Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Ho: Hipo nula

Lo que se acepta como verdadero y es sometido a comprobación experimental, intentando evaluar si la muestra aporta evidencia para rechazarla.

Hi: Hipo alternativa

Hipótesis contraria a la nula.

Región de aceptación

Conjunto complementario de muestras para las cuales el estadístico toma valores con los que se acepta la hipótesis nula.

Región crítica

Conjunto de muestras para las cuales el estadístico toma valores para los que se rechaza la hipótesis nula.

Fases de un contraste de hipótesis:

1. Formular H0 y H1.
2. Determinar el estadístico.
3. Seleccionar el nivel de significación.
4. Determinar función crítica o de rechazo.
5. Calcular el valor del estadístico.
6. Decisión e interpretación.

Función distrib.empiri

Se considera a una población... Continuar leyendo "Contraste de hipótesis y estimadores en estadística" »

1. Operaciones Fundamentales con Vectores: Ortogonalidad, Unitarios y Módulo

a) Determinar el valor de b para que los vectores u(3,b) y v(2,-1) sean ortogonales.

Dos vectores u y v son ortogonales si su producto escalar es cero (u · v = 0).

Dado u = (3,b) y v = (2,-1):

u · v = (3)(2) + (b)(-1) = 0
6 - b = 0
b = 6

b) Calcular un vector unitario en la misma dirección que v.

El vector dado es v = (2,-1).

Primero, calculamos el módulo (magnitud) de v:

|v| = √(2² + (-1)²) = √(4 + 1) = √5

Un vector unitario w en la misma dirección que v se obtiene dividiendo v por su módulo:

w = (1/|v|) · v = (1/√5) · (2,-1) = (2/√5, -1/√5)

Para verificar que es unitario, calculamos su módulo:

|w| = √((2/√5)² + (-1/√5)²) = √((4/5) + (1/5)) = √(... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Geometría Vectorial y Rectas en el Plano" »

Teoría

1. ¿Qué comprende la estadística descriptiva?
2. Dé el concepto de variable aleatoria y clasifique su recorrido y escala.
3. ¿Cuál es la importancia del CV% (coeficiente de variación)?
4. ¿Qué entiende por distribución normal estándar? ¿Qué características presenta?
5. ¿Qué comprende la teoría de la estimación puntual? Dé su significado.
6. ¿Cómo definiría lo que es una hipótesis estadística? ¿Qué es la región crítica y la región de aceptación? ¿Cómo se interpretan los errores de tipo I y tipo II? ¿Qué representan α y β?
7. ¿Qué comprende la teoría de la estimación puntual? Clasifíquelos.
8. Hipótesis estadística: ¿qué es?
   • ¿Qué es la región crítica y la de aceptación?
   • ¿Cómo se interpretan los errores de tipo I y tipo

Conceptos Clave en el Estudio de Funciones

Asíntotas

Las asíntotas son líneas a las cuales la gráfica de una función se acerca indefinidamente sin llegar a cruzarlas (o cruzándolas en un número finito de puntos).

Asíntota Vertical (AV)

• Definición: Una asíntota vertical existe en x = k, donde k es un valor que no pertenece al dominio de la función.
• Cálculo: Se determinan calculando los límites laterales de la función cuando x tiende a k. Si lim (x→k⁻) f(x) = ±∞ o lim (x→k⁺) f(x) = ±∞, entonces x = k es una asíntota vertical.

Asíntota Horizontal (AH)

• Definición: Una asíntota horizontal existe en y = k.
• Cálculo: Se determina calculando los límites de la función cuando x tiende a +∞ y -∞. Si lim (x→+∞) f(x) =

Datos No Agrupados

Cuando el tamaño de la muestra es menor a 30, los datos pueden tratarse individualmente.

Datos Agrupados

Cuando la muestra es grande (n mayor que 30) resulta conveniente organizar los datos en intervalos de clase para construir su distribución de frecuencias.

Denotemos con K al número de intervalos de clase y con C su tamaño; utilizaremos la Regla de Sturges:

K = 1 + 3.322 log(n)

Como K debe ser un número entero, se redondea.

Para determinar el tamaño del intervalo, una vez que conocemos el número de intervalos de clase, se aplica la siguiente relación:

C = Rango/K

Como C debe ser un número entero, se redondea.

