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Estudio de Funciones: Asíntotas, Continuidad y Derivadas

Asíntotas

• Asíntota Horizontal (A.H.): Cuando el grado del numerador es mayor al del denominador, no hay asíntota horizontal.
• Asíntota Vertical (A.V.): Se menciona que cuando hay A.H. no suele haber A.V. Si la función es continua, no tiene A.V.; en caso contrario, se deben calcular los límites laterales para determinar su posición y comportamiento.
• Asíntota Oblicua (A.O.): Se define por la recta y = mx + n, donde:
  • m = lim (x → +∞) f(x)/x
  • n = lim (x → +∞) (f(x) - mx)

Continuidad y Discontinuidad

La discontinuidad evitable ocurre cuando la función pasa por un "punto vacío", es decir, el límite existe pero no coincide con el valor de la función. Los casos comunes incluyen:

1. No

Fundamentos de Grafos y Dígrafos

Grafo Dirigido o Dígrafo

Un Grafo Dirigido (o Dígrafo, también llamado grafo orientado, simple y finito) es un par $G = (W, F)$ formado por dos conjuntos finitos:

• $W \neq \emptyset$: El conjunto de sus vértices o nodos.
• $F \subseteq W \times W$: El conjunto de sus arcos o flechas.

Cada flecha $e \in F$ es un par ordenado de dos vértices $e = (v, w) \in W \times W$, que llamaremos, respectivamente, inicio y fin de la flecha.

Grafo No Orientado

Un Grafo No Orientado (simple y finito) es un par $G = (W, F)$ formado por dos conjuntos finitos:

• $W \neq \emptyset$: El conjunto de sus vértices.
• $F \subseteq \{\{v, w\} / v, w \in W \text{ y } v \neq w\}$: El conjunto de sus lados o aristas.

Grafos Isomorfos

Dos grafos $G_... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de la Teoría de Grafos: Definiciones y Teoremas Clave" »

Propiedades de las Funciones Trigonométricas

Seno

• Dominio: (-∞, ∞)
• Rango: [-1, 1]
• Continuidad: Continua
• Comportamiento: Creciente y decreciente por intervalos
• Clasificación: NO inyectiva, NO suprayectiva, NO biyectiva
• Periodo: Cada 2π
• Amplitud: 1
• Puntos de corte eje x: nπ

Coseno

• Dominio: (-∞, ∞)
• Rango: [-1, 1]
• Continuidad: Continua
• Comportamiento: Creciente y decreciente por intervalos
• Clasificación: NO inyectiva, NO suprayectiva, NO biyectiva
• Periodo: Cada 2π
• Amplitud: 1
• Puntos de corte eje x: nπ/2 (para n impares)

Tangente

• Dominio: (-∞, ∞) - {nπ/2, n pares}
• Rango: (-∞, ∞)
• Continuidad: Discontinua
• Comportamiento: Creciente
• Clasificación: NO inyectiva, Suprayectiva, NO biyectiva
• Periodo: Cada π
• Amplitud: N/A
• Puntos de corte eje x: nπ

Cotangente

• Dominio:

Derivada en un Punto

Una función f es derivable en x=a si y solo si:

f´(a) = lim f(x) - f(a) / x - a

donde f´(a) ∈ ℝ.

x → a

Continuidad y Derivabilidad

Relación Directa: Derivabilidad implica Continuidad

Hipótesis (H): f es derivable en x=a (f´(a) = lim f(x) - f(a) / x - a, con f´(a) ∈ ℝ).

x → a

Tesis (T): f es continua en x=a (lim f(x) = f(a)).

x → a

Demostración:

lim f(x) = lim [f(x) - f(a) + f(a)]

x → a x → a

lim f(x) = lim [f(x) - f(a)] + f(a)

x → a x → a

lim f(x) = lim [f(x) - f(a)] * (x - a) / (x - a) + f(a)

x → a x → a

lim f(x) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a) * lim (x - a) + f(a)

x → a x → a x → a

Dado que f´(a) ∈ ℝ, tenemos:

lim f(x) = f´(a) * 0 + f(a)

x → a

lim

Evaluación de Conceptos Clave de Sistemas de Control Realimentados

Preguntas y Respuestas

1. Un sistema de control realimentado de lazo cerrado, en general, tiene:

• Controlador
• Actuador
• Planta (proceso)
• Sensor (medición)

