Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Definición de Expresiones Algebraicas Racionales

Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma: R(x) = A(x) / B(x), donde A(x) y B(x) son polinomios de variable x, y B(x) ≠ 0.

Equivalencia de Expresiones

Para la expresión racional A(x) / B(x) pueden hallarse expresiones equivalentes mediante la fórmula:

A(x) / B(x) = (A(x) · N(x)) / (B(x) · N(x)), siendo N(x) cualquier polinomio no nulo.

Ejemplo: Las dos expresiones racionales (x² − 1) / (x³ + 3x² − x − 3) y 1 / (x + 3) son equivalentes para x ≠ 1 y x ≠ −1.

Propiedades de las Operaciones

Suma y Resta

La suma de expresiones algebraicas racionales es asociativa, conmutativa, cumple la ley de cierre y posee elemento neutro (0). Recordemos que restar es sumar el... Continuar leyendo "Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales: Conceptos y Procedimientos" »

Utilidad e importancia de la sentencia IMPLICIT NONE

Fortran 90 toma las variables que empiezan por I, J, K, L, M como Integer, y el resto como Real, siempre y cuando no se declaren. Puesto que es recomendable evitar el uso de la declaración implícita, indicaremos al compilador que no haga uso de ella; esto se hace poniendo IMPLICIT NONE justo después de la instrucción PROGRAM. Por ello, es importante declarar las variables, obligándonos a hacerlo con dicha sentencia, ya que una confusión en el uso de distintos caracteres podría dar lugar a resultados equivocados.

Formas de ordenación de vectores

La ordenación de matrices unidimensionales (vectores) es una operación que se usa con mucha frecuencia. Tres de los métodos más simples son:... Continuar leyendo "Fundamentos de Fortran: Uso de Implicit None y Algoritmos de Ordenación" »

posición 2 planos 

posición 3 planos 

dos rectas: producto mixto (Vr,Vs,PrPs) =0 se cortan =\cruzan

Entre recta y plano: r en intersección de dos planos, (a continua—intersección), saco vectores de r y del plano, hago matriz, salen casos

Distancias: 

•P y r: d(P,r)= |Vr x PPr| / |Vr| 

•2 rectas paral: compruebo con posic y la fórmula es d(P,r)= igual a la anterior, cojo el punto de una y la recta de otra

•Entre P y plano: d(P, plano)= |Ax+By+Cz+D| /... Continuar leyendo "Formulario Esencial de Geometría Vectorial 3D: Posiciones Relativas, Distancias y Simetrías" »

1. Problema de Porcentajes: Cálculo de Alumnos

En un colegio hay 1650 alumnos en total, y el 46% son mujeres. Se necesita determinar cuántos hombres y cuántas mujeres hay en el colegio.

Pasos para la resolución

1. Calcular el número de mujeres

   Para encontrar el número de mujeres, aplicamos la fórmula del porcentaje:

   Mujeres = (Porcentaje × Total de alumnos) / 100

   Mujeres = (46 × 1650) / 100 = 759

2. Calcular el número de hombres

   El número de hombres se obtiene restando el número de mujeres del total de alumnos:

   Hombres = Total de alumnos - Mujeres

   Hombres = 1650 - 759 = 891

Solución

• Mujeres: 759
• Hombres: 891

2. Desarrollo de un Binomio al Cuadrado

Resolver el binomio (7x - 6)² y luego sustituir el valor de x = -2 en el resultado.

Pasos para la resolución

1. Expandir

Teoría de Conjuntos: Definición y Tipos

Un Conjunto es una colección bien definida de elementos.

Ejemplo:

A = {1, 2, 3}

Tipos de Conjuntos

• Vacío: No contiene elementos. Se representa como ∅ o {}.
• Finito: Sus elementos pueden ser contados (ejemplo: {a, b, c}).
• Infinito: Sus elementos son incontables (ejemplo: ℕ = {1, 2, 3, …}, el conjunto de los números naturales).

Operaciones Fundamentales con Conjuntos

• Unión (∪): El conjunto de elementos que están en A o en B.

  A = {1, 2}, B = {2, 3}

  👉 A ∪ B = {1, 2, 3}

• Intersección (∩): El conjunto de elementos que se repiten (están en A y en B).