Tomemos el dato menor como el límite inferior del primer intervalo (aunque existen otros criterios, este es el más... Continuar leyendo "Análisis de Datos Agrupados y No Agrupados" »

Conceptos Fundamentales de Geometría y Estadística

Este documento presenta una recopilación de definiciones esenciales y propiedades clave en el ámbito de la geometría, abarcando polígonos, triángulos y ángulos, así como nociones básicas de estadística. Es una referencia concisa para estudiantes y entusiastas de las matemáticas.

Polígonos y sus Elementos

• Polígono Regular: Figura geométrica con todos sus lados y ángulos iguales.
• Polígono Irregular: Figura geométrica donde no todos sus lados ni ángulos son iguales.
• Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
• Apotema: Segmento perpendicular que va del centro de un polígono regular al punto medio de uno de sus lados.
• Radio (de un polígono regular): Segmento

Aplicaciones y Ejemplos

Tableta

• I(X) = -0.0015X² + 66
• Escribir el ingreso como función del precio de ventas y luego buscar el máximo de la función pidiendo que I(X) sea 0.
• ¿A qué precio venderlas para obtener el máximo ingreso posible?
• 22.000

Número de Personas

• Red social: r(t) = -2(t-3)² + 23
• 109
• Número de personas en un *shopping*: p(t) = 1920 - 160t. ¿En 5 horas?
• 60 + ∫₅¹⁰ p'(t) dt
• ¿En 6 horas?
• 90 + ∫₅⁹ p'(t) dt

Caída Libre

• Para 2,04 ≤ T ≤ 4,91
• Altura: 81,2 m
• La función derivada de la función g(x) que representa...

Venta de Bebidas

• 114 y 46

Distribución Roma

• ∫₀⁶⁰⁰ [𝑓(𝑞) − 𝑝₀] dq =
• $9000
• g(q) = f(q)

Funciones

• De la función f(x) = (2/3)x³ – 2x² podemos decir que: Tiene un máximo relativo en (0,0) y un mínimo relativo en (2,

1) Ecuaciones de la Recta

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · v1
  y = a2 + t · v2
  z = a3 + t · v3 }

• Continua: (x - a₁) / v₁ = (y - a₂) / v₂ = (z - a₃) / v₃

Intersección de Dos Planos (Forma Implícita de la Recta)

Una recta puede definirse como la intersección de dos planos:

{ A x + B y + C z + D = 0
A' x + B' y + C' z + D' = 0 }

2) Ecuaciones del Plano

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y dos vectores directores no paralelos →u = (u₁, u₂, u₃) y →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (u₁, u₂, u₃) + s · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · u1 + s · v1
  y = a2 + t · u2 + s · v2
  z = a3 + t · u3 + s · v3

Grafikoaren deskribapena

1913tik 1924ra bitartean, Espainian izandako grebalarien kopuruaren bilakaera zehatza aztertzen dugu. Grafiko mota hau lineala, sinplea eta izaera sozioekonomikoa du. Historia liburu batetik aterata dagoenez, publikoa da eta historiazaleei zuzenduta dago. Bigarren mailako iturri historikoa da. Bertikalki grebalarien kopurua agertzen zaigu, hamar milaka; horizontalki, aztertutako urteak.

Datu garrantzitsuenak honakoak dira: gorabeherak izan arren, bi aldi desberdin agertzen dira. Batetik, grebalarien kopurua handitzen doan aldia, eta bestetik, orokorrean beherantz doan etapa. Bi etapetan, segida aldatzen duten gorabeherak agertzen dira. Punturik altuena 1920an gertatzen da, 250.000 grebalari inguru agertzen direlarik;... Continuar leyendo "Greba Mugimendua Espainian (1913-1924): Analisia eta Testuingurua" »

En este documento, exploraremos los determinantes y algunas de sus propiedades fundamentales, las cuales nos serán de gran utilidad para la aplicación de la Regla de Sarrus en la resolución de sistemas de ecuaciones.

Matrices: Definición y Elementos

Una matriz es un arreglo rectangular de números o expresiones, organizados en filas y columnas, y encerrados entre paréntesis o corchetes.

Ejemplo de Matriz A:

A = [[0, -2],
     [1, -3]]

Elementos de una Matriz

Los números individuales que forman parte de la matriz se denominan elementos de la matriz. En el ejemplo de la matriz A, los elementos son 0, -2, 1 y -3.

Diagonales de una Matriz

Las líneas que conectan ciertos elementos de una matriz cuadrada se conocen como diagonales. Estas pueden... Continuar leyendo "Matrices y Determinantes: Conceptos Esenciales y Aplicación de la Regla de Sarrus" »