Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Context: elaboració d'una recepta (xatonada)

Si volem adaptar els ingredients d'una recepta per a 12 persones, podem utilitzar la multiplicació. Per exemple, si la recepta original és per a 4 persones i inclou 30 ametlles, per a 12 persones necessitarem 30 x 3 = 90 ametlles. El mateix procediment es pot aplicar a la resta d'ingredients.

En aquest cas, l'infant demostra que entén la idea de sumar tres vegades o multiplicar per arribar a la quantitat necessària per a 12 persones. No obstant això, comet un error en el cas de l'all, on la recepta original indica ½ gra d'all per a 4 persones. L'infant interpreta que cal ½ gra d'all per persona, en comptes de ½ gra d'all per cada grup de 4 persones.

Aquest error es deu al fet que l'infant no... Continuar leyendo "Anàlisi de l'aprenentatge de fraccions en un infant" »

Problema 4. Probabilidades (periódico y café)

En una sala hay 20 personas. 14 de ellas leen el periódico, 10 toman café y 8 hacen ambas cosas. Seleccionamos al azar una de estas personas. Calcular las siguientes probabilidades.

• a) Tome el café y no lea el periódico.
• b) Lea el periódico pero no tome café.
• c) Tome café, sabiendo que lee el periódico.

Datos y probabilidades básicas

• Población total: 20 personas.
• Lectores (L): 14 → P(L) = 14/20 = 0.70.
• Tomadores de café (C): 10 → P(C) = 10/20 = 0.50.
• Ambos (L ∩ C): 8 → P(L ∩ C) = 8/20 = 0.40.

Resolución

Enseñanza de Números y Suma en Educación Primaria

Uso de Bloques Multibase para Enseñar Números (2º Primaria)

Segundo de primaria es una etapa donde los niños aprenden los números de dos cifras (10, 11, 12...). Los bloques multibase son una herramienta muy útil para que los niños visualicen y comprendan los números con mayor facilidad. Con estos bloques, disponemos de bloques compactos que representan decenas (bloques largos) y bloques individuales que representan unidades.

Es fundamental enseñarles que los bloques largos representan 10 bloques individuales, para que asimilen esta representación simbólica.

Para contar entre el 20 y el 30, partiremos de la base: 2 bloques largos equivalen a 20 unidades individuales, representando el

Problema 1: Estadio Deportivo

El perímetro a vallar medirá: 2y + 2πx/2 = 2y + πx. Para poder expresar el perímetro en función de x, hay que buscar la relación entre x e y. La relación la obtendremos a partir del valor de la superficie del estadio (10000 m²). El estadio está formado por un rectángulo y dos semicírculos:

• Rectángulo de lados x e y → A_R = xy
• Dos semicírculos de radio x/2 → A_SC = (1/2)π(x/2)² = (1/2)π(x²/4) = πx²/8

El área de los dos semicírculos será: 2πx²/8 = πx²/4

Área del estadio: xy + π/4 x², luego 1000 = xy + π/4 x². Despejamos y:

Finalmente: p(x) = 2(10000/x - π/4 x) + πx = 20000/x - π/2 x + πx = 2000/x + π/2x

b) Coste vaya: f(x) = 1.2(10000/x - π/4 x) + 2πx = 20000/x - π/2 x + 2πx = 20000/x... Continuar leyendo "Optimización de Áreas y Costos: Problemas Resueltos" »

Cosinus angle suma: cos(?+?)=cos?·cos?-sin?·sin?

Cosinus angle diferencia: cos(?-?)cos(?+(-?))=cos?·cos(-?) - sin?·sin(-?)=cos?·cos? + sin?·sin?.

Sinus angle suma: sin(?+?) cos(90º-(?+?))=cos((90-?)-?)=cos(90-?)·cos? + sin(90-?)·sin?=sin?·cos?+cos?·sin?

Sinus angle resta: sin(?-?)=sin(?+(-?))=sin?·cos(-?) - cos?·sin(-?)=sin?·cos? - cos?·sin?.

Tangent angle suma: tg(?+?) = [sin?+?]/[(cos(?+?)= [sin?·cos? + cos?·sin?]/[cos?·cos? - sin?·sin?],  dividint num i deno. x: cos?·cos? i simplfcnt= [tg?+tg?]/[1-tg?·tg?]