  👉 A ∩ B = {2}

• Diferencia (−): El conjunto de elementos que están en A pero no en B.

  👉 A − B = {1}

• Complemento (Aᶜ): Lo que no está en el conjunto

Jatorria eta Zilegitasun Kontzeptuak

Zilegitasuna Botere politikoa legitimoa ote den galdetzen dugu. Fenomeno batek ona edo txarra den galdetu behar dugu; hau da, fenomeno horrekin jarraitzea edo hobetzea komeni den ala ez, eta ez bere jatorriaz galdetu. Botere politikoa ezinbestekoa da gizarteak behar bezala funtzionatzeko, zenbat eta biztanle gehiago premiazkoagoa da. Baina botere politiko guztiak ez dira legitimoak. Irizpideak behar ditugu, zer den legitimoa eta zer ez bereizteko. Botere politikoa legitimoa den jakiteko, dagokion funtzioa ondo betetzen ote duen hartu behar da kontuan; hau da, herritar batek besteari kalte egiten badio, bakoitzari zor zaiona ematen ote dion. Izan ere, herritarrek ez dituzte beren aldetik zigorrak ezartzen.... Continuar leyendo "Botere Politikoa, Zilegitasuna eta Gizarte Antolaketa" »

Tipos de Muestreo

Muestreo Estratificado

Consiste en dividir la población total en clases homogéneas, denominadas estratos. Cada estrato funciona de manera independiente, y dentro de ellos se puede aplicar, por ejemplo, el muestreo aleatorio simple.

Muestreo por Conglomerados

Similar al muestreo estratificado, pero con la diferencia de que la población se divide en grupos heterogéneos.

Validez en la Investigación

Validez Interna

Grado de confianza con el que podemos atribuir a una causa específica el efecto observado. Se verá menos amenazada cuanto mayores sean los controles establecidos. Ejemplo: Test de Cooper. Se puede mejorar añadiendo un pulsómetro para mayor control.

Validez Externa

Grado de confianza con el que las relaciones inferidas... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Estadística: Muestreo, Validez y Correlación" »

Derivada en un Punto

Una función f es derivable en x=a si y solo si:

f´(a) = lim f(x) - f(a) / x - a

donde f´(a) ∈ ℝ.

x → a

Continuidad y Derivabilidad

Relación Directa: Derivabilidad implica Continuidad

Hipótesis (H): f es derivable en x=a (f´(a) = lim f(x) - f(a) / x - a, con f´(a) ∈ ℝ).

x → a

Tesis (T): f es continua en x=a (lim f(x) = f(a)).

x → a

Demostración:

lim f(x) = lim [f(x) - f(a) + f(a)]

x → a x → a

lim f(x) = lim [f(x) - f(a)] + f(a)

x → a x → a

lim f(x) = lim [f(x) - f(a)] * (x - a) / (x - a) + f(a)

x → a x → a

lim f(x) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a) * lim (x - a) + f(a)

x → a x → a x → a

Dado que f´(a) ∈ ℝ, tenemos:

lim f(x) = f´(a) * 0 + f(a)

x → a

lim

1. A)función a trozos→ f:= piecewise(intevalo,función,rep). Definimos periodo→ T := 4 g := f(t) + f(t - T) + f(t + T);//plot(g, t = -5*T .. 5*T, discont = true);b)Serie trigonométrica de fourier→ escribir ecuaciones a mano de wo Ao y An “assume(n, integer);”(Si son pares e impares también tenemos que tener en cuenta para la fórmula) c) representar conjuntament la funció f(t) i la suma dels 6 primers termes de la SF, interval (-5,5)` //escribimos ecuación de Sf, y luego calculamos S suma del 6 primers(mirar si par o impar→ SF2 := S(2, t)//SF4 := S(4, t)... Dibujamos una por una→g1 := plot(g, t = -5 .. 5, discont = true, scaling = constrained);//g2 := plot(S(2, t), t = -5 .. 5, color = green, scaling = constrained); Per... Continuar leyendo "Aplicación Práctica de Series y Transformadas de Fourier en Maple" »