Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Isomorfismo y Grado de un Vértice

Dos grafos no orientados G1=(W1,F1) y G2=(W2,F2) diremos que son isomorfos si existe una aplicación biyectiva tal que: {v,w} ∈ F1 si y solo si {f(v),f(w)} ∈ F2.

Sea G=(W,F) un grafo no dirigido, llamaremos grado de un vértice al número de lados incidentes a dicho vértice. Lo denotaremos por gr(v).

Tipos de Grafos

Grafos Regulares y Completos

Un grafo se dice k-regular si todos sus vértices son de grado k.

Un grafo no orientado se dirá completo si cada vértice es adyacente con todos los demás; esto es, el grado de cada vértice es p-1, o lo que es lo mismo, es (p-1)-regular. Lo denotaremos por Kp.

Grafos Conexos y Distancia

Un grafo no orientado se dirá conexo si para cada par de vértices existe un camino... Continuar leyendo "Exploración de Conceptos Fundamentales en Teoría de Grafos" »

Calculadora Multifunción en C

Este programa en C permite realizar diferentes cálculos matemáticos a través de un menú interactivo. El acceso al menú está protegido por una clave. Una vez dentro, el usuario puede calcular la raíz cuadrada de una ecuación cuadrática, el factorial de un número impar entre 0 y 10, o sumar pares de números.

Código Fuente

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>

/*
Construir la aplicación que, ingresando la clave "santo",
permita mostrar un menú tantas veces como el usuario lo desee,
el cual debe calcular la raíz cuadrada, el factorial de un
número impar entre 0 y 10 y/o sumar n pares de números.
Finalmente, se debe ingresar el número

Aproximació Rectangular Superior

I = h * max(f(x_i), f(x_i+1)), on h = (b-a)/n.

Aproximació Rectangular Inferior

I = h * min(f(x_i), f(x_i+1))

Regla Composta del Trapezi

Amb n intervals, necessitem n+1 punts.

I = (h/2) * (f(x_i) + f(x_i+1))

Per a punts equiespaiats:

I = h * [(f(x₀)/2) + Σ_i=1^n-1 f(x_i) + (f(x_n)/2)]

Mètode de Simpson

Per a punts equiespaiats:

I = (h/3) * (f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂))

Per a punts no equiespaiats, amb m intervals, necessitem 2m+1 punts (m = n/2):

I = (h_i/3) * (f(x_2i-2) + 4f(x_2i-1) + f(x_2i))

Si són equiespaiats:

I = (h/3) * [f(x₀) + 2Σ_i=1^m-1 f(x_2i) + 4Σ_i=1^m f(x_2i-1) + f(x_2m)]

Estimació de l'Error

E_h/2 = |I_h/2 - I_h| / (2^p - 1)

On:

• p = 2 per a la regla del trapezi
• p = 4 per al mètode de Simpson

E_h/2 = |I_h/2 - I_exacte|

Zeros de Funcions: Mètode

Determinantes

Definición de Determinante

El determinante de una matriz $A$ de orden $n$, que simbolizamos $|A|$, se define como el número calculado de la siguiente suma relativa a los $n^2$ elementos de $A$: $|A|= \sum (\pm) a_{1i} a_{2j} \dots a_{nr}$.

En la suma hay $n!$ términos, y en cada término aparece uno y solo un elemento de cada fila y de cada columna de $A$. La definición de determinante implica que las únicas matrices que tienen determinantes asociadas con ellas son las matrices cuadradas. (FORMULA).

Sabemos que la matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas; en cambio, el determinante es un único número escalar.

Propiedades Fundamentales de los Determinantes

1. Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante:

La Función Exponencial Compleja

Como segunda aplicación de la teoría desarrollada en este tema, introducimos ahora una función cuyo extraordinario interés comprenderemos en el transcurso de la asignatura.

La definición que sigue tiene perfecto sentido ya que, dado z ∈ ℂ, la serie ∑ zⁿ/n! es absolutamente convergente, como se comprueba haciendo uso, por ejemplo, del criterio del cociente.

Definición 2.49

La función exp : ℂ → ℂ definida por:

exp(z) = 1 + ∑ zⁿ/n! para todo z ∈ ℂ,

recibe el nombre de función exponencial compleja.

De un modo más informal, exp(z) = 1 + z + z²/2! + z³/3! + ..., para todo z ∈ ℂ.

