Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales

Espacio Vectorial

Sea E un conjunto y K un cuerpo. Se dice que E es un espacio vectorial sobre K si hay definidas dos operaciones:

• Suma de vectores (operación interna): +: E × E → E, tal que (e, e') ↦ e + e'.
• Producto de un vector por un escalar (operación externa): ·: K × E → E, tal que (h, e) ↦ h · e (o simplemente he).

Estas operaciones deben cumplir las siguientes propiedades:

Propiedades de la Suma de Vectores:

• Asociativa: e + (e' + e'') = (e + e') + e'' para todo e, e', e'' ∈ E.
• Conmutativa: e + e' = e' + e para todo e, e' ∈ E.
• Elemento Neutro: Existe un único vector nulo 0_E ∈ E tal que e + 0_E = 0_E + e = e para todo e ∈ E.
• Elemento Simétrico (Opuesto): Para

Problema 1: Probabilidad en un Instituto

El 45% de los alumnos de un instituto son mujeres. El 24% de los varones repite curso y el 30% de las mujeres también. Calcular la probabilidad de que, al elegir un estudiante al azar:

a) Sea varón y repetidor

Tabla de datos:

P(V ∩ R) = P(R ∩ V) = 13.2 / 100 = 0.132

P(V ∩ R) / P(V) = 13.2 / 55 = 0.24

b) Sea mujer y no repita curso

P(M ∩ ¬R) = 31.5 / 100 = 0.315

c) Sea mujer, sabiendo que es repetidor

P(M | R) = P(M ∩ R) / P(R) = (13.5 / 100) / (26.7 / 100) = 13.5 / 26.7 ≈ 0.5056

Problema 2: Distribución Normal

El peso de los individuos de una cierta especie es una variable aleatoria normal con media 50 Kg y desviación típica

Darwinen Teoriaren Oinarriak

• Izaki bizidun guztiek antzeko jatorria dute.
• Espezieen eboluzioa: etengabe agertzen, aldatzen eta desagertzen ari dira.
• Gradualismoa: espezieen aldaketak pixkanaka ematen dira.
• Hautespen naturala: Espezie bakoitzak bere bereizgarritasun genetikoak ditu.

Hominizazioa: Gizakiaren Eboluzioa

Hominizazioak gizakiaren eboluzioa esplikatzen du, froga zientifikoak erabiliz. Orain dela 7 milioi urte, gizakiak eta tximpantzeak arbaso berdinak partekatu genituen. Horrek ez du esan nahi gizakia tximinotik datorrenik, baizik eta gizakiak eta tximpantzeek arbaso berdinak partekatzen genituela.

Prozesu hau oso luzea izan da. Orain dela 4 milioi urte, tximpantzeetatik bereiztu eta lehen gizakiak sortu ziren. Gure garapen ebolutiboan,... Continuar leyendo "Gizakiaren Eboluzioa eta Kultura: Darwinetik Barandiaranera" »

4. 1855eko BURDINBIDE LEGE OROKORRA (1855-06-06)
1. TESTUAREN AURKEZPENA ETA SAILKAPENA
Aurrean dugun testua Burdinbideen Lege Orokorraren zati bat da. Testu historikoa eta izaera
juridikokoa Da, ekonomia arloko lege bat baita.Isabel II.Ren garaian egina liberal Aurrerakoiak boterean zeudelarik, Biurteko Progresistan
deritzan etapan. Lege bat denez, egilea parlamentua da, Francisco Luxanek, Sustapen
Ministroak bideratua eta erreginak berretsita. Testuaren helburua argia da: gobernuak

Álgebra

El álgebra es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

Coeficiente

3a=Se suma 3 veces "a"

cde="C" es coeficiente de "de"

A=El coeficiente de "a" sola es 1= 1a

Signos de Agrupación

Los signos de agrupación más usados son los siguientes: el paréntesis (), corchete [], y las llaves {}, en... Continuar leyendo "Álgebra: conceptos, términos y fórmulas" »

Álgebra Lineal

1. Base y Ecuaciones Paramétricas del Subespacio

Objetivo: Facilitar una base y dar las ecuaciones paramétricas del subespacio. El problema proporciona un sistema de ecuaciones con x, y y z.

Solución: Igualamos a 0 cada ecuación. Si una variable no aparece, se considera un parámetro. Calculamos la dimensión y de ahí se obtiene el número de bases. Después, se dan valores y se resuelve el sistema de ecuaciones.

2. Variable Lineal en R⁴

Objetivo: Considerando la variable lineal en R⁴ y los vectores (1, 0, 1, 0) y (-1, 2, -k, 0):

• a) Estudiar la dimensión generada según el valor del parámetro k.
• b) Facilitar las ecuaciones cartesianas en caso de que k = 0.

Solución:

• a) Colocamos los datos en columnas y mediante el cálculo del

Gaurko gizakiaren aurreko hominidoak

Jarraian, gaurko gizakiaren aurretik izan diren hominidoak deskribatzen dira, baita Homo sapiens neanderthalensis eta Homo sapiens sapiens ere.

Hominido nagusiak

• Australopitekoak

  Oihanean bizi ziren, duela hiru milioi urtetik milioi bat urtera bitartean. 500 cm³-ko garezur-edukiera zuten eta hankabikoak ziren.

• Homo habilis

  Australopitekoaren garai berekoa zen, baina Homo habilis-ek kopeta zabalagoa zuen, 700 cm³-ko garezur-edukiera, eta bizimodu desberdina: eremu zabaletan bizitzen hasi zen, familiatan antolatuta, eta txabolak nahiz tresnak egiten zituen.

• Homo erectus

  Duela milioi bat eta erdi urtetik 300.000 urtera bitartean bizi izan zen. Hankabikoak izateaz gain, zutik ibiltzen zen, 900 cm³-tik 1.200 cm³-ra bitarteko

Fundamentos de la Investigación Científica

Pasos Esenciales del Método Científico

1. Definición del Problema: Se establece la variable independiente y la variable dependiente.
2. Formulación de la Hipótesis: Es un resultado anticipado.
3. Recogida de Datos: Se busca maximizar la validez interna y la validez externa.
4. Interpretación de los Resultados: El investigador debe aportar pruebas para la aceptación o rechazo de la hipótesis de trabajo. Se aplica el razonamiento inductivo.

Características Clave de la Investigación Científica

1. Sistemática: Los datos deben relacionar las variables, permitiendo evaluar el problema y la hipótesis.
2. Lógica: El estudio debe permitir evaluar las conclusiones formadas.
3. Empírica: El investigador recoge los datos sobre

Este documento presenta la evaluación de dos proyectos de inversión utilizando el criterio de la Tasa Interna de Retorno (TIR).

Planteamiento del Problema

Una empresa considera ampliar su gama de productos y dispone de dos proyectos de inversión diferentes:

• Proyecto A: Desembolso inicial de 170.000€ que generará un único ingreso de 210.000€ al cabo de 5 años.
• Proyecto B: Desembolso inicial de 140.000€ que generará ingresos de 70.000€ al finalizar el primer año y 80.000€ al finalizar el segundo año.

Se debe determinar qué proyecto de inversión elegiría la empresa según el criterio de selección de la TIR (Tasa Interna de Retorno), realizando las operaciones con al menos 4 decimales.

Flujos de Caja de los Proyectos

Para visualizar... Continuar leyendo "Evaluación de Proyectos de Inversión: Cálculo y Comparación con la TIR" »