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Fórmulas Fundamentales para Pruebas de Hipótesis

Pruebas Z (Varianza Poblacional Conocida o Muestra Grande)

Z para Proporciones

Fórmula: $Z = \frac{p - \pi}{\sqrt{\frac{\pi(1-p)}{n}}}$

• Tipo de Variable: Cualitativa (Nominal/Ordinal).
• Distribución: Normal.
• Concepto: Variable aleatoria.

Z para una Media

Fórmula: $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• Tipo de Variable: Cuantitativa (Intervalo/Razón).
• Distribución: Normal.
• Condición: $\sigma$ (desviación estándar poblacional) conocida.

Z para Dos Medias Independientes

Fórmula: $Z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

• Tipo de Variable: Cuantitativa.
• Distribución: Normal.
• Condición: $\sigma$ (desviación estándar poblacional)

Función Exponencial

• Expresión general: y = a^x, siempre y cuando: a > 0 y a ≠ 1.
• Dominio: ℝ
• Imagen: (0, +∞) (Números positivos).
• Asíntota horizontal: Eje x.
• Clasificación (según su base):
  • a > 1: Funciones crecientes (forma exponencial).
  • 0 < a < 1: Funciones decrecientes.

Situaciones en las que aparece

• Desintegración radiactiva: Las sustancias radiactivas se descomponen siguiendo una función exponencial decreciente (base 0 < a < 1), donde la “x” representa los años necesarios para reducir la cantidad a la mitad.
• Interés compuesto: En economía se calcula mediante la fórmula C = C₀ (1 + i)^t, donde los intereses generan nuevos intereses.
• Evolución de la población: Aplicable a virus, bacterias e insectos.

Función Logarítmica

INTERVALOS

• Intervalo cerrado: Incluye sus puntos finales.

• Intervalo abierto: No incluye sus puntos finales.

RELACIONES Y FUNCIONES

Relación

Es un conjunto de pares ordenados (x, y).

• Los valores de x forman el dominio.

• Los valores de y forman el rango.

Función

Es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de modo que a cada valor del primer conjunto (dominio) le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto (rango).

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN

• Constante: Símbolo que representa un valor fijo.

• Variable: Símbolo que puede representar diferentes valores.

• Variable independiente: Valor que se fija previamente.

• Variable dependiente: Valor que se obtiene a partir de la variable independiente.

TIPOS DE FUNCIONES

• Función explícita: La variable

Reglas Fundamentales del Álgebra

• En álgebra, para la suma y resta, los exponentes de las mismas letras se suman. (Falso)
• En álgebra, para la multiplicación, los exponentes de las mismas letras se suman. (Verdadero)
• En álgebra, para la suma y resta, los coeficientes de los términos semejantes se suman o restan. (Verdadero)
• En álgebra, para la multiplicación, los coeficientes se suman. (Falso)

Conceptos Clave en Álgebra

• Es el resultado de graficar una situación. (Línea recta)
• Cuenta con miembro izquierdo y miembro derecho separados por un signo igual. (Igualdad)
• Es la operación contraria a la potenciación. (Radicales)
• Es el resultado de graficar una expresión algebraica de segundo grado. (Parábola)
• Es la operación contraria a la división.

Método Deductivo

Definición

• Dirección: Va de lo general a lo particular.
• Función: Extrae conclusiones a partir de leyes generales previamente establecidas.

Tipos

• Directo: Se basa en una sola premisa.
• Indirecto: Utiliza una premisa mayor y una premisa menor para derivar una conclusión.

Pasos del Proceso

• Planteamiento de axiomas.
• Deducción lógica.
• Formulación de leyes generales.

Características Principales

• Objetivo: Se centra en hechos comprobables.
• Racional: Basado en la razón y la lógica.
• Sistemático: Sigue un orden estructurado.
• Trascendente: Va más allá de los datos aislados.

Ventajas

• Utiliza teorías ya existentes para validar el conocimiento.
• Permite descubrir nuevos principios a partir de lo conocido.

Desventajas

• No explica las causas profundas

Polígonos: Definición y Clasificación

📐 POLÍGONOS: Son figuras planas cerradas formadas por segmentos rectos llamados lados.

Clasificación General

• 🔹 Regulares: Tienen todos sus lados y ángulos iguales.
• 🔹 Irregulares: Poseen lados y ángulos distintos entre sí.

Clasificación según el número de lados

• 3 🔺 Triángulo
• 4 🔶 Cuadrilátero
• 5 🔸 Pentágono
• 6 ⬡ Hexágono
• 7 ⬢ Heptágono
• 8 🔹 Octágono
• 9 🔻 Eneágono
• 10 🔟 Decágono

Fórmulas Fundamentales de los Polígonos

• Suma de ángulos internos: 180°(n-2)
• Cada ángulo interno (en polígonos regulares): [180°(n-2)] / n
• Suma de ángulos externos: Siempre es igual a 360°.

Segmentos Notables en Polígonos

• 📏 Apotema: Segmento que va desde el centro al punto medio de un lado (siempre

* Distribuciones de frecuencias: es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un experimento que se presentaron realmente cuando se efectuó el experimento. * Distribución de probabilidad: es un listado de probabilidad de todos los posibles resultados que podrían obtenerse si el experimento se llevara a cabo.

Distribución de probabilidad continua: ella puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. El área bajo de la curva limitada por el eje x es igual a 1 y el área bajo la curva y entre las rectas A y B de la probabilidad P{a <x<b}. P(x) se llama función de densidad de la probabilidad.

Variables Aleatorias: *es aleatoria si toman diferentes valores como resultados de un experimento aleatorio.... Continuar leyendo "Media y desviación estándar de binomial" »

El factor S es un número complejo 

Una variable compleja tiene 2 componentes: real (   ) e imaginaria (   ). En forma gráfica, la componente real de S está representada por el eje (    ) en la dirección horizontal y la componente imaginaria se mide a lo largo del eje vertical  jw, en el plano complejos S   

Perturbación de un sistema 

Escalón

Rampa

Impulso 

Perturbación escalón

Indica un comportamiento o una referencia constante introducidos al sistema 

Perturbación pulso rectangular 

En términos de la función escalón de heaviside (escalón unitario) 

Perturbación función impulso

Se caracteriza por ser una señal de prueba con magnitud muy grande y duración muy corta

      :delta de dirac(impulso infinitamente angosto e... Continuar leyendo "Fundamentos de Sistemas de Control: Transformada de Laplace, Polos, Ceros y Estabilidad" »