Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Caso 1: Disponemos de un punto del plano y dos vectores directores

1. Ecuación del plano definida por tres puntos A, B, C

   Disponemos ya de un punto del plano (A) y podremos construir dos vectores directores (AB y AC).

2. Ecuación del plano que contiene a dos rectas r y s que se cortan

   Disponemos ya de dos vectores directores (v_r y v_s) y podríamos elegir como punto de referencia del plano tanto P_r como P_s.

3. Ecuación del plano que contiene a una recta r y un punto O

   Disponemos ya de un punto del plano (O) y el vector director de la recta (v_r). Podremos construir el otro vector director con el punto del plano y un punto de la recta (OP_r).

4. Ecuación del plano que contiene a una recta r y es perpendicular a un plano η₂

   Disponemos ya de un vector director

Fórmulas Fundamentales de Geometría Analítica

A continuación, se presentan las fórmulas clave utilizadas en la geometría analítica para el cálculo de distancias, pendientes, puntos medios y áreas.

Cálculo de Puntos y Segmentos

• Distancia entre dos puntos ($D$):

  $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• Pendiente de la recta ($m$):

  $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

• Punto Medio ($P_m$):

  $P_m = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

  Nota: Se ha corregido la notación original para reflejar la fórmula estándar del punto medio.

• Área del Polígono (Triángulo con coordenadas):

  $A = \frac{x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)}{2}$

Ecuaciones de la Recta y la Circunferencia

• Ecuación de la Recta (Punto-Pendiente):

  $y

La probabilidad es un recurso matemático y con ella es posible ajustar de la manera mas exacta posible los impoderablles debidos al azar en los mas variados campos tanto de la ciencia como de la vida cotidiana y cuando no tenemos conocimiento exacto de ella nos valemos de ella. Ej Inversiones
Enfoques de la probabilidad: A posteriori, A priori y Subjetivo.
Experimento aleatorio es aquel que no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia en particular
Espacio Muestral es el conjunto de elementos que representa todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Suceso es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria representado por M
Axiomas de Probabilidad los axiomas de probabilidad son  las... Continuar leyendo "Probabilidad del complemento de un evento" »

Estudio de Funciones: Asíntotas, Continuidad y Derivadas

Asíntotas

• Asíntota Horizontal (A.H.): Cuando el grado del numerador es mayor al del denominador, no hay asíntota horizontal.
• Asíntota Vertical (A.V.): Se menciona que cuando hay A.H. no suele haber A.V. Si la función es continua, no tiene A.V.; en caso contrario, se deben calcular los límites laterales para determinar su posición y comportamiento.
• Asíntota Oblicua (A.O.): Se define por la recta y = mx + n, donde:
  • m = lim (x → +∞) f(x)/x
  • n = lim (x → +∞) (f(x) - mx)

Continuidad y Discontinuidad

La discontinuidad evitable ocurre cuando la función pasa por un "punto vacío", es decir, el límite existe pero no coincide con el valor de la función. Los casos comunes incluyen:

1. No

Distribuciones Notables en Estadística Inferencial

Chi-Cuadrado (Χ²)

La distribución Χ² con n grados de libertad se define como la suma de los cuadrados de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (VAIID) según una distribución normal estándar N(0, 1). La distribución Χ² coincide con la distribución Gamma con parámetros α = n/2 y θ = 2. Por lo tanto, su esperanza es E[x] = αθ y su varianza es Var[x] = αθ².

T-Student

La distribución T-Student con n grados de libertad se define como el cociente entre una variable aleatoria normal estándar y la raíz cuadrada de una variable aleatoria Χ² con n grados de libertad, donde el numerador es independiente del denominador. La representación gráfica de la función... Continuar leyendo "Estadística Inferencial: Distribuciones y Métodos de Estimación" »

Fundamentos de Grafos y Dígrafos

Grafo Dirigido o Dígrafo

Un Grafo Dirigido (o Dígrafo, también llamado grafo orientado, simple y finito) es un par $G = (W, F)$ formado por dos conjuntos finitos:

• $W \neq \emptyset$: El conjunto de sus vértices o nodos.
• $F \subseteq W \times W$: El conjunto de sus arcos o flechas.

Cada flecha $e \in F$ es un par ordenado de dos vértices $e = (v, w) \in W \times W$, que llamaremos, respectivamente, inicio y fin de la flecha.

