Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Tipos de Variables en Investigación

Considerando la relación entre variables, se distinguen los siguientes tipos fundamentales:

1. Variable Independiente

   Es aquella que juega un rol de factor determinante, causal o de influencia sobre otra u otras variables. Estas variables se encuentran comúnmente en problemas explicativos, relacionales y experimentales. En estos últimos, suelen ser conocidas como variables estímulo.

2. Variable Dependiente

   Es aquella que juega un rol de consecuencia, al ser determinada, originada o influida por la variable independiente. Esto implica que no pueden existir variables dependientes sin las independientes. Si consideramos el criterio de tiempo, las variables independientes son conceptualmente "más antiguas" que las

TVM (Tasa de Variación Media)

Definición y Cálculo

TVM se define como el cambio promedio en una función sobre un intervalo dado. La fórmula general es:

TVM[a,b] = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Ejemplo:

Calcular la TVM de f(x) = 1/x en el intervalo [1,3]:

TVM[1,3] = (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (1/3 - 1/1) / 2 = -1/3

También se puede calcular la TVM usando intervalos de la forma [a, a+h]:

TVM[a, a+h] = (f(a+h) - f(a)) / h

Ejemplo con Intervalo [a, a+h]

Calcular la TVM de f(x) = -x^2 + 5x - 3 en el intervalo [1, 1+h]:

TVM[1, 1+h] = (f(1+h) - f(1)) / h

= (-(1+h)^2 + 5(1+h) - 3 - (-1^2 + 5(1) - 3)) / h

= (3 - h) / h

Esta expresión final permite sustituir diferentes valores de h para obtener la TVM en intervalos cercanos a 1.

Derivada por Definición

La derivada... Continuar leyendo "Guía de Cálculo: Derivadas, TVM y Optimización de Funciones" »

Parábola, Elipse e Hipérbola: Ecuaciones y Elementos

Parábola

Ecuaciones con vértice en el origen cuando la parábola está hacia la derecha:

y²=4px

Elementos:

• "izquierda"
• El parámetro se determina con las ecuaciones que te dan:

y²=-4px

• "arriba"
• Ejemplo: x²=-4py

y²=10x p=10

• "abajo"

y²=4px

4x²=-4py

El lado recto vale 4p.

Ecuaciones de parábola con v(h,k)

• Vertical: (x-h)²=4p(y-k)
• Horizontal: (y-h)²=4p(x-k)

Fórmulas:

• Horizontal: ax²+bx+y+c=0 y=ax²+bx+c
• Vertical: ay²+by+x+c=0 x=ay²+by+c

Elipse

Ecuación canónica cuando está en el origen:

x²/a² + y²/b² =1

Elementos:

• Focos: (+ C,0)
• Excentricidad: c/a
• Eje mayor=2a
• LR= 2b²/

Galicia a fins da Idade Media

Concorda un certo número de historiadores en sinalar o século XV como un momento determinante na historia do noso país. E isto por un dobre motivo: porque os acontecementos que nesa época tiveron lugar determinan a súa proxección durante a Idade Moderna; e porque a denominada por eles "frustración do século XV" viría condicionar o devir de Galicia ata a actualidade.

O Reino de Galicia na Coroa de Castela

En 1230, Fernando III reuniu definitivamente, baixo un só cetro, os territorios de Galicia-León e Castela. Ademais, a acción conquistadora permitiulle ao monarca ampliar os seus dominios logo da toma de Córdoba e Sevilla. A partir dese momento, tan só o reino de Granada ía permanecer, ata 1492, como... Continuar leyendo "Galicia na Baixa Idade Media: Crise, Transformación e Resistencia Cultural" »

Poliedros

Pirámides

Una pirámide es un poliedro cuyas caras son un polígono y otras son triángulos que convergen en un punto.

Clasificación:

• Por inclinación: Puede ser recta cuando sus caras laterales son triángulos isósceles o oblicua si al menos una de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.
• Por polígono de base: Puede ser regular cuando la base es un polígono regular e irregular cuando la base no es un polígono regular.
• Por convexidad: Puede ser convexa si la base es un polígono convexo o cóncava si la base es un polígono cóncavo o no convexo.
• Por número de caras: Triangular, cuadrangular.

Prismas

Los prismas son poliedros cuyas caras son polígonos iguales y paralelos, y las otras son paralelogramos.

