Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Conceptos de Covarianza, Correlación y Determinación

Covarianza: Indica la dirección del movimiento de dos variables. (+): se mueven hacia el mismo lado; (-): se mueven en direcciones opuestas.

Correlación (r): Mide dirección y fuerza. Posee un rango estricto de -1 a 1. 0: No hay relación. 1 o -1: Relación casi perfecta (fuerte).

Determinación (r²): Rango de 0% a 100% (o de 0 a 1). El r² más alto siempre es el que mejor explica los datos.

Probabilidades en Tablas Bidimensionales

Simple: Un dato (un total de fila o columna) dividido por el Total General.

Conjunta ("Y"): La intersección exacta de una celda dividida por el Total General (ej. Juguetes Y Satisfecho).

Condicional ("Dado que", "Sabiendo que"): La intersección de la celda dividida... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística: Probabilidades y Distribución Normal en Excel" »

Límits Laterals

La relació entre els límits laterals i el límit en un punt a és:

• Si lim_x→a^- f(x) ≠ lim_x→a⁺ f(x) ⇒ No existeix lim_x→a f(x).
• Si lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L ⇒ lim_x→a f(x) = L.

Cal calcular límits laterals si:

• És una funció definida a trossos i s'estudia el límit en el punt de canvi.
• El límit resulta en una expressió del tipus k / 0 amb k ≠ 0 (per determinar si és +∞, -∞ o no existeix).

Indeterminacions

Indeterminació 0/0

Per resoldre indeterminacions del tipus 0/0, generalment cal factoritzar els polinomis del numerador i denominador i després simplificar els factors comuns.

Exemple:

lim_x→2 (2x - 4) / (x² - 4)

Si substituïm x = 2, obtenim: (2 · 2 - 4) / (2² - 4) = (4 - 4) / (4 - 4) = 0 / 0 (Indeterminació)... Continuar leyendo "Càlcul de Límits, Continuïtat i Asímptotes de Funcions" »

^{Medida de ángulos}

^{Un ángulo se puede medir en tres formas:}

1. En grados sexagesimales: la circunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada parte representa un ángulo –con el vértice en el centro de la circunferencia- de medida un grado sexagesimal, y se indica poniendo 10

2. En grados centesimales: la circunferencia se divide en 400 partes iguales. Cada parte representa un  ángulo –con el vértice en el centro de la circunferencia- de medida un grado centesimal, y se indica poniendo 1g

3. En radianes: un ángulo de medida 1 radián es un ángulo cuyo arco sobre la circunferencia tiene igual longitud que el radio de dicha circunferencia, y se indica poniendo 1 rd

^{Definición de seno, coseno y tangente}

^{Seno: de un ángulo agudo como el}

Definiciones Fundamentales en Álgebra Lineal

Autovalor y Autovector

Autovalor: Un escalar λ ∈ ℝ se dice un autovalor de una matriz A si y solo si existe al menos un vector no nulo x ∈ ℝⁿ tal que Ax = λx. Al vector x ∈ ℝⁿ no nulo se le llamará autovector de A asociado a λ.

Teorema 1: Criterio para Autovalores

Un λ ∈ ℝ es un autovalor de una matriz A_n×n si y solo si det(A - λI_n) = 0.

Demostración:

λ ∈ ℝ es un autovalor de A si y solo si existe x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ ℝⁿ, con x ≠ 0, tal que Ax = λx (1).

La ecuación matricial (1) puede escribirse como: Ax - λx = 0, lo que es equivalente a Ax - λI_nx = 0, y finalmente a (A - λI_n)x = 0 (2).

(2) es la ecuación matricial de un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones... Continuar leyendo "Autovalores, Autovectores y Diagonalización de Matrices: Conceptos Esenciales" »

Ejercicios de Interpretación Estadística con R-Commander

Cuál es la decisión del contraste:

La prueba t para muestras relacionadas resulta significativa (p > 0,01), indicando que la práctica serial mejora la adquisición de la necesidad motora (medida esta como el “tiempo empleado para completar un test de lanzamiento”). La decisión del contraste es: Existe asociación entre Habilidad Motora y Práctica Serial.

