Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Definiciones Clave en Probabilidad

• Experiencia aleatoria:

  Es aquella cuyo resultado depende del azar.

• Suceso aleatorio:

  Es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar.

• Espacio Muestral (E):

  Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

• Suceso:

  Cualquier subconjunto de E. Pueden ser sucesos elementales o individuales. También son sucesos el suceso vacío y el propio E (suceso seguro).

Operaciones con Sucesos

• Unión (A ∪ B):

  Suceso formado por los elementos de A y B. Se verifica cuando ocurre al menos uno de los dos.

• Intersección (A ∩ B):

  Suceso formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B.

• Diferencia (A - B):

  Suceso formado por todos los elementos

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Bolzano

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. Si el signo de f(a) es distinto del signo de f(b) (es decir, f(a) · f(b) < 0), entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

Aplicación (Tabla de valores): Se puede construir una tabla de valores para f(x) en el intervalo [a, b] para encontrar subintervalos donde la función cambia de signo, asegurando la existencia de una raíz.

Consecuencia del Teorema de Bolzano (Intersección de funciones)

Si tenemos dos funciones f(x) y g(x), ambas continuas en [a, b], y definimos una nueva función h(x) = f(x) - g(x) (que también será continua en [a, b]), podemos aplicar el Teorema de... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Cálculo y Geometría Analítica: Teoremas, Derivadas y Posiciones Relativas" »

Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial e Integral

Derivadas

La derivada de una función f(x) en un punto x=a, que se denota o se escribe como f'(a), se define como:

f'(a) = lim_x→a (f(x) - f(a)) / (x - a)

Función Derivada

Dada una función f(x) definida en ℝ, su función derivada se denota como f'(x) y se define como:

f'(x) = lim_h→0 (f(x+h) - f(x)) / h

Esto es válido para todo x ∈ Dom(f(x)) en el que el límite anterior existe.

Integrales

Función Primitiva

Se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) que cumple que F'(x) = f(x). Si F(x) es una función primitiva de f(x), cualquier otra función primitiva de f(x) es de la forma F(x) + K, donde K ∈ ℝ es una constante.

Integral Indefinida de una Función

La integral indefinida... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Cálculo y Funciones Matemáticas" »

Operaciones Fundamentales con Vectores en $\text{E}^3$

Producto Vectorial

Dados los vectores $\mathbf{u}=(u_1, u_2, u_3)$ y $\mathbf{v}=(v_1, v_2, v_3)$ en $\text{E}^3$, y considerando $\mathcal{B} = \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$ como una **base ortonormal** de $\text{E}^3$. Se designa el **producto vectorial** (o producto cruz) $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ como el vector:

$$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3 - v_2u_3, -(u_1v_3 - v_1u_3), u_1v_2 - v_1u_2)$$

respecto a la base $\mathcal{B}$.

Propiedades del Producto Vectorial

1. $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})$ (Anticonmutatividad)
2. $(\lambda \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (\lambda \mathbf{v}) = \lambda (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$
3. $\

Funciones Matemáticas Esenciales: Conceptos y Aplicaciones

Este documento resume los conceptos clave y métodos de cálculo para diversas funciones matemáticas, límites y derivadas, fundamentales en el estudio del cálculo.

Tipos de Funciones y su Cálculo

• Función Raíz

  Para calcular una función raíz, se utiliza una tabla de valores.

• Función Valor Absoluto

  Se calcula el vértice utilizando la fórmula -b/2a. Luego, se calcula f(x0) para obtener la coordenada y, lo que proporciona las dos coordenadas del vértice. Posteriormente, se elabora una tabla de valores.

• Función Cuadrática

  Primero, se calcula el vértice. Luego, se construye una tabla de valores con dos valores a cada lado del vértice y a la misma distancia de este.

• Función Parte Entera

  Define

Conceptos Fundamentales de la Probabilidad

Aleatoriedad: Imposibilidad de predecir.

Existe una forma de describir el comportamiento de la población en estudio gracias a la Distribución de Probabilidades, que distribuye probabilidades entre los valores y describe el comportamiento esperado de la variable.

La Variable Aleatoria cuantifica los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Experimento Aleatorio

Cualquier ensayo o prueba que pueda repetirse un gran número de veces en condiciones homogéneas, presentando en cada prueba un resultado bien definido imposible de predecir, se denomina: Experimento Aleatorio.

Se enfatiza el término experimento aleatorio y no simplemente experimento, para destacar que interviene el azar. En un experimento... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Probabilidad: Variables Aleatorias y Modelos de Distribución" »

Introducción a las Fracciones

Un principio fundamental: Mientras menor sea el denominador, mayor será la fracción.

Definición de Fracción

Una fracción representa las partes que se toman de un todo y se expresa de la forma a/b; donde 'a' pertenece a los números enteros y 'b' a los enteros no nulos (Z*).

Clasificación de Fracciones

• Unidad: El numerador es igual al denominador (a/a = 1).
• Propias: El numerador es menor que el denominador (a < b).
• Impropias: El numerador es mayor que el denominador (a > b).
• Nulas: El numerador es cero (a = 0).
• Decimales: El denominador es una potencia de 10 (ej. a/10, a/100).

Conversión de Fracciones

De Fracciones Mixtas a Impropias

Para convertir una fracción mixta a impropia, se multiplica la parte entera... Continuar leyendo "Fundamentos de Fracciones y Números Racionales: Conceptos y Operaciones Esenciales" »

Principals regles de derivació de funcions

• Derivada d'una funció polinòmica: la derivada de x és 1 i la derivada d'una constant és 0.
• Derivada de la potència d'una funció: és igual a l'exponent per la base elevada a una unitat menys i per la derivada de la base.
• Derivada de l'arrel quadrada d'una funció: és igual a 1 partit pel doble de l'arrel i per la derivada de l'interior de l'arrel.
• Derivada del logaritme neperià d'una funció: és igual a 1 partit per l'argument que acompanya el logaritme neperià i per la seva derivada.
• Derivada d'una funció exponencial: és igual a la mateixa funció pel logaritme neperià de la base i per la derivada de l'exponent (on ln(e) = 1).
• Derivada del sinus d'una funció: és igual al cosinus de la funció

Cateto e Hipotenusa

El cateto es uno de los lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, siendo el lado de mayor longitud.

(El texto original describe una construcción para la hipotenusa: "desde el extremo de un cateto (a), se traza un arco hasta el otro cateto (b). Desde el punto donde 'a' termina y 'b' empieza, se sube hasta cortar, obteniendo la hipotenusa.")

Altura de un Triángulo

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice hasta el lado opuesto o su prolongación.

(El texto original menciona: "A seguido de B e igual, pero siempre es triángulo rectángulo", lo cual es una descripción confusa y no universal para la altura).

Proporción