Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Problema 1: Estadio Deportivo

El perímetro a vallar medirá: 2y + 2πx/2 = 2y + πx. Para poder expresar el perímetro en función de x, hay que buscar la relación entre x e y. La relación la obtendremos a partir del valor de la superficie del estadio (10000 m²). El estadio está formado por un rectángulo y dos semicírculos:

• Rectángulo de lados x e y → A_R = xy
• Dos semicírculos de radio x/2 → A_SC = (1/2)π(x/2)² = (1/2)π(x²/4) = πx²/8

El área de los dos semicírculos será: 2πx²/8 = πx²/4

Área del estadio: xy + π/4 x², luego 1000 = xy + π/4 x². Despejamos y:

Finalmente: p(x) = 2(10000/x - π/4 x) + πx = 20000/x - π/2 x + πx = 2000/x + π/2x

b) Coste vaya: f(x) = 1.2(10000/x - π/4 x) + 2πx = 20000/x - π/2 x + 2πx = 20000/x... Continuar leyendo "Optimización de Áreas y Costos: Problemas Resueltos" »

Cosinus angle suma: cos(?+?)=cos?·cos?-sin?·sin?

Cosinus angle diferencia: cos(?-?)cos(?+(-?))=cos?·cos(-?) - sin?·sin(-?)=cos?·cos? + sin?·sin?.

Sinus angle suma: sin(?+?) cos(90º-(?+?))=cos((90-?)-?)=cos(90-?)·cos? + sin(90-?)·sin?=sin?·cos?+cos?·sin?

Sinus angle resta: sin(?-?)=sin(?+(-?))=sin?·cos(-?) - cos?·sin(-?)=sin?·cos? - cos?·sin?.

Tangent angle suma: tg(?+?) = [sin?+?]/[(cos(?+?)= [sin?·cos? + cos?·sin?]/[cos?·cos? - sin?·sin?],  dividint num i deno. x: cos?·cos? i simplfcnt= [tg?+tg?]/[1-tg?·tg?]

Tangent angle diferencia: cal subst. angle ?, per: (-?)--> tg(?-?)= tg(?+(-?)=[tg?·tg(-?)]/[1-tg?·tg(-?)]= [tg?-tg?]/[1+tg?·tg?]. Angle Doble: sinus: sin2?=sin(?+?)=sin?·cos? + cos?·sin?=2·sin?·cos?; cosinus:

Ecuaciones Fundamentales en Geometría Vectorial

Ecuación de la Recta

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3)
• Forma Paramétrica:
  • x = a1 + v1λ
  • y = a2 + v2λ
  • z = a3 + v3λ
• Forma Continua: (x-a1)/v1 = (y-a2)/v2 = (z-a3)/v3
  • Nota: Para pasar de la forma paramétrica a la continua, se cambian los signos de las coordenadas del punto (a1, a2, a3).
  • Consideración: En la forma continua, si un numerador no tiene término (ej. x-0), se asume 0. Si un denominador es 0 (ej. /0), la variable correspondiente no varía, y la ecuación se expresa como un sistema de dos planos. Si un denominador no tiene término (ej. /1), se asume 1.

Ecuación del Plano

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3) + ω(u1,u2,u3)
• Forma Implícita (General): Ax+By+Cz+D=

Posición Relativa de Elementos Geométricos

Posición Relativa de Dos Rectas

Caso 1: Rectas dadas por un punto y un vector

Para determinar la posición relativa de dos rectas dadas por un punto y un vector director, se construye la matriz de coeficientes (M) y la matriz ampliada (M*).

• Coincidentes: rango(M) = 1, rango(M*) = 1
• Secantes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
• Paralelas: rango(M) = 1, rango(M*) = 2
• Se cruzan: rango(M) = 2, rango(M*) = 3

Caso 2: Rectas dadas en forma implícita

Si las rectas vienen dadas en forma implícita, se consideran sus matrices (M y M*):

• Coincidentes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
• Secantes: rango(M) = 3, rango(M*) = 3
• Paralelas: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
• Se cruzan: rango(M) = 3, rango(M*) = 4

Posición Relativa de Recta y Plano

Para... Continuar leyendo "Geometría en el Espacio: Posición Relativa, Distancias y Ecuaciones de Rectas y Planos" »

LLAMAMOS Función F DEL CONJUNTO A EN EL CONJUNTO B A
UNA Relación DE DEPENDENCIA EN LA QUE A CADA ELEMENTO
X DE A LE CORRESPONDE UN Único ELEMENTO Y DE B.

LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN F ES LA REPRESENTACIÓN EN

UNOS EJES DE COORDENADAS DE TODOS LOS PARES DE LA FORMA

( X, F( X)), SIENDO X UN ELEMENTO DEL DOMINIO DE F.

UNA Función ES BIYECTIVA SI ES A LA VEZ INYECTIVA Y

SOBREYECTIVA.

UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA (O POR DIFERENCIA)

ES UNA  Sucesión DE Términos DE TAL MANERA QUE,

PARA OBTENER EL SIGUIENTE TERMINO A PARTIR DEL ANTERIOR,

 AUMENTAMOS UN MISMO NUMERO QUE PUEDE

SER POSITIVO O NEGATIVO, AL QUE SE LLAMA DIFERENCIA (D).