Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Estudio de Funciones: Pasos Esenciales

1. Dominio

   Determinar el conjunto de valores para los cuales la función está definida.

2. Puntos de corte con los ejes

   • Eje OY (Ordenadas): Calcular f(0). El punto de corte es (0, f(0)), si 0 pertenece al dominio.
   • Eje OX (Abscisas): Resolver la ecuación f(x) = 0. Las soluciones son las abscisas de los puntos de corte (x, 0).

3. Regiones (Signo de la función)

   Estudiar el signo de f(x) en los intervalos definidos por los puntos de corte con el eje OX y los puntos fuera del dominio.

4. Simetrías

   • Función Par (Simetría respecto al eje OY): Si f(x) = f(-x) para todo x en el dominio.
   • Función Impar (Simetría respecto al origen): Si f(-x) = -f(x) para todo x en el dominio.

5. Periodicidad

   Una función es periódica, de período T

Conceptos Clave de Matemáticas

Operaciones Matemáticas

• Cuadrado de una suma:
• Cuadrado de una diferencia:
• Suma por diferencia:
• Decimal exacto: cuando el número de cifras decimales es infinito.
• Números: Naturales (N); Enteros (Z) (-2, -1, 0, +1, +2); Racionales (Q): {?; ¾, etc. además de los N y Z}; Irracionales (R) {? y los anteriores}.
• Error absoluto: E = N - n;
• Error relativo:

Logaritmos

• Logaritmo: En base positiva y distinta de uno, de número x, a otro número y que es el exponente al que hay que elevar la base (a) para reproducir el número dado x; se escribe:
• Logaritmo de un producto:
• Logaritmo de un cociente:
• Logaritmo de una potencia:
• Logaritmo de una raíz:

Porcentajes

• Para aumentar: C + 0,08 x C = (1 + 0,08) x C = 1,08 x C
• Para disminuir: C -

Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial e Integral

Funciones y sus Propiedades

1. 1. ¿Cuál de las siguientes gráficas no es una función?

   D)

2. 2. El dominio de la función f expresada por la siguiente gráfica es:

   

   A)

3. 3. El dominio de la función es:

   B)

4. 4. El rango o imagen de la función representada por la siguiente gráfica es:

   

   A)

5. 5. El rango o imagen de la función es:

   C)

6. 6. Dadas las funciones , la composición de funciones es:

   D)

7. 7. Dadas las funciones , el dominio de la composición de funciones es:

   D)

8. 8. Si , la función inversa es:

   B)

9. 9. La gráfica que representa es:

   A)

Límites y Continuidad

10. 10. Al determinar el límite se obtiene:

    B)

11. 11. Al calcular el límite se obtiene:

    D)

12. 12. Al calcular el límite se obtiene:

    C) 8

13. 13. Al calcular

Conceptos Clave de Cálculo

Asíntotas

• Asíntota Horizontal (AH): Se define como y = nº, donde nº es el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito.
• Asíntota Vertical (AV): Se define como x = nº, donde nº es un valor que no pertenece al dominio de la función y el límite de la función cuando x tiende a ese valor es infinito.
• Asíntotas Oblicuas (AO): Si existe una asíntota horizontal, no puede haber una asíntota oblicua. Para calcularla:
  • m es igual al límite de la función dividida por x cuando x tiende a infinito.
  • n es igual al límite de la función menos mx cuando x tiende a infinito.

Continuidad

Una función es continua en un punto a si el límite de la función cuando x tiende a a por la derecha (a+) es igual al límite... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Cálculo: Asíntotas, Continuidad, Derivabilidad y Optimización" »

Bigarren Industria Iraultza: Garapena eta Eragina

Bigarren Industria Iraultza, 1870etik 1914ra bitartean, aurrekaririk gabeko garapena izan zuen industriaren eta finantzen sektoreetan. Bigarren Industria Iraultzan izandako arrakastaren arrazoietako bat oinarrizko garapen zientifikoa izan zen. Matematika, fisika eta antzeko arloetan garapen handiak izan ziren.

Energia-iturri Berriak

Elektrizitatea eta petrolioa finkatu ziren energia-iturri gisa, eta ikatzarekin eta lurrun-makinarekin lehiatu ziren. Grammek dinamoa asmatu zuen 1872an, Edisonek bonbilla asmatu zuen, eta Bellek telefonoa asmatu zuen. Industriaren sektorean petrolioa ezartzea ere mantso gertatu zen, autoaren garapenari lotuta.

