Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Optimización y Cálculo Multivariable: Conceptos Fundamentales

1. Optimización con Restricciones: Método de Lagrange

La función objetivo se define como P(x,y) = (x-y)².

Sujeto a la restricción: x² - y³ = 0.

1.1. Puntos Estacionarios y Multiplicadores de Lagrange

Para encontrar los puntos estacionarios, se construye la función Lagrangiana L(x,y,λ). Si hay múltiples restricciones, se añaden tantos multiplicadores λ como restricciones existan. En este caso, L(x,y,λ) = (x-y)² + λ(-x² + y³).

Se calculan las derivadas parciales de L con respecto a x, y, y λ, y se igualan a cero. Los puntos obtenidos se sustituyen para encontrar los valores de λ. El multiplicador asociado es λ.

1.2. Clasificación de Puntos Estacionarios: Matriz Hessiana

Para... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Optimización y Cálculo Multivariable" »

O final do franquismo

Este período estivo caracterizado pola xeneralización da oposición ao réxime a toda a sociedade vasca. O réxime, en lugar de intentar dialogar e reconducir o final do mesmo, elixiu a represión, desencadeando así unha espiral de violencia.

Como nos anos anteriores, os obreiros e a Igrexa vasca foron os dous movementos sociais que máis loitaron contra o réxime.

Coa crise económica, o movemento radicalizouse, aínda que o maior cambio veu desde o sector político. O PCE, o PSOE e o PNV intentaron unir e dirixir á oposición. A súa labor notouse na transición á democracia, xa que o protagonismo da oposición ao franquismo levouno ETA.

Os principais acontecementos:

Un dos feitos máis destacados desta etapa final do... Continuar leyendo "O final do franquismo e a transición democrática" »

**Análisis de Regresión Múltiple**

**Introducción**

El análisis de regresión múltiple es una técnica estadística que se utiliza para modelar una variable de respuesta única (Y) en función de múltiples variables predictoras (X₁, X₂, ..., X_n). Para cada uno de los n casos observados, se recopilan los valores de la respuesta y de cada uno de los predictores.

**Hipótesis**

Las hipótesis del análisis de regresión múltiple son similares a las del modelo de regresión simple:

• Los errores no están correlacionados.
• Los errores se distribuyen normalmente con media 0 y varianza constante.

**Objetivos**

El análisis de regresión múltiple se utiliza para:

• Obtener estadísticas descriptivas generales, incluidas las correlaciones entre predictores

Contar y calcular

Contar es el proceso seguido para asignar a cada elemento de un conjunto finito su número ordinal. Es establecer una relación entre elementos de una colección y palabras-números.

Calcular es establecer una relación directa entre cantidades de unidades de un conjunto, que nos son dadas por su cardinal, sin pasar por la construcción de colecciones, cuyos elementos se cuentan.

Leyes de composición interna

Una ley de composición interna es una norma o una regla que nos dice la manera de hacer corresponder a dos elementos de un conjunto otro elemento del mismo conjunto.

Adición de números naturales

La adición de números naturales es una ley de composición interna. Esto quiere decir que la suma de dos números naturales es... Continuar leyendo "Operaciones básicas con números naturales: suma y resta" »

Rectas

RECTES: ECUACIONES

• Recta vectorial: (x,y)=(p1,p2)+t·(v1, v2)
• Recta paramétrica: x=p1+t.v1 y=p2+tv2
• Recta continua: x-p1/v1=y-p2/v2
• Recta general: Ax+By+C=0
• Recta explícita: y=mx+n
• Recta punto-pendiente: y-p2=m(x-p1)

Saber qué tipo son dos rectas

• Coincidentes -> A/A'=B/B'=C/C'
• Paralelas -> A/A'=B/B' diferente de C/C'
• Secantes -> A/A' diferente de B/B' (pueden ser perpendiculares o puntos de intersección)

Perpendicular

Hacemos multiplicación de los vectores de r y s, si da 0, es perpendicular, sino son puntos de intersección

Puntos de intersección

Resolvemos las dos ecuaciones y sacamos (x, y)

Construir recta paralela

Pasarla siempre a general y necesitamos un punto

Construir recta perpendicular

Ax+By+C=0 -> -Bx+Ay+D=0

Vectores

VECTORS:

Examen 2:

1) Elección de Opciones

Nos dan a1 y a2 con sus q y nada de % pero misma probabilidad. ¿Cuál opción es mejor?

Respuesta: Hacemos matriz y luego E(a1) y E(a2) y elegimos en función de gastos o beneficios la mejor = RER.

2) Actuario y Probabilidad Condicional

Hay un actuario que cobra 50$ y si hay probabilidad condicional es INF IMPERF. ¿Pagaría o qué haría?

P(x1/q1) -> P(x2/q1) y abajo igual; hacemos la tabla con x1 y x2; qilP(xi/qi)lP(qi)*(Pxi/qi)lP(qi/xi.

Hacemos E(a1/x1) y multiplicamos por los 2 de la última fila y abajo (a2/x1) y luego optamos en función de beneficios o no; después lo mismo con x2; hacemos REII = P(X1)(suma de la fila de la tabla) * opt + (x2)(suma) * opt x2; hacemos VEll = REll - RER; se plantea aplicar... Continuar leyendo "Estrategias de Decisión en Situaciones de Riesgo y Probabilidad" »

La Inversión Geométrica: Definición y Fundamentos

La inversión es una transformación geométrica en la que a una figura corresponde otra, y en la que se cumplen las siguientes propiedades fundamentales:

• Dos puntos inversos ($A$ y $A’$) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión ($O$).
• El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante ($K$), denominada Potencia de Inversión.

Matemáticamente, esto se expresa como:

$$OA \cdot OA’ = OB \cdot OB’ = OT \cdot OT’ = K$$

Características Clave de la Inversión

La inversión posee propiedades distintivas que definen su comportamiento en el plano:

1. Dos pares de puntos inversos no alineados forman

Fundamentos de Combinatoria, Sucesiones y Recurrencias

Fórmulas Esenciales de Conteo (Combinatoria)

La combinatoria estudia las formas de contar colecciones de objetos. A continuación, se presentan las fórmulas fundamentales:

Permutaciones

• Permutación de orden n (sin repetición): El número de ordenamientos de n elementos distintos.

  Pn = n!

• Permutación con elementos indistinguibles (distintas): El número de ordenamientos que pueden formarse a partir de una colección de n objetos donde el objeto 1 aparece $k_1$ veces, el objeto 2 aparece $k_2$ veces, y así sucesivamente.

  n! / (k1! · k2! · ...)

• Permutación simple de r elementos tomados de n: Una secuencia (lista ordenada) formada por r elementos distintos seleccionados de un conjunto $