2. Un controlador, en general, comprende:

• Un detector de error
• Un amplificador

3. Un sistema de control de lazo cerrado de un brazo de robot, con un controlador cuya F.T. = K (constante) y un servomotor de CC controlado por armadura, tiene:

• Tres polos

4. Comparando un sistema de control de lazo cerrado con un sistema de lazo abierto, el error en estado estacionario:

• En lazo abierto, el error en la práctica no es cero

5. El modelamiento del comportamiento en el espacio de estado de un sistema cualquiera es una representación:

• En el tiempo

6.

forma comparativa  Ejemplo

TOM IS OLDER THAN PAUL

GAIL IS MORE POPULAR THAN SUE

forma superlativa ejemplo

THIS IS THE BIGGEST HOUSE IN THE STREET

HISTORY IS THE MOST INTERESTING SUBJECT AT SCHOOL

IRREGULAR ADJETIVES

good          better        best

bad          worse              worst

far           further           furthest

con los adjetivos en comparativo ke son largos se agrega MORE

y con los adjetivos superlativos largos se agrega MOST

big-grande       tall-alto      long-largo      handsome-bonito     short-corto     fat-gordo    old-viejo

ugly-feo   thin-delgado    young-joven       light-             small-pequeño     dark-oscuro  beautiful-... Continuar leyendo "Variaciones, Permutaciones y Combinaciones" »

Conceptos Fundamentales en Estadística

Esta sección define los términos esenciales utilizados en el ámbito de la estadística y la investigación.

Poboación

Conxunto de individuos ou obxectos de interese no estudo. É o obxectivo do estudo o que define a poboación. Tamén chamada poboación obxectivo ou de interese: agregado ideal sobre o cal desexaríase obter información en determinada data ou período. As características que se desexan coñecer son as variables de estudo (tamén variables estatísticas).

Mostra

Subconxunto de unidades seleccionadas da poboación. Unha mostra é un subconxunto de elementos da poboación que sexa representativa da mesma, obtida co fin de investigar as características da poboación de procedencia. Ten as... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Muestreo y Técnicas Estadísticas Avanzadas" »

Vectors: Conceptes i Operacions

Vectors: Punts A i B (dos punts).

Components d'un vector AB^→: B - A = (x, y, z).

Mòdul d'un vector: |AB^→| = √(x² + y² + z²).

Operacions amb vectors: Si tenim U^→ i V^→, podem fer operacions com 2U^→ - 3V^→.

Punt mitjà d'un segment AB^→: M = (A + B) / 2.

Divisió d'un segment en parts: Dividir AB^→ pel nombre de parts desitjades. Després, a A se li sumen les parts necessàries per arribar al punt desitjat.

Dependència i Independència Lineal

Vectors linealment dependents i independents:

• 2 vectors (ex: U^→ i V^→): Si U₁/V₁ = U₂/V₂ = U₃/V₃, són linealment dependents i paral·lels. Si no són equivalents, són linealment independents.
• 3 vectors (ex: U^→, V^→ i W^→): Si el determinant de la matriu 3x3

Caracteristicas de los signos linguisticos:Arbitrariedad(no hay ninguna semejanza entre la sucesión de sonidos y el concepto que trasmite), Convencionalidad e inmutabilidad( la relación entre significado y significante resulta de un convenioo acuerdo), Linealidad(se desarrolla en el tiempo y en el espacio, sus elementos están ordenados), Doble articulación(es divisible en unidades menores que pueden combinarse con otrasy formar una nueva sucesión de palabras: 1a articulación monemas(unidades mínimas que poseen significado(lexemas(niñ), morfema(os)), 2º articulación fonemas(unidades minimas que no poseen significado).  // CLASES DE MORFEMAS: morfemas independientes libres o nexivos(no necesitan unirse a un lexema, son independientes.