Clasificación:

• Por

Fórmulas y propiedades

Línea recta

• Distancia punto-recta: d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²) (distancia punto - recta)
• Distancia entre dos puntos: d(P₁→P₂) = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²) (distancia entre 2 puntos)
• Punto medio entre dos puntos: x = (x₁ + x₂) / 2; y = (y₁ + y₂) / 2 (punto medio entre 2 puntos)
• Ecuación de la recta a partir de dos puntos: (y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) (recta a partir de 2 puntos)
• Punto que divide un segmento en razón r (interno): x = (x₁ + r x₂)/(1 + r); y = (y₁ + r y₂)/(1 + r) (puntos para encontrar junto a una razón)
• Ecuación punto-pendiente: y - y₁ = m(x - x₁) (recta a partir de un punto y una pendiente)

Circunferencia

• Ecuación ordinaria (centro (h,k), radio r): (x - h)² + (y - k)² = r²
• Ecuación general:

Continuidad

Límite por la derecha y límite por la izquierda, si son iguales hay continuidad sino no.

Teorema de Bolzano

Te da una función y tienes que decir dónde es continua y que es continua en el punto que él te ha dado. Sustituyes el punto que tienes en la función del ejercicio, si te dan valores de distinto signo, existe un punto C en el intervalo abierto del punto que tienes en el que se anula la función por lo que sí que se cumple.

Funciones

1º sacamos el dominio. 2º los puntos de corte, en el eje X (y = 0) y sustituyes en la función 0 donde haya y, y en el eje OY (x = 0) y sustituyes en la función 0 donde haya X y esto te da un punto. 3º hacer las asíntotas (verticales), hay que hacer el límite de lo que haya dado el dominio,... Continuar leyendo "Teorema de Bolzano y funciones matemáticas" »

Teoria politikoa: Gizatasuna eta erregimen politikoak

Aristotelesek gizartea ondo antolatzeko kezka zuen. Estagirakoak sistema politiko ezberdinen inguruko azterketa burutu zuen, eta antolaketa politikoari buruz hainbat ikuspuntu utzi zizkigun:

1. Gizakia animalia politikoa da (*Zoon Politikon*)

   Gizakiak aurrera egiteko, bizirauteko alegia, besteekin batera elkarlanean aritu behar du. Superbibentzia eta garapena besteekin egiten den bidea da Aristotelesentzat; kooperazio eta solidaritate printzipioak ezinbestekoak dira gizarte gisa aurrera egiteko.

   Gizarte antolaketaren egitura

   Gizarte antolaketaren egitura natural eta, era berean, sinpleena familia da. Bertan, hainbat balio ikasi eta praktikatzen dira. Ondoren, auzoa dugu: beste familia, pertsona

Características da Sociedade Galega do Século XIX

Sinala 4 características da sociedade galega do século XIX: Galicia no século XIX é un país eminentemente rural, cunha economía precapitalista, case exclusivamente agraria e mariñeira. A propiedade da terra segue a articularse arredor dos foros (situación que non modificará a desamortización) e un réxime de minifundio.

A Emigración como Factor Demográfico

Por que a emigración foi un factor demográfico determinante? Só nos 10 anos que transcorren entre 1885-1895, abandonaron Galicia rumbo a países como Arxentina, Uruguai, Cuba ou Brasil máis de 165.000 persoas. Aínda que houbo quen fixo fortuna, a meirande parte dos emigrantes volvían avellentados e case tan pobres como marcharan.... Continuar leyendo "Sociedade Galega do Século XIX e Rexurdimento: Características e Figuras" »

Sacar Factor Común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces:

• 1. x³ + x² = x² (x + 1)

  Las raíces son: x = 0 y x = -1.

• 2. 2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

  Solo tiene una raíz, x = 0, ya que el polinomio x² + 2 no tiene ningún valor real que lo anule. Esto se debe a que, al estar la x al cuadrado, siempre resultará un número positivo; por lo tanto, es irreducible en los números reales.

• 3. x² - ax - bx + ab = x (x - a) - b (x - a) = (x - a) · (x - b)

  Las raíces son x = a y x = b.

Diferencia de Cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.

a² - b² = (a + b) · (a - b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las... Continuar leyendo "Métodos de Factorización de Polinomios y Cálculo de Raíces" »