Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Otros cursos

Condiciones de Lagrange

Condiciones de 1º Orden

DE LAGRANGE: si un punto es un extremo local, las derivadas parciales de la función Lagrangiana respecto a todas sus variables deben ser iguales a 0 (hacemos f Lag y sus derivados respect x y landa). CONDICIONES SUF DE 2º ORDEN: Hessiano Orlado, para poder clasificar el punto critico, construimos la matriz Hessiana orlada y evaluamos sus menores principales para saber si el punto es un máximo local o un mínimo local. Tamaño m hessorld (mxn)x(mxn) n=nº variables del prob m=nº restricciones de igualdad. Como solo tenemos m=1 simplemente una casilla 1x1,. Hacemos derivadas restricc y derivados 2º f lag. MENORES A CALCULAR CUANDO HAY RESTRICCIONES: n-m (det). APLICAMOS CONST FIJA (-1)^m. Det... Continuar leyendo "Optimización Matemática: Lagrange y Kuhn-Tucker Explicados" »

Fórmulas Fundamentales y Representaciones Gráficas

A continuación se detallan las fórmulas básicas para el tratamiento de datos estadísticos:

• Frecuencia relativa: f_i = n_i / N
• Marca de clase: x_i = (L_i-1 + L_i) / 2
• Amplitud: a_i = L_i - L_i-1
• Densidad de frecuencia: d_i = n_i / a_i o f_i / a_i

Tipos de Representaciones según la Variable

• Variable Continua:
  • Misma amplitud: Se utiliza el Histograma.
  • Distinta amplitud: Se utiliza el Gráfico de dispersión (basado en la marca de clase y la densidad).
• Variable Nominal: Se recomienda el Diagrama de sectores o el Gráfico de barras.
• Variable Ordinal: Se utiliza el Diagrama de barras (es necesario seleccionar los datos si estos son representados por números).

Medidas de Tendencia Central según el Tipo de Variable

• Variable

Cuadrado de una Suma

Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que: "El cuadrado de una suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto." Es decir, que el resultado de elevar al cuadrado la suma de dos números es el mismo que si sumamos los cuadrados de ambos números y añadimos el doble de su producto. Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Cuadrado de una Diferencia

Los productos notables cumplen con ciertas reglas determinadas cuyo resultado puede escribirse sin verificar la multiplicación. Las letras representan números reales... Continuar leyendo "Identidades Notables: Cuadrado, Suma, Diferencia y Cubo" »

PARTE 1: Estimación de Ingresos y Proyección de Costes por Escenarios (2019-2021)

Preparación de Datos Base

El enunciado requiere la proyección de datos desde 2019 hasta 2021.

Copiar la tabla del enunciado hasta la columna Total. Añadir a esta tabla el año 2018, utilizando los mismos números que figuran en el total, y también añadir las proyecciones de 2019 a 2021.

1. Estimación de Ingresos

La estimación de ingresos se calcula mediante las siguientes fórmulas:

Fórmulas de Proyección de Ingresos

• 2019: $I_{2019} = \text{Nº uds} \times (1 + \text{Crecimiento Esperado}) \times \text{Modificador de Precios}$
• 2020: $I_{2020} = \text{Nº uds} \times (1 + \text{Crecimiento Esperado}_{2019}) \times (1 + \text{Crecimiento}_{2020}) \times \text{

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

• fi = ni / N
• di: ni / ai
• Cuartil (Qr): Li-1 + ((Qr/k + Ni-1) / ni) * ai (mirar Ni acum)
• Moda (Mo): Li-1 + ((di+1 / (di-1 + di+1)) * ai) (mirar di o ni)
• Mediana (Me): Li-1 + ((N/2 - Ni-1) / ni) * ai (mirar Ni acum)
• Media (x̄): (Σxi * ni) / N
• Varianza (S²x): (Σxi² * ni) / N (m2 respecto a la media)
• Desviación típica (Sx): √S²x
• Coeficiente de variación (cv): Sx / x̄ (menor cv = más homogénea, mayor dispersión = menos homogénea)

Relación entre Variables

• Covarianza (Sxy): ((Σxi * yj * nij) / N) - x̄ * y ( > 0 dependencia directa, < 0 inversa, = 0 no existe)
• Correlación lineal (r): Sxy / (Sx * Sy) (-1 < r < 0 dependencia negativa, 0 < r < 1 dependencia positiva)
• Independencia: nij

