Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Fórmulas y propiedades

Línea recta

• Distancia punto-recta: d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²) (distancia punto - recta)
• Distancia entre dos puntos: d(P₁→P₂) = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²) (distancia entre 2 puntos)
• Punto medio entre dos puntos: x = (x₁ + x₂) / 2; y = (y₁ + y₂) / 2 (punto medio entre 2 puntos)
• Ecuación de la recta a partir de dos puntos: (y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) (recta a partir de 2 puntos)
• Punto que divide un segmento en razón r (interno): x = (x₁ + r x₂)/(1 + r); y = (y₁ + r y₂)/(1 + r) (puntos para encontrar junto a una razón)
• Ecuación punto-pendiente: y - y₁ = m(x - x₁) (recta a partir de un punto y una pendiente)

Circunferencia

• Ecuación ordinaria (centro (h,k), radio r): (x - h)² + (y - k)² = r²
• Ecuación general:

Continuidad

Límite por la derecha y límite por la izquierda, si son iguales hay continuidad sino no.

Teorema de Bolzano

Te da una función y tienes que decir dónde es continua y que es continua en el punto que él te ha dado. Sustituyes el punto que tienes en la función del ejercicio, si te dan valores de distinto signo, existe un punto C en el intervalo abierto del punto que tienes en el que se anula la función por lo que sí que se cumple.

Funciones

1º sacamos el dominio. 2º los puntos de corte, en el eje X (y = 0) y sustituyes en la función 0 donde haya y, y en el eje OY (x = 0) y sustituyes en la función 0 donde haya X y esto te da un punto. 3º hacer las asíntotas (verticales), hay que hacer el límite de lo que haya dado el dominio,... Continuar leyendo "Teorema de Bolzano y funciones matemáticas" »

Teoria politikoa: Gizatasuna eta erregimen politikoak

Aristotelesek gizartea ondo antolatzeko kezka zuen. Estagirakoak sistema politiko ezberdinen inguruko azterketa burutu zuen, eta antolaketa politikoari buruz hainbat ikuspuntu utzi zizkigun:

1. Gizakia animalia politikoa da (*Zoon Politikon*)

   Gizakiak aurrera egiteko, bizirauteko alegia, besteekin batera elkarlanean aritu behar du. Superbibentzia eta garapena besteekin egiten den bidea da Aristotelesentzat; kooperazio eta solidaritate printzipioak ezinbestekoak dira gizarte gisa aurrera egiteko.

   Gizarte antolaketaren egitura

   Gizarte antolaketaren egitura natural eta, era berean, sinpleena familia da. Bertan, hainbat balio ikasi eta praktikatzen dira. Ondoren, auzoa dugu: beste familia, pertsona

Características da Sociedade Galega do Século XIX

Sinala 4 características da sociedade galega do século XIX: Galicia no século XIX é un país eminentemente rural, cunha economía precapitalista, case exclusivamente agraria e mariñeira. A propiedade da terra segue a articularse arredor dos foros (situación que non modificará a desamortización) e un réxime de minifundio.

A Emigración como Factor Demográfico

Por que a emigración foi un factor demográfico determinante? Só nos 10 anos que transcorren entre 1885-1895, abandonaron Galicia rumbo a países como Arxentina, Uruguai, Cuba ou Brasil máis de 165.000 persoas. Aínda que houbo quen fixo fortuna, a meirande parte dos emigrantes volvían avellentados e case tan pobres como marcharan.... Continuar leyendo "Sociedade Galega do Século XIX e Rexurdimento: Características e Figuras" »

Parábola

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija l, llamada directriz y un punto fijo f, llamado foco. El vértice de la parábola es el punto medio del segmento cuyos extremos son el foco y la intersección del eje de simetría con la directriz.

Eje de simetría o focal

Recta con respecto a la cual una de las ramas de la parábola es el simétrico de la otra.

Vértice

Punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría.

Lado recto

Segmento con extremos en la parábola que pasa por el foco.

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos de sus distancias f1 y f2 llamados focos.

Directrices

Se denomina así a dos rectas perpendiculares al eje mayor situadas en la distancia.

Cramer

Sistema de... Continuar leyendo "Conceptos geométricos y matemáticos" »

Sacar Factor Común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces:

• 1. x³ + x² = x² (x + 1)

  Las raíces son: x = 0 y x = -1.

• 2. 2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

  Solo tiene una raíz, x = 0, ya que el polinomio x² + 2 no tiene ningún valor real que lo anule. Esto se debe a que, al estar la x al cuadrado, siempre resultará un número positivo; por lo tanto, es irreducible en los números reales.

• 3. x² - ax - bx + ab = x (x - a) - b (x - a) = (x - a) · (x - b)

  Las raíces son x = a y x = b.

Diferencia de Cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.

a² - b² = (a + b) · (a - b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las... Continuar leyendo "Métodos de Factorización de Polinomios y Cálculo de Raíces" »

Conceptos Fundamentales en Matemáticas

Álgebra y Radicales

La racionalización de radicales es un proceso mediante el cual se eliminan las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.

Racionalizar una fracción con raíces en el denominador implica encontrar otra expresión equivalente que no contenga raíces en el denominador. Para lograr esto, se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de modo que, al operar, la raíz del denominador se elimine.

La radicación es la operación que consiste en obtener la raíz de una cifra o de una expresión. De este modo, la radicación es el proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la raíz.

Los radicales semejantes son aquellos que poseen... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Matemáticas: Álgebra, Geometría y Estadística" »

Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial

Definición de Derivada

Es el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.

Cociente Incremental

Relación entre el incremento de la función y el incremento de la variable independiente.

Interpretación Geométrica de la Derivada

Representa la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en un punto con el semieje positivo de las abscisas.

Diferencial de una Función

La diferencial de una función se define como el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.

Interpretación Geométrica de la Diferencial

Representa el incremento de la ordenada de la recta tangente en el punto.

Funciones Crecientes

Exploración Detallada de las Formas Cristalográficas y su Simetría

Este documento presenta una exhaustiva compilación de las diversas formas cristalográficas y sus correspondientes elementos de simetría, expresados mediante la notación Hermann-Mauguin. La simetría es un concepto fundamental en la cristalografía y la mineralogía, permitiendo clasificar y comprender la estructura interna de los cristales. Cada entrada en la tabla detalla el nombre de la forma, una descripción de su simetría inherente y su representación estándar en la notación Hermann-Mauguin, esencial para el estudio de los grupos puntuales cristalográficos.

Tabla de Formas Cristalográficas y Notación Hermann-Mauguin

Conceptos Fundamentales de Estadística

Población

Cualquier conjunto de unidades, o elementos, claramente definido, para los cuales se realizarán inferencias o estimaciones. Los elementos que forman la población pueden ser: personas, hogares, predios, edificios, árboles, animales, empresas, países, etc.

Censo

Recuento, o medición, de una característica en cada uno de los elementos que integran una población.

Parámetro

Número que describe una característica de la población (estatura promedio, varianza del peso, número de individuos, etc.)

Muestra

Es un subconjunto representativo seleccionado a partir de una población.

Muestreo

Conjunto de técnicas usadas en la selección de un subconjunto de elementos de una población. Se emplean métodos... Continuar leyendo "Definiciones Clave en Estadística Descriptiva e Inferencial" »