La hipótesis nula es:

El Índice de Masa Corporal (IMC) se correlaciona de forma significativa con el porcentaje graso en el subgrupo de las mujeres (coeficiente de correlación de Pearson = 0,75, p = 0,000). El índice de masa corporal no se correlaciona de forma significativa con el porcentaje graso, en mujeres.

Interpreta

Medidas de Posición

Medidas de Posición Central: La Media Aritmética

Las Medidas de Posición Central describen el comportamiento global de los datos, localizando el centro de la distribución de frecuencias y permitiendo identificar partes específicas de la población.

La Media Aritmética es la suma de los datos ponderados por las frecuencias relativas. Es sensible a los errores. Sus propiedades son:

• La media de las desviaciones respecto a la media es nula.
• Agrupación.
• Traslación y cambio de escala.

Media Geométrica y Media Armónica

La Media Geométrica es el producto de todos los valores y la raíz del total. Los valores de la variable deben ser positivos. Se utiliza para porcentajes, tasas y números índice.

La Media Armónica se utiliza... Continuar leyendo "Estadística Descriptiva: Conceptos Esenciales de Medidas" »

Tipos de Variables Estadísticas

Variables Cualitativas

Se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Estas se subdividen en:

• Variable Cualitativa Nominal

  Presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Ejemplos: **casado**, **soltero**, etc.

• Variable Cualitativa Ordinal

  Presenta modalidades no numéricas, en las que sí existe un criterio de orden. Ejemplos: **aprobado**, **reprobado**; o niveles de satisfacción (bajo, medio, alto).

Variables Cuantitativas

Una variable cuantitativa es aquella que se expresa mediante un número y, por tanto, se pueden realizar **operaciones aritméticas** con ella. Estas se clasifican en:

• Variable Discreta

  Es aquella que toma valores aislados, es decir, que

Teorema: T es diagnalzable↔Ct(x) cumple: 1)Todas las raıces de Ct(x) pertenecen a k. 2)Para cada raíz de Ct(x), se cumple: dimEλ = mλ. Demostración: Suponemos q T es diagnalzable y probamos q CT(x) cumple 1) y 2) T es diagonalizable↔ existe una base {e1,..,en} de E tal que la matriz de T es diagonal. Reordenando la base suponemos: (dibujo matriz A= landas en la diagnal princip y lo otro 0) ; (CA(x)= x-λ diag princip  = (x-λ1)^m1 * (x-λ2)^m2 * ...  Raíces:λ1,..,λn luego se cumple 1).   Vemos q cumple 2) mi=dimEλi . Lo probamos para λ1, para las demás es igual. DimEλ1 = dimKer(T−λ1) =dimE−dimIm(T−λ1Id)   T-λ1Id tiene matriz:(0 en todo menos diagonal principal λr-λ1, arriba a la izq tb es 0)  por tanto m1=... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Lineal y Teoría de Grafos: Demostraciones Clave de Diagonalización y Circuitos Eulerianos" »

Revisión y Solución de Conceptos de Álgebra: Productos Notables y Factorización

Verificación de Afirmaciones sobre Suma y Resta de Cubos

Verifique si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F):

• a) Se calcula la raíz cúbica de cada término (suma o resta de cubos).
• b) El segundo término del trinomio (de uno de los factores que se forman en la factorización) se le debe asignar el mismo signo de la operación original (si es suma, signo positivo; si es diferencia, signo negativo).
• c) Con respecto al trinomio mencionado, el signo del coeficiente numérico del tercer término siempre será positivo.

Respuesta: VFV

Verificación de Afirmaciones sobre Máximo Factor Común (MFC)

• a) Se toman los coeficientes de cada término y se efectúa