Ardura profesionalaren balorazioa kazetaritzan

Ardura profesionalaren balorazioa: noiz ulertu izan da ardura egon dela eta noiz ez. Informazioaren profesionalek ardura osoz jokatu behar dute egiaren bila, albistea zabaldu aurretik egitateak ahalik eta gehien kontrastatuz, nahiz eta ondoren informazioa zehatza ez izan. Ardura profesionalaren frogak kazetariaren gainean erortzen dira, eta ez da nahikoa informazioaren faltsutasunaz jabetzen ez zela alegatzea. Ardura profesionala albistea zabaldu «aurreko» unean neurtzen da, momentu horretan eskuragarri zeuden datuetan oinarrituta. Ez dago ardurarik zurrumurruak egitate gisa aurkezten direnean, iturri zehaztugabeak erabiltzen direnean edo asmo gaiztoko asmakizunak zabaltzen direnean; zurrumurruak... Continuar leyendo "Adierazpen-askatasuna eta ohorerako eskubidea" »

Mercados: Casación de Curvas

1. Tabla de demanda: Utilizar columnas E, P, Ea; ordenar de MAYOR a MENOR precio.
2. Tabla de centrales: Utilizar columnas E, P, Indv, Ea, Cent; ordenar de MENOR a MAYOR precio. Si hay dos que se repiten, la indivisible va abajo.
3. Dibujo de gráficos:
   • Eje X: Energía acumulada.
   • Eje Y: Precio.
   • Curva de oferta: Dibujar "escalera" marcando el "inicio de escalón".
   • Curva de demanda: Aspecto contrario, marcando el "final del escalón".
4. Corte:
   • Si la demanda corta verticalmente: El precio marginal (PMarg) es el que sale en el punto de corte. Se marca en la tabla de oferta el precio obtenido y, al ser "corte vertical", se toma el precio inmediatamente superior en la tabla de demanda y su Ea=Em.
   • Si hay corte horizontal de la curva de demanda:

Definición de Variables y Modelo de Créditos

• X1: Cantidad de "Créditos Ahora" a otorgar semanalmente.
• X2: Cantidad de "Créditos Ayuda" a otorgar semanalmente.

Función Objetivo: Max Z = 3x1 + 2x2

Restricciones:

• Suscripción (4 ejecutivos): 5x1 + 10x2 ≤ 7.200
• Aprobación (4 seniors): 15x1 + 20x2 ≤ 7.200
• Cierre (6 ejecutivos): 10x1 + 8x2 ≤ 10.800
• Costos Operacionales: 1.500x1 + 600x2 ≤ 600.000
• No negatividad: x1, x2 ≥ 0

Forma Estándar:

Z - 3x1 - 2x2 = 0

1. 5x1 + 10x2 + H1 = 7.200
2. 15x1 + 20x2 + H2 = 7.200
3. 10x1 + 8x2 + H3 = 10.800
4. 1.500x1 + 600x2 + H4 = 600.000

Modelo de Nutrición y Presupuesto

• x1: Kilogramos de maíz a comprar diariamente.
• x2: Kilogramos de nutrimento a comprar diariamente.
• x3: Kilogramos de alfalfa a comprar diariamente.

Min Z = x1... Continuar leyendo "Modelos de Programación Lineal: Ejemplos Prácticos y Resolución" »

Tipo 1: RADIANES

A continuación se describen los pasos y consideraciones para el cálculo en radianes. Se mantienen todos los contenidos originales, corrigiendo ortografía, gramática y presentando el texto de forma estructurada.

Paso 1: Matriz de admitancia reducida ([Yred])

• Se obtiene la matriz [Yred]:
• Yii = 1/Zi + 1/Zi
• Yij = Yji = -1/Zij (esta matriz se expresa con módulos y argumentos).

Paso 2: Matriz B

• Se construye la matriz [B] tomando solo la parte imaginaria de [Yred].

Paso 3: Datos

Se introducen los datos disponibles en cada nodo (las P y las Q). Si la flecha sale, la potencia asociada se considera negativa; si entra, positiva. Se toma como referencia el nodo que se indique y, si solo dan la V (sin potencias), se usa esa tensión como referencia.... Continuar leyendo "Cálculo de flujo y optimización: procedimientos paso a paso para matrices de admitancia y Lagrangiano" »

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Regla de Cramer (Sistema Compatible Determinado - SCD)

Un sistema es Compatible Determinado (SCD) si tiene una única solución. Para aplicar la Regla de Cramer, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero (|A| ≠ 0).

Ejemplo de SCD

Consideremos el sistema:

x - y       = 7
2x + y - z  = 3
     y + z  = 3

Primer paso: Calcular el determinante de la matriz de coeficientes |A|.

|A| = | 1  -1   0 |
    | 2   1  -1 |
    | 0   1   1 |

Calculando el determinante, obtenemos |A| = 4. Como |A| ≠ 0, el sistema es un SCD y podemos aplicar la Regla de Cramer.

La Regla de Cramer establece que la solución para cada incógnita (x, y, z) se obtiene dividiendo el determinante de la matriz... Continuar leyendo "Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Regla de Cramer y Rouché-Frobenius" »