Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Lógica Proposicional y Razonamiento

Problema

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(-2, 1) y es tangente a la recta de ecuación 3x - 2y - 6 = 0 en el punto B(4, 3).

SOLUCIÓN

1. Paso 1: Recta dada y recta perpendicular en B

   Llamemos a la recta dada L2. Buscamos la recta perpendicular que pasa por el punto B(4, 3).

   Buscamos la pendiente de L2:

   3x - 2y - 6 = 0 <=> 2y = 3x - 6 <> y = (3/2)x - 3.

   Por tanto, la pendiente de L2 es m2 = 3/2. La pendiente de la recta perpendicular es m1 = -1/m2 = -1/(3/2) = -2/3.

   La recta perpendicular a L2 que pasa por B tiene ecuación
   y - 3 = (-2/3)(x - 4) <=> y - 3 = -2/3 x + 8/3 <=> y = -2/3 x + 17/3.

   Denotaremos a esta recta perpendicular por L1.

2. Paso 2: Recta que une A y B, su perpendicular en el punto medio

   El

Ejercicios de Cálculo Integral Resueltos

Ejercicio 3

∫ (x-2) dx / (x²-4x+3)³

• u = x²-4x+3
• du = (2x-4) dx = 2(x-2) dx
• du/2 = (x-2) dx

∫ u⁻³ (du/2) = 1/2 ∫ u⁻³ du = 1/2 (u⁻² / -2) + C = -1 / [4(x²-4x+3)²] + C

Ejercicio 4

∫ x³ dx / (x²+4)⁴ = ∫ x² · x (x²+4)⁻⁴ dx

• u = x²+4 → du = 2x dx → du/2 = x dx
• x² = u-4

∫ (u-4) u⁻⁴ (du/2) = 1/2 ∫ (u⁻³ - 4u⁻⁴) du = 1/2 [u⁻²/-2 - 4(u⁻³/-3)] + C = -1/[4(x²+4)²] + 2/[3(x²+4)³] + C

Ejercicio 5

∫ (tan²x + cot²x + 4) dx = ∫ tan²x dx + ∫ cot²x dx + ∫ 4 dx

Utilizando identidades: ∫ (sec²x - 1) dx + ∫ (csc²x - 1) dx + ∫ 4 dx

Resultado: tan x - cot x + 2x + C

Ejercicio 2

∫ (2cot x - 3sen²x) / sen x dx = 2 ∫ (cot x / sen x) dx - 3 ∫ (sen²x / sen... Continuar leyendo "Resolución de Integrales: Ejercicios Resueltos Paso a Paso" »

Funciones Exponenciales: Conceptos Fundamentales

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x como f(x) = ax, donde a es la base y x es el exponente. Es importante que la base cumpla con las condiciones a > 0 y a ≠ 1.

Características de la Gráfica de f(x) = a^x

• Dominio: ℝ (todos los números reales)
• Rango: ℝ⁺ (todos los números reales positivos, es decir, (0, ∞))
• Asíntota Horizontal (AH): y = 0 (el eje x)
• Intersección con el eje x: No tiene.
• Intersección con el eje y: En el punto (0, 1).
• Inyectividad: Siempre es inyectiva.
• Sobreyectividad: Nunca es sobreyectiva (en su codominio ℝ).

Transformaciones de Funciones Exponenciales

Función Exponencial con una Constante Sumada

La función se expresa como y =

Equilibrio de Fases - Bloque I: Termodinámica

1. Introducción

Fases: estados de agregación de la materia: sólido, líquido y gas (vapor).

Interfases: fases "inmiscibles": L-V, L-L, S-L, S-S, S-V.

Equilibrio: propiedades macroscópicas estáticas; suposición frecuente en ingeniería; cambios a escala microscópica (molecular).

Equilibrio en un sistema monofásico: Temperatura (T), Presión (P) y Concentración (C) homogéneas.

