Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Otros cursos

Cálculo de Variaciones y Derivadas

Tasa de Variación

Tasa de variación de una función en un intervalo [a,b]: Diferencia entre los valores de las imágenes de los puntos extremos del intervalo. Indica el cambio experimentado por una función en dicho intervalo.

TV [a,b]= f(b) – f(a)

• Si TV [a,b] > 0, la función crece.
• Si TV [a,b] < 0, la función decrece.
• Si TV [a,b] = 0, la función es constante.

Tasa de variación media de una función en un intervalo [a,b]: Es el cociente entre la variación de la variable dependiente y la variación de la variable independiente. Indica cómo y cuánto crece una función.

TVM [a,b] = (f(b) – f(a)) / (b-a)

Otra notación de la tasa de variación media de una función en [x₀, x₀+h] es:

TVM [x₀, x₀ + h]... Continuar leyendo "Cálculo: Tasas de Variación y Derivadas de una Función" »

Monotonía de una Función

La monotonía de una función se refiere a su comportamiento de crecimiento y/o decrecimiento en un intervalo dado.

Función Estrictamente Creciente

Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b) si y solo si, para todo x₁ y x₂ en (a,b) tal que x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) < f(x₂).

Esto implica que la tasa de cambio promedio (f(x₂) – f(x₁)) / (x₂ – x₁) > 0.

En un punto x₀, una función es estrictamente creciente si existe un entorno centrado en x₀, E(x₀, a) = (x₀ - a, x₀ + a), en el que la función es estrictamente creciente. Es decir, si f'(x₀) > 0, entonces f es estrictamente creciente en x₀.

Función Estrictamente Decreciente

Una función f es estrictamente

Formación de Índices

La formación de los índices es el paso final, que consiste en recomponer el concepto original. La unión de las partes se denomina formación de índices.

Muestreo (Jorge Padua)

Universo o población son palabras utilizadas técnicamente para referirse al conjunto total de elementos que constituyen un área de interés analítico, es decir, la unidad de análisis.

Proceso de Construcción de un Muestreo

1. Definir la población meta: Determinar la población con la cual se va a trabajar.
2. Seleccionar un marco muestral: Obtener un listado de la población.
3. Determinar el tipo de muestreo: Elegir entre muestreo probabilístico o no probabilístico.
4. Definir el tamaño de la muestra: Establecer la cantidad de elementos que conformarán

1. Muestreo: Definición y Proceso

El Muestreo es la técnica de elección de los elementos de la muestra, la cual debe ser representativa. Muestrear implica elegir una parte de aquello que se debe estudiar.

• Censo: Incluye a todos los elementos de la población (conjunto de elementos de los que se obtiene la información).
• Población (N): Conjunto total de elementos a estudiar.
• Muestra (n): Subconjunto representativo de la población.

Proceso del Muestreo

1. Definir (Diseño) la Población Objetivo: Especificar unidades, alcance y tiempo.
2. Marco Muestral: Enumeración de la población total, N (ejemplo: tiendas).
3. Seleccionar la Técnica: Elegir el método de muestreo adecuado.
4. Determinar el Tamaño de la Muestra: Calcular n.
5. Ejecutar el Proceso: Detallar

Métodos de Factorización LU: Doolittle y Crout

La factorización LU consiste en descomponer una matriz cuadrada A en el producto de dos matrices: una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Este método se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma Ap = q sin necesidad de intercambio de filas.

Este resultado permite resolver el sistema Ap = q, ya que al sustituir A por LU, se obtiene:

LUp = q

Para simplificar la resolución, se define Up = g, donde g es un vector desconocido.

Este vector g se puede obtener fácilmente resolviendo el sistema:

Lg = q

La resolución de este sistema se realiza mediante sustitución progresiva o hacia adelante, dado que L es una matriz triangular inferior.