Tangent angle diferencia: cal subst. angle ?, per: (-?)--> tg(?-?)= tg(?+(-?)=[tg?·tg(-?)]/[1-tg?·tg(-?)]= [tg?-tg?]/[1+tg?·tg?]. Angle Doble: sinus: sin2?=sin(?+?)=sin?·cos? + cos?·sin?=2·sin?·cos?; cosinus:

Integrales Fundamentales

• ∫ k dx = kx + c

• ∫ (1/x) dx = ln|x| + c

• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c (para n ≠ -1)

• ∫ e^x dx = e^x + c

• ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + c (para a > 0 y a ≠ 1)

• ∫ sen(x) dx = -cos(x) + c

• ∫ cos(x) dx = sen(x) + c

• ∫ sec²(x) dx = tan(x) + c

• ∫ csc²(x) dx = -cot(x) + c

• ∫ tan(x) sec(x) dx = sec(x) + c

• ∫ cot(x) csc(x) dx = -csc(x) + c

• ∫ (1/√(1-x²)) dx = arcsen(x) + c

• ∫ (1/(1+x²)) dx = arctan(x) + c

• ∫ (1/(|x|√(x²-1))) dx = arcsec(x) + c

Identidades Trigonométricas Esenciales

• sen²(x) + cos²(x) = 1

• 1 + tan²(x) = sec²(x)

• 1 + cot²(x) = csc²(x)

• tan(x) = sen(x) / cos(x)

• csc(x) = 1 / sen(x)

• sec(x) = 1 / cos(x)

• cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sen(x)

• sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)

• cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

• sen(a - b)

Ecuaciones Fundamentales en Geometría Vectorial

Ecuación de la Recta

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3)
• Forma Paramétrica:
  • x = a1 + v1λ
  • y = a2 + v2λ
  • z = a3 + v3λ
• Forma Continua: (x-a1)/v1 = (y-a2)/v2 = (z-a3)/v3
  • Nota: Para pasar de la forma paramétrica a la continua, se cambian los signos de las coordenadas del punto (a1, a2, a3).
  • Consideración: En la forma continua, si un numerador no tiene término (ej. x-0), se asume 0. Si un denominador es 0 (ej. /0), la variable correspondiente no varía, y la ecuación se expresa como un sistema de dos planos. Si un denominador no tiene término (ej. /1), se asume 1.

Ecuación del Plano

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3) + ω(u1,u2,u3)
• Forma Implícita (General): Ax+By+Cz+D=

Posición Relativa de Elementos Geométricos

Posición Relativa de Dos Rectas

Caso 1: Rectas dadas por un punto y un vector

Para determinar la posición relativa de dos rectas dadas por un punto y un vector director, se construye la matriz de coeficientes (M) y la matriz ampliada (M*).

• Coincidentes: rango(M) = 1, rango(M*) = 1
• Secantes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
• Paralelas: rango(M) = 1, rango(M*) = 2
• Se cruzan: rango(M) = 2, rango(M*) = 3

Caso 2: Rectas dadas en forma implícita

Si las rectas vienen dadas en forma implícita, se consideran sus matrices (M y M*):

• Coincidentes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
• Secantes: rango(M) = 3, rango(M*) = 3
• Paralelas: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
• Se cruzan: rango(M) = 3, rango(M*) = 4

Posición Relativa de Recta y Plano

Para... Continuar leyendo "Geometría en el Espacio: Posición Relativa, Distancias y Ecuaciones de Rectas y Planos" »

1. Identificación de una Hipótesis Científica

¿Cuál de los siguientes enunciados consideras que es una hipótesis científica? Justifica tu respuesta.

• El arcoíris es un fenómeno relacionado con el comportamiento de la luz.
• La lluvia es un fenómeno relacionado con el medio ambiente.
• Albert Einstein es el físico matemático más grande que ha existido.

Justificación Detallada

La afirmación "El arcoíris es un fenómeno relacionado con el comportamiento de la luz" es la única que califica como una hipótesis científica. Esto se debe a que es una proposición verificable y falseable. Sabemos que la luz solar se refracta y refleja en las gotas de agua, dando como resultado el arcoíris. Este fenómeno puede ser observado, medido y explicado... Continuar leyendo "Fundamentos de Medición y Razonamiento Científico" »