Equilibrio en un sistema multifásico: T homogénea, P homogénea, C homogénea en cada fase, diferente composición en las distintas fases.

Medida de la composición:

• Concentración molar (C_i = n_i/V)
• Concentración másica (M_i = m_i/V)
• Fracción molar (x_i = n_i/n_t)
• Fracción másica (X_i = m_i/m_t)

2. Condiciones de Equilibrio de

1. Estimación de un Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (μ) con Muestras Grandes (n ≥ 30)

Cuando se tiene una muestra grande (n ≥ 30), la media muestral (x̄) sigue una distribución normal:

x̄ ~ N(μ, σ²/n)

Donde:

• μ es la media poblacional.
• σ es la desviación estándar poblacional.
• n es el tamaño de la muestra.

Si estandarizamos la media muestral, obtenemos una distribución normal estándar (Z):

(x̄ - μ) / (σ/√n) = Z ~ N(0, 1)

El nivel de confianza (1 - α) representa la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero valor del parámetro poblacional a estimar.

Pasos para construir el intervalo de confianza:

1. P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1 - α
2. P(-Z_α/2 < (x̄ - μ) / (σ/√n) < Z_α/2) = 1 - α
3. P(

Conceptos Fundamentales de Matrices

Matriz Traspuesta

Se define como la matriz de orden M x N que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de una matriz A de orden N x M.

Matriz Simétrica

Es una matriz cuadrada que es exactamente igual a su traspuesta (A = A^t).

Sistemas de Ecuaciones y Espacios Vectoriales

Sistemas Homogéneos

Un sistema homogéneo siempre tiene solución (al menos la solución trivial) y será un SCD (Sistema Compatible Determinado) si dicha solución es única.

Subespacios Vectoriales

Sea (V, +, ·, ℝ) un espacio vectorial y F un subconjunto de V. Se dice que F es un subespacio vectorial de V si F tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones definidas en V; es decir, (F, +, ·, ℝ).

Combinación Lineal

Sea... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices, Espacios Vectoriales y Autovalores" »

• Sistemas de ecuaciones

- **rg(A)=rg(A*) SCD** (1 sol.)

- **rg(A)=rg(A*)**

param. n-rg(A)= G.libertad

- **rg(A)≠rg(A*) SI** (0 sol.)

• Factorización LU

2f₂ -(-f₁) f₃-(-1/6f₂)

f₃-1/2f₁

m1=(-1)

m2=1/2

m3=-1/6

L*U=A

• Gram-Schmidt (ortogonalización)

• Diagonalización

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP(haciendo ceros diagonal inferior) ->(a,b),(c,d) 4)

D=P^-1AP

• Diagonalización ortogonal (Gram-Schmidt)

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP 4) aplicar G-S a los VEP 5) D=P^-1AP

• Autoespacios generalizados

-Tras obtener los valores de λ:

λ₁=a m=n

λ₂=b m=p *calcular el sistema n+1, p+1 (un orden más que la multiplicidad). Obtiene la base de vectores.

• Teorema de la descomposición primaria

- Base de autovectores generalizados justo hasta la multiplicidad.... Continuar leyendo "Resumen Completo de Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales" »

Determinación del Número de Contactos y Tasa de Incidencia

El cálculo de la muestra requiere la determinación precisa del número de contactos necesarios, basado en la tasa de incidencia.

Conceptos Clave de Incidencia

• Incidencia Bruta: Porcentaje de uso del producto entre la población que se va a contactar.
• Incidencia Meta: Incidencia bruta disminuida por las cualificaciones específicas de cada factor (se resta).

Fórmula General: Total de contactos = Total de personas aptas. A menor incidencia, menor es el número de contactos requeridos.

Desafíos en la Obtención de Información

Los métodos de recolección de datos (entrevistas telefónicas, por correo o a domicilio) impactan directamente en varios aspectos críticos de la investigación:... Continuar leyendo "Fundamentos de Muestreo e Incidencia: Métodos y Control de Errores en Investigación de Mercados" »