Grafo No Orientado

Un Grafo No Orientado (simple y finito) es un par $G = (W, F)$ formado por dos conjuntos finitos:

• $W \neq \emptyset$: El conjunto de sus vértices.
• $F \subseteq \{\{v, w\} / v, w \in W \text{ y } v \neq w\}$: El conjunto de sus lados o aristas.

Grafos Isomorfos

Dos grafos $G_... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de la Teoría de Grafos: Definiciones y Teoremas Clave" »

Operaciones Matemáticas Básicas

• Suma: total = num1 + num2
• Resta: diferencia = n1 - n2
• Multiplicación: producto = n1 * n2
• División: cociente = n1 / n2
• Raíz de un número: RaízCuadrada = raíz(num)
• Potenciación: pot = base ^ exponente

Álgebra y Geometría

Fórmula General o Cuadrática

x1 = (-b + raíz(b^2 - 4 * a * c)) / 2 * a
x2 = (-b - raíz(b^2 - 4 * a * c)) / 2 * a

Cálculos Geométricos

• Calcular Lado X: x = Raíz(a^2 + b^2)
• Calcular Área Trapecio: área = ((B + b) * altura) / 2
• Calcular Área Círculo: área = PI * radio^2
• Perímetro Triángulo Isósceles: perímetro = 2 * a + b

Conversiones y Cálculos Prácticos

• Kg a lb: lb = kg * 2.20462
• Cálculo Promedio: promedio = (califi1 + califi2 + califi3 + califi4) / 4
• Conversión Kelvin a Fahrenheit:

Propiedades de las Funciones Trigonométricas

Seno

• Dominio: (-∞, ∞)
• Rango: [-1, 1]
• Continuidad: Continua
• Comportamiento: Creciente y decreciente por intervalos
• Clasificación: NO inyectiva, NO suprayectiva, NO biyectiva
• Periodo: Cada 2π
• Amplitud: 1
• Puntos de corte eje x: nπ

Coseno

• Dominio: (-∞, ∞)
• Rango: [-1, 1]
• Continuidad: Continua
• Comportamiento: Creciente y decreciente por intervalos
• Clasificación: NO inyectiva, NO suprayectiva, NO biyectiva
• Periodo: Cada 2π
• Amplitud: 1
• Puntos de corte eje x: nπ/2 (para n impares)

Tangente

• Dominio: (-∞, ∞) - {nπ/2, n pares}
• Rango: (-∞, ∞)
• Continuidad: Discontinua
• Comportamiento: Creciente
• Clasificación: NO inyectiva, Suprayectiva, NO biyectiva
• Periodo: Cada π
• Amplitud: N/A
• Puntos de corte eje x: nπ

Cotangente

• Dominio:

Conceptos Fundamentales de Sucesiones

Límite de una Sucesión

Una sucesión tiene límite A, siendo A un número real, cuando el valor absoluto de la diferencia de los términos con el límite es tan pequeño como se desee (se hace más pequeña a medida que aumentamos el orden de los términos).

Definición de Sucesión

Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales. Es fundamental que exista un orden entre sus elementos. Cada uno de los elementos de la sucesión se denomina término.

Término General de una Sucesión

El término general es una fórmula que permite calcular el valor de cualquier término de la sucesión en función de su orden (posición).

Tipos de Sucesiones Notables

Progresión Aritmética

Una sucesión es una Progresión

Propiedades Fundamentales de las Funciones

Simetría de Funciones

Una función f es simétrica respecto al eje de ordenadas (eje Y) si es una función par, es decir:

f(-x) = f(x)

Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:

f(-x) = -f(x)

Puntos de Corte con los Ejes

Para hallar los puntos de corte con los ejes de una función, se deben seguir los siguientes pasos:

• Corte con el eje Y: Se calcula f(0). El punto de corte es (0, f(0)).
• Corte con el eje X: Se iguala f(x) = 0 y se resuelven las raíces. Los puntos de corte son (x, 0) para cada raíz.

Ejemplo

Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

[Aquí iría un ejemplo de función para calcular sus puntos de corte]

Asíntotas de una Función

Las asíntotas... Continuar leyendo "Explorando Propiedades Clave de Funciones: Simetría, Asíntotas, Crecimiento y Extremos" »