Ya habíamos advertido que si en alguna fórmula está implícita la expresión 0⁰, hemos de asignarle el... Continuar leyendo "Teoría y Propiedades de la Función Exponencial Compleja" »

Límites de Funciones de Varias Variables

Criterio Negativo: Si lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) a lo largo de la curva x = λy no existe o depende de λ, entonces el límite no existe.

Coordenadas Polares: x = a + rcosθ, y = b + rsenθ. Si el límite en coordenadas polares existe, es finito, no depende de θ y existe una función g(r) tal que |f(a + rcosθ, b + rsenθ) - L| ≤ g(r) y lim_r→0⁺ g(r) = 0, entonces el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L.

Derivadas Parciales y Diferenciabilidad

Gradiente

El gradiente de una función f es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f: ∇f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ...).

Matriz Jacobiana

La matriz jacobiana de una función f: Rⁿ → R^m es una matriz m x n donde cada fila... Continuar leyendo "Cálculo Avanzado: Límites, Derivadas, Extremos e Integrales Múltiples" »

Conceptos Fundamentales en Teoría de Control Avanzada

A continuación, se presentan nueve conceptos clave que diferencian la teoría de control moderna (multivariable) de la convencional, abordando temas cruciales como la controlabilidad, la observabilidad y la optimización dinámica mediante el Principio del Máximo de Pontryagin.

1. Contraste entre Control Moderno y Convencional

   La Teoría de Control Moderna (multivariable) contrasta con la Teoría de Control Convencional en que:

   R: La primera se aplica a sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO), que pueden ser lineales o no lineales, con parámetros variables o invariables en el tiempo, mientras que la segunda solo tiene aplicación en sistemas lineales, invariantes en el tiempo,

Transitorios en Circuitos Eléctricos

Ecuaciones de Primer Grado

• Solución natural: dx/dt + (1/Z)x = 0 → V(t) = k · e^(-t/Z)
• Solución particular: x = constante (aplicable tanto para voltaje v como para corriente i).
• Solución total: Hallar la constante k utilizando el menor valor del intervalo de tiempo t.

Ecuaciones de Segundo Grado

Ecuación diferencial característica: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω² x = 0

Solución Natural según el Amortiguamiento:

• Sobreamortiguamiento (α > ω): x(t) = k₁ · e^s₁t + k₂ · e^s₂t
• Críticamente amortiguada (α = ω): x(t) = k₁ · e^-αt + k₂ · t · e^-αt
• Subamortiguamiento (α < ω): x(t) = B₁ · e^-αt · cos(ω_d · t) + B₂ · e^-αt · sen(ω_d · t)
  • Donde ω_d = (ω² - α²)^1/2

Solución particular:... Continuar leyendo "Fundamentos de Circuitos Eléctricos: Transitorios, Sistemas Trifásicos y Máquinas" »

Evolució dels Mitjans de Comunicació

El Desenvolupament de la Premsa Popular de Gran Tiratge (1871-1914)

A finals del segle XIX i principis del XX, el periòdic es va convertir en un producte de consum habitual.

Factors i Característiques dels Progressos de la Premsa

Continuaven essent les mateixes que en etapes anteriors:

• Generalització de la instrucció.
• Democratització de la vida política.
• Urbanització creixent.
• Desenvolupament dels transports i mitjans de transmissió.
• Perfeccionament de les impremtes.
• La composició es revoluciona amb les màquines de compondre mecàniques.
• La fotografia, descoberta la primera meitat del segle XIX, va tenir la seva reproducció impresa molt més tard.

Progressos Formals dels Periòdics

Des d'un punt de vista... Continuar leyendo "Evolució dels Mitjans de Comunicació: De la Premsa al Segle XX" »

Examen de Enero 2012: Problemas Resueltos de Matemáticas Discretas

Problemas de Desarrollo

Problema 1: Grafos y Combinatoria

1. Demuestre que el número de grafos distintos que se pueden formar con 200 vértices y 50 aristas es:

   

   La expresión C(200, 2) (o (200 sobre 2)) representa las selecciones no ordenadas de un conjunto de 200 elementos, tomados en grupos de 2 elementos. Esto define todas las posibles aristas en un grafo completo con 200 vértices.

   

   Luego, se aplica la misma lógica, pero cambiando 200 por el número total de aristas posibles (C(200, 2)) y 2 por 50 (que es el número de aristas a seleccionar). Así es como se definen todos los grafos con 50 aristas.

   Proponga un ejemplo con 4 vértices y 5 aristas.

   Número de grafos que se pueden