Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Otros cursos

El Método Científico

Etapas del Método Científico

1. Observación

Consiste en hacerse preguntas sobre los fenómenos percibidos a través de nuestros sentidos. Esta etapa implica fundamentalmente la curiosidad.

2. Formulación de Hipótesis

Es el proceso de dar respuestas tentativas a las preguntas planteadas. Cada respuesta es una hipótesis, es decir, nuestra opinión o suposición inicial sobre un fenómeno.

3. Experimentación

Implica repetir el fenómeno en condiciones controladas. Se divide en:

• a) Diseño y montaje de experimentos.
• b) Recogida de datos.
• c) Medida de magnitudes.

4. Interpretación de Resultados

Al terminar el experimento, obtendremos datos o medidas que deben ser analizados para comprobar la veracidad de nuestra hipótesis. Los... Continuar leyendo "Fundamentos de la Investigación Científica y el Sistema Internacional de Medidas" »

Definiciones Fundamentales en Álgebra Lineal

Autovalor y Autovector

Autovalor: Un escalar λ ∈ ℝ se dice un autovalor de una matriz A si y solo si existe al menos un vector no nulo x ∈ ℝⁿ tal que Ax = λx. Al vector x ∈ ℝⁿ no nulo se le llamará autovector de A asociado a λ.

Teorema 1: Criterio para Autovalores

Un λ ∈ ℝ es un autovalor de una matriz A_n×n si y solo si det(A - λI_n) = 0.

Demostración:

λ ∈ ℝ es un autovalor de A si y solo si existe x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ ℝⁿ, con x ≠ 0, tal que Ax = λx (1).

La ecuación matricial (1) puede escribirse como: Ax - λx = 0, lo que es equivalente a Ax - λI_nx = 0, y finalmente a (A - λI_n)x = 0 (2).

(2) es la ecuación matricial de un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones... Continuar leyendo "Autovalores, Autovectores y Diagonalización de Matrices: Conceptos Esenciales" »

Estadística Descriptiva e Inferencial: Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Análisis de Estaturas

Los datos siguientes corresponden a las estaturas de 20 personas:

1,73 1,66 1,65 1,60 1,71 1,58 1,75 1,56 1,63 1,64
1,68 1,71 1,78 1,73 1,57 1,69 1,65 1,63 1,66 1,72

1. Agrupación de datos e intervalos y frecuencias

   Agrupa estos datos en intervalos de amplitud 0,05, de forma que el límite aparente inferior del primero sea 1,55. Haz una tabla en la que aparezcan los límites reales y aparentes, las marcas de clase y los dos tipos de frecuencias absolutas.

   Límites Reales (li ; Li)	Límites Aparentes	Marca de Clase (xi)	Frecuencia Absoluta (ni)	Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni)
   Total			20
   (1,545 ; 1,595)	1,55 - 1,59	1,57	3	3
   (1,595 ; 1,645)	1,60 - 1,64	1,62	4	7
   (1,645 ; 1,

   ... Continuar leyendo "Estadística Descriptiva e Inferencial: Ejercicios Resueltos de Estaturas y Distribuciones" »

Razonar, utilizando como ejemplo el átomo de helio, por que las funciones de onda de un átomopolielectrónico tienen que ser antisimétricas con respecto al intercambio de dos electrones.Para un electrón dado, solo existen dos funciones de spin, que corresponden a los valores de m s
=±1/2. A estas funciones se les designará por O´ + y O´ ? . La función de onda total, debe poseer
simetría con respecto al intercambio de electrones. Con dos funciones de spin y dos electrones, es
posible construir 4 funciones que posean simetría, estas son
(ponemos las 4 ecuaciones, la simétrica y la antisimetrica)

La función de onda total se construye multiplicando la parte espacial por la de spin, luego vamos a
tener 8 funciones posibles, 4 simétricas... Continuar leyendo "Fundamentos de la Antisimetría en Funciones de Onda Atómicas y Moleculares" »

Errores de Medición

El error absoluto de una medida es el valor absoluto de la diferencia entre la medición obtenida y la medida real. Se obtiene restando la menor de ellas de la mayor, y si son iguales, el error es 0.

El error relativo de una medida es el cociente entre el error absoluto y el valor real de la medida.

Casi nunca se conoce cuál es la medida exacta, por lo que se determinan unas cotas superiores de ambos utilizando como errores absolutos la precisión del aparato. Si solo se ha hecho una medición, se considera como medida real la medida apreciada en la escala del aparato que es inmediatamente inferior a la medida real. Otro procedimiento consiste en considerar como medida real la media aritmética de una sucesión de medidas... Continuar leyendo "Conceptos Básicos de Matemáticas: Errores de Medición, Fracciones y Números Decimales" »

Conceptos Fundamentales de Magnitudes y Proporcionalidad

Una magnitud es todo aquello que se puede medir o contar.

Tipos de Proporcionalidad

• Magnitudes Inversamente Proporcionales: Si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda automáticamente dividida o multiplicada por ese mismo número. Su producto es constante (cte.).
  Ejemplo: Velocidad y tiempo (manteniendo la distancia constante).
• Magnitudes Directamente Proporcionales: Si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Su cociente es constante.

Sucesiones y Progresiones

Una sucesión es un conjunto de infinitos números ordenados de tal manera que siempre habrá un primero, pero no un último. Cada número... Continuar leyendo "Diccionario Esencial de Conceptos Matemáticos: Progresiones, Geometría y Teoremas Fundamentales" »

Conceptos Fundamentales de Estadística: Medidas Centrales y de Variabilidad

Medidas de Centralización

Las medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Medidas de Posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

• Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

Medidas de Dispersión

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

12. Tipos de Medidas de Centralización

a. Definición de Moda (Mo)

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por $\text{Mo}$. Se puede hallar la moda para variables cualitativas... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística: Medidas de Centralización, Posición y Dispersión" »

Capítulo 4: Nociones Fundamentales del Cálculo de Probabilidades

4.1.1 - Concepto de Probabilidad

De acuerdo con la definición de Laplace, la probabilidad es la relación entre el número de casos favorables y el número total de casos, siempre que cada uno sea igualmente posible.

La definición se mejora si se observa que, en la repetición de un experimento, manteniendo las condiciones constantes, se genera una dispersión discreta de valores. Por ejemplo, si se mide una determinada magnitud, la frecuencia f de una medida es la relación entre las veces que se obtuvo el evento 1 y el número total n de medidas efectuadas:

Las mediciones sucesivas de una magnitud generan un conjunto de aproximaciones. Los resultados de las distintas mediciones... Continuar leyendo "Fundamentos del Cálculo de Probabilidades y Teoría de Errores" »

Planteamiento de Problemas Matemáticos

1. Cálculo de Términos de una Sucesión

   Determinar los **primeros 5 términos** de la expresión: $(4^n \cdot n!)^3$.

2. Fórmula General de una Sucesión Alternante

   Encontrar la **fórmula de la sucesión** dada por los términos: $11/12, -13/14, 15/16, \dots$

3. Suma Parcial y Término General

   Encontrar la **tercera suma parcial** y el **n-ésimo término** de $A_n = \sqrt{n+12} + \sqrt{n+13}$.

4. Determinación de la Sumatoria

   Encontrar la **sumatoria** de la siguiente serie finita: $-4+16-36+64-100$.

5. Problema de Depreciación

   Un auto se deprecia el **10% cada año**. Si en el año 2014 su valor es de **53,748,000**, determine el costo a los 6 años (usar FIX 3 para el resultado final).

Soluciones Detalladas

R1: Sucesión