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Problema

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(-2, 1) y es tangente a la recta de ecuación 3x - 2y - 6 = 0 en el punto B(4, 3).

SOLUCIÓN

1. Paso 1: Recta dada y recta perpendicular en B

   Llamemos a la recta dada L2. Buscamos la recta perpendicular que pasa por el punto B(4, 3).

   Buscamos la pendiente de L2:

   3x - 2y - 6 = 0 <=> 2y = 3x - 6 <> y = (3/2)x - 3.

   Por tanto, la pendiente de L2 es m2 = 3/2. La pendiente de la recta perpendicular es m1 = -1/m2 = -1/(3/2) = -2/3.

   La recta perpendicular a L2 que pasa por B tiene ecuación
   y - 3 = (-2/3)(x - 4) <=> y - 3 = -2/3 x + 8/3 <=> y = -2/3 x + 17/3.

   Denotaremos a esta recta perpendicular por L1.

2. Paso 2: Recta que une A y B, su perpendicular en el punto medio

   El

Ejercicios de Cálculo Integral Resueltos

Ejercicio 3

∫ (x-2) dx / (x²-4x+3)³

• u = x²-4x+3
• du = (2x-4) dx = 2(x-2) dx
• du/2 = (x-2) dx

∫ u⁻³ (du/2) = 1/2 ∫ u⁻³ du = 1/2 (u⁻² / -2) + C = -1 / [4(x²-4x+3)²] + C

Ejercicio 4

∫ x³ dx / (x²+4)⁴ = ∫ x² · x (x²+4)⁻⁴ dx

• u = x²+4 → du = 2x dx → du/2 = x dx
• x² = u-4

∫ (u-4) u⁻⁴ (du/2) = 1/2 ∫ (u⁻³ - 4u⁻⁴) du = 1/2 [u⁻²/-2 - 4(u⁻³/-3)] + C = -1/[4(x²+4)²] + 2/[3(x²+4)³] + C

Ejercicio 5

∫ (tan²x + cot²x + 4) dx = ∫ tan²x dx + ∫ cot²x dx + ∫ 4 dx

Utilizando identidades: ∫ (sec²x - 1) dx + ∫ (csc²x - 1) dx + ∫ 4 dx

Resultado: tan x - cot x + 2x + C

Ejercicio 2

∫ (2cot x - 3sen²x) / sen x dx = 2 ∫ (cot x / sen x) dx - 3 ∫ (sen²x / sen... Continuar leyendo "Resolución de Integrales: Ejercicios Resueltos Paso a Paso" »

Funciones Exponenciales: Conceptos Fundamentales

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x como f(x) = ax, donde a es la base y x es el exponente. Es importante que la base cumpla con las condiciones a > 0 y a ≠ 1.

Características de la Gráfica de f(x) = a^x

• Dominio: ℝ (todos los números reales)
• Rango: ℝ⁺ (todos los números reales positivos, es decir, (0, ∞))
• Asíntota Horizontal (AH): y = 0 (el eje x)
• Intersección con el eje x: No tiene.
• Intersección con el eje y: En el punto (0, 1).
• Inyectividad: Siempre es inyectiva.
• Sobreyectividad: Nunca es sobreyectiva (en su codominio ℝ).

Transformaciones de Funciones Exponenciales

Función Exponencial con una Constante Sumada

La función se expresa como y =

Equilibrio de Fases - Bloque I: Termodinámica

1. Introducción

Fases: estados de agregación de la materia: sólido, líquido y gas (vapor).

Interfases: fases "inmiscibles": L-V, L-L, S-L, S-S, S-V.

Equilibrio: propiedades macroscópicas estáticas; suposición frecuente en ingeniería; cambios a escala microscópica (molecular).

Equilibrio en un sistema monofásico: Temperatura (T), Presión (P) y Concentración (C) homogéneas.

Equilibrio en un sistema multifásico: T homogénea, P homogénea, C homogénea en cada fase, diferente composición en las distintas fases.

Medida de la composición:

• Concentración molar (C_i = n_i/V)
• Concentración másica (M_i = m_i/V)
• Fracción molar (x_i = n_i/n_t)
• Fracción másica (X_i = m_i/m_t)

2. Condiciones de Equilibrio de

1. Estimación de un Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (μ) con Muestras Grandes (n ≥ 30)

Cuando se tiene una muestra grande (n ≥ 30), la media muestral (x̄) sigue una distribución normal:

x̄ ~ N(μ, σ²/n)

Donde:

• μ es la media poblacional.
• σ es la desviación estándar poblacional.
• n es el tamaño de la muestra.

Si estandarizamos la media muestral, obtenemos una distribución normal estándar (Z):

(x̄ - μ) / (σ/√n) = Z ~ N(0, 1)

El nivel de confianza (1 - α) representa la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero valor del parámetro poblacional a estimar.

Pasos para construir el intervalