• Irakaskuntza bizitzaren aurreneko etapetan izaten da.
• Gerora begira irakasten eta ikasten da, etorkizunari begira.
• Ezagutzak eta trebetasunak metatzen dira gero erabili ahal izateko.
• Ikasten duen subjektuak ez du ezagutza eraikitzen; dakienarengandik hartzen du.

HEZKUNTZA IRAUNKORRA

• IREKIA da eta edukiek eraiki egiten dira.
• Irakaskuntza bizitzaren aurreneko etapetan izaten da.
• Lehena, oraina eta geroa inplikatuak daude.
• Ez ditu ezagutzak metatzen; erabili egiten ditu ikasten jarraitzeko.
• Ikasten duen subjektuak modu aktiboan parte hartzen du ezagutza esanahitsuak

Probabilidad

Espacio muestral (Ω)

Llamaremos espacio muestral (Ω) al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Suceso

Llamaremos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Sea Ω un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio E, la probabilidad de que un suceso S ocurra es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

• Un suceso es imposible cuando el cardinal del suceso es 0, por lo tanto, la probabilidad es 0.
• Un suceso es seguro cuando el cardinal del suceso es igual al espacio muestral, por lo tanto, la probabilidad es 1.

Suceso complementario

Llamaremos sucesos complementarios o contrarios a aquellos en los que siempre ocurre uno de ellos, pero nunca ambos... Continuar leyendo "Conceptos básicos de probabilidad y técnicas de conteo" »