Una vez calculado... Continuar leyendo "Factorización LU: Métodos de Doolittle y Crout para Sistemas Lineales" »

Método Trapezoidal

En el caso de n = 1, el intervalo de integración [a, b] queda tal cual y x₀ = a, x₁ = b; la aproximación polinomial de f(x) es una línea recta (un polinomio de primer grado p₁(x)) y la aproximación a la integral es el área del trapezoide bajo esta línea recta, como se ve en la Figura 5.2. Este método de integración se llama regla trapezoidal.

Figura 5.2 Integración numérica por medio de la regla trapezoidal

Para llevar a cabo la integración

, es preciso seleccionar una de las formas de representación del polinomio P₁(x), y como f(x) está dada para valores equidistantes de x con distancia h, la elección lógica es una de las fórmulas en diferencias finitas (hacia delante, hacia atrás o centrales). Si se eligen... Continuar leyendo "Integración Numérica: Método Trapezoidal Explicado" »

ALELOS: s cada 1a d ls formas alternativas q puede tener 1 gen q s diferencian en su secuencia y q s puede manifestar en modificaciones concretas d la función d ese gen.

fenotipo: s cualquier característica o rasgo observable d 1 organismo, como su morfología, desarroyo, propiedades bioquímicas, fisiología y comportamiento.

Modelos Probabilísticos

Los fenómenos probabilísticos se caracterizan porque, aun cuando se repitan en las mismas condiciones, no arrojan los mismos resultados. Por ejemplo, para predecir la cantidad de lluvia que caerá en una región, se tienen en cuenta varios factores. Pese a tener suficiente información en este sentido, no es posible predecir con exactitud la cantidad de lluvia que caerá en esa región, debido a que se trata de un fenómeno que no es determinístico, sino probabilístico.

Modelos Discretos

Distribución Binomial

Se define la variable aleatoria X que indica el número de veces que se presentó el suceso "éxito" en las n repeticiones del experimento simple ε₁. Esta variable aleatoria se llama binomial, es discreta y asume... Continuar leyendo "Modelos Probabilísticos Fundamentales: Binomial e Hipergeométrica" »

El error estándar es un modo frecuente de denominar la desviación estándar de una distribución: VERDADERO

Cuanto mayor sea la muestra, mayor será el error de muestreo VERDADERO

Una muestra es una selección de los datos que necesito y no es proporcional al tamaño de la población VERDADERO

El principal inconveniente de la mediana es que se ve muy afectada por los extremos FALSO

La media es sensible a los valores extremos ya que solo le influyen los valores centrales FALSO

En el cálculo de la moda no intervienen todos los valores de la distribución VERDADERO

Que tipo de medidas son la media, moda y mediana: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Cual de las siguientes es una variable nominal discreta: El NuMERO DE ALMNOS DEL INSTITuTO

Al comparar la media... Continuar leyendo "Errores comunes en estadística y medidas de tendencia central" »

Funciones y Límites

f(x) = 5x - 13 si x <= -2 y x^2 + 2x - 13 si -2 < x < 7 y V7 + 12 si x >= 7

lim_x->-2 5*-x - 13 = -23 // lim_x->7 7^2 + 2*7 - 13 = 50 //

lim_x->-2 -2^2 + 2x - 13 = -21 // lim_x->7 V7 - 7 + 12 = 12 //

No existe continuidad en -2 / No existe continuidad en 7

Recta Tangente y Normal

y = x^3 - 2x^2 + 4 (x=2, y=4) Ecuación de la recta: y - y₁ = M*(x - x₁)

1) Recta tangente

y' = x^3 - 2x^2 + 4 = 3x^2 - 4x Ahora reemplaza x:

= 3*2^2 - 4*2 = 4 mt //

2) Recta normal m_n = -1/m_t => -1/4

y - y₁ = m*(x - x₁) => y - 4 = -1/4 (x - 2) =>

y = -1/4x + 1/2 + 4 => y = -1/4x + 9/2 //

3) y - y₁ = M*(x - x₁)

y - 4 = 4*(x - 2) => y = 4x - 8 + 4 => y = 4x - 4

Puntos Críticos y de Inflexión

y = 2x^4 - x^3 - 9x^2 - 4x +... Continuar leyendo "Análisis de Funciones y Cálculo de Volúmenes en Matemáticas" »