Puntako Sektore Berriak

Siderurgia eta metalurgia garatu... Continuar leyendo "Bigarren Industria Iraultza: Garapena eta Eragina (1870-1914)" »

Condiciones de Optimización en Cálculo Multivariable

Condición Suficiente de Optimalidad (Criterio de la Segunda Derivada)

Si para una función escalar f, se cumple que:

• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida positiva, entonces f tiene un mínimo local en a.
• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida negativa, entonces f tiene un máximo local en a.

Optimización Convexa

Una función f es convexa en un conjunto A si para cualquier x, y en A y cualquier λ en [0, 1], se cumple:

f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)

Teoría Local-Global

Sea A un conjunto convexo y f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ una función escalar. Se verifica que:

• Si f es cóncava, entonces todo

Divisió de Polinomis

Es posa en forma de divisió de tota la vida. Es busca un número que multiplicat pel primer que divideix doni el primer número de l'esquerra. Aquest número que trobem el multipliquem pels altres dos números que divideixen i els anem apuntant. Fem la resta dels números que hem obtingut amb els del principi. Anem repetint afegint números fins arribar a grau 2.

Ruffini

Dividir pel número que et donen canviant de signe (el de fora de la caixa). Es baixa el primer número i es multiplica pel de fora de la caixa i es fica el resultat a la dreta. Se suma el que hem posat amb el de dalt i anotem el resultat a baix, i així amb tots.

Arrel d'un Polinomi

Passar d'un polinomi fins a grau 1. Diverses solucions. Primer s'iguala a... Continuar leyendo "Divisió de Polinomis, Ruffini i Factorització: Guia Completa" »

Conceptos Fundamentales de Álgebra

Sistemas de Ecuaciones con Dos Incógnitas

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede representar rectas que se comportan de las siguientes maneras:

• Se cortan en un punto.
• Son coincidentes (misma pendiente y ordenada en el origen).
• Son paralelas (misma pendiente, diferente ordenada en el origen).

Por lo tanto, el conjunto solución puede tener:

• Un solo punto (sistema compatible determinado).
• Infinitos puntos (sistema compatible indeterminado).
• Ningún punto (sistema incompatible).

En resumen, los sistemas se clasifican en:

• Compatibles
  • Determinados (un punto de intersección, perpendiculares).
  • Indeterminados (infinitos puntos).
• Incompatibles (paralelas, sin punto de solución).

Cuadrado y Cubo de Binomios

• Cuadrado

Teorema del Resto: El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Logaritmos:

Producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

LOGa2+LOGa7=LOGa(2x7)=LOGa14

Cociente: Es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

LOGa75-LOGa25=LOGa75/25=LOGa3

Potencia: Es igual al prodcuto del exponente por el logaritmo de la base.

LOGa2^5=5xLOGa2

Interés Simple:          Interés Compuesto:

Ci:Ci*r*t/100      Cf=Ci*(1+r)^t

Periodo de Capitalización:  [Dif del año]
Cf= Ci*(1+r)^t        [Cf=Ci*(1+r/k)^k*t]

Anualidades de capitalización(pens/aorrovi):    C=a*[(1+r)^t+1  

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Representación de Vectores y Rectas

Vector de dos coordenadas: $(1, -1)$ y $(2, -2)$.

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial: $(x, y) = (p_1, p_2) + t(d_1, d_2)$
• Ecuación Paramétrica:
  • $x = p_1 + t(d_1)$
  • $y = p_2 + t(d_2)$

Formas de la Ecuación de la Recta

• Ecuación General (Implícita): $Ax + By + C = 0 \rightarrow$ Vector director $\vec{d} = (-B, A)$
• Ecuación Explícita: $y = mx + n \rightarrow m$ es la pendiente.
• Ecuación Punto-Pendiente: $y = y_0 + m(x - x_0)$

Relaciones entre Rectas

Condiciones de Paralelismo

Dos rectas son paralelas si:

1. Sus vectores directores son proporcionales: $\vec{d}_r = \lambda \cdot \vec{d}_s$ (o $d_r \propto d_s$).
2. Tienen la misma pendiente: $m_r = m_s$.

Condiciones de