Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Conceptos Fundamentales en Teoría de Control Avanzada

A continuación, se presentan nueve conceptos clave que diferencian la teoría de control moderna (multivariable) de la convencional, abordando temas cruciales como la controlabilidad, la observabilidad y la optimización dinámica mediante el Principio del Máximo de Pontryagin.

1. Contraste entre Control Moderno y Convencional

   La Teoría de Control Moderna (multivariable) contrasta con la Teoría de Control Convencional en que:

   R: La primera se aplica a sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO), que pueden ser lineales o no lineales, con parámetros variables o invariables en el tiempo, mientras que la segunda solo tiene aplicación en sistemas lineales, invariantes en el tiempo,

Transitorios en Circuitos Eléctricos

Ecuaciones de Primer Grado

• Solución natural: dx/dt + (1/Z)x = 0 → V(t) = k · e^(-t/Z)
• Solución particular: x = constante (aplicable tanto para voltaje v como para corriente i).
• Solución total: Hallar la constante k utilizando el menor valor del intervalo de tiempo t.

Ecuaciones de Segundo Grado

Ecuación diferencial característica: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω² x = 0

Solución Natural según el Amortiguamiento:

• Sobreamortiguamiento (α > ω): x(t) = k₁ · e^s₁t + k₂ · e^s₂t
• Críticamente amortiguada (α = ω): x(t) = k₁ · e^-αt + k₂ · t · e^-αt
• Subamortiguamiento (α < ω): x(t) = B₁ · e^-αt · cos(ω_d · t) + B₂ · e^-αt · sen(ω_d · t)
  • Donde ω_d = (ω² - α²)^1/2

Solución particular:... Continuar leyendo "Fundamentos de Circuitos Eléctricos: Transitorios, Sistemas Trifásicos y Máquinas" »

Evolució dels Mitjans de Comunicació

El Desenvolupament de la Premsa Popular de Gran Tiratge (1871-1914)

A finals del segle XIX i principis del XX, el periòdic es va convertir en un producte de consum habitual.

Factors i Característiques dels Progressos de la Premsa

Continuaven essent les mateixes que en etapes anteriors:

• Generalització de la instrucció.
• Democratització de la vida política.
• Urbanització creixent.
• Desenvolupament dels transports i mitjans de transmissió.
• Perfeccionament de les impremtes.
• La composició es revoluciona amb les màquines de compondre mecàniques.
• La fotografia, descoberta la primera meitat del segle XIX, va tenir la seva reproducció impresa molt més tard.

Progressos Formals dels Periòdics

Des d'un punt de vista... Continuar leyendo "Evolució dels Mitjans de Comunicació: De la Premsa al Segle XX" »

Examen de Enero 2012: Problemas Resueltos de Matemáticas Discretas

Problemas de Desarrollo

Problema 1: Grafos y Combinatoria

1. Demuestre que el número de grafos distintos que se pueden formar con 200 vértices y 50 aristas es:

   

   La expresión C(200, 2) (o (200 sobre 2)) representa las selecciones no ordenadas de un conjunto de 200 elementos, tomados en grupos de 2 elementos. Esto define todas las posibles aristas en un grafo completo con 200 vértices.

   

   Luego, se aplica la misma lógica, pero cambiando 200 por el número total de aristas posibles (C(200, 2)) y 2 por 50 (que es el número de aristas a seleccionar). Así es como se definen todos los grafos con 50 aristas.

   Proponga un ejemplo con 4 vértices y 5 aristas.

   Número de grafos que se pueden

Lógica Proposicional y Razonamiento

Problema

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(-2, 1) y es tangente a la recta de ecuación 3x - 2y - 6 = 0 en el punto B(4, 3).

SOLUCIÓN

1. Paso 1: Recta dada y recta perpendicular en B

   Llamemos a la recta dada L2. Buscamos la recta perpendicular que pasa por el punto B(4, 3).

   Buscamos la pendiente de L2:

   3x - 2y - 6 = 0 <=> 2y = 3x - 6 <> y = (3/2)x - 3.

   Por tanto, la pendiente de L2 es m2 = 3/2. La pendiente de la recta perpendicular es m1 = -1/m2 = -1/(3/2) = -2/3.

   La recta perpendicular a L2 que pasa por B tiene ecuación
   y - 3 = (-2/3)(x - 4) <=> y - 3 = -2/3 x + 8/3 <=> y = -2/3 x + 17/3.

   Denotaremos a esta recta perpendicular por L1.

2. Paso 2: Recta que une A y B, su perpendicular en el punto medio

   El

Ejercicios de Cálculo Integral Resueltos

Ejercicio 3

∫ (x-2) dx / (x²-4x+3)³

• u = x²-4x+3
• du = (2x-4) dx = 2(x-2) dx
• du/2 = (x-2) dx

∫ u⁻³ (du/2) = 1/2 ∫ u⁻³ du = 1/2 (u⁻² / -2) + C = -1 / [4(x²-4x+3)²] + C

Ejercicio 4

∫ x³ dx / (x²+4)⁴ = ∫ x² · x (x²+4)⁻⁴ dx

• u = x²+4 → du = 2x dx → du/2 = x dx
• x² = u-4

∫ (u-4) u⁻⁴ (du/2) = 1/2 ∫ (u⁻³ - 4u⁻⁴) du = 1/2 [u⁻²/-2 - 4(u⁻³/-3)] + C = -1/[4(x²+4)²] + 2/[3(x²+4)³] + C

Ejercicio 5

∫ (tan²x + cot²x + 4) dx = ∫ tan²x dx + ∫ cot²x dx + ∫ 4 dx

Utilizando identidades: ∫ (sec²x - 1) dx + ∫ (csc²x - 1) dx + ∫ 4 dx

Resultado: tan x - cot x + 2x + C

Ejercicio 2

∫ (2cot x - 3sen²x) / sen x dx = 2 ∫ (cot x / sen x) dx - 3 ∫ (sen²x / sen... Continuar leyendo "Resolución de Integrales: Ejercicios Resueltos Paso a Paso" »

Funciones Exponenciales: Conceptos Fundamentales

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x como f(x) = ax, donde a es la base y x es el exponente. Es importante que la base cumpla con las condiciones a > 0 y a ≠ 1.

Características de la Gráfica de f(x) = a^x

• Dominio: ℝ (todos los números reales)
• Rango: ℝ⁺ (todos los números reales positivos, es decir, (0, ∞))
• Asíntota Horizontal (AH): y = 0 (el eje x)
• Intersección con el eje x: No tiene.
• Intersección con el eje y: En el punto (0, 1).
• Inyectividad: Siempre es inyectiva.
• Sobreyectividad: Nunca es sobreyectiva (en su codominio ℝ).

Transformaciones de Funciones Exponenciales

Función Exponencial con una Constante Sumada

La función se expresa como y =

Equilibrio de Fases - Bloque I: Termodinámica

1. Introducción

Fases: estados de agregación de la materia: sólido, líquido y gas (vapor).

Interfases: fases "inmiscibles": L-V, L-L, S-L, S-S, S-V.

Equilibrio: propiedades macroscópicas estáticas; suposición frecuente en ingeniería; cambios a escala microscópica (molecular).

Equilibrio en un sistema monofásico: Temperatura (T), Presión (P) y Concentración (C) homogéneas.

Equilibrio en un sistema multifásico: T homogénea, P homogénea, C homogénea en cada fase, diferente composición en las distintas fases.

Medida de la composición:

• Concentración molar (C_i = n_i/V)
• Concentración másica (M_i = m_i/V)
• Fracción molar (x_i = n_i/n_t)
• Fracción másica (X_i = m_i/m_t)

2. Condiciones de Equilibrio de

1. Estimación de un Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (μ) con Muestras Grandes (n ≥ 30)

Cuando se tiene una muestra grande (n ≥ 30), la media muestral (x̄) sigue una distribución normal:

x̄ ~ N(μ, σ²/n)

Donde:

• μ es la media poblacional.
• σ es la desviación estándar poblacional.
• n es el tamaño de la muestra.

Si estandarizamos la media muestral, obtenemos una distribución normal estándar (Z):

(x̄ - μ) / (σ/√n) = Z ~ N(0, 1)

El nivel de confianza (1 - α) representa la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero valor del parámetro poblacional a estimar.

Pasos para construir el intervalo de confianza:

1. P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1 - α
2. P(-Z_α/2 < (x̄ - μ) / (σ/√n) < Z_α/2) = 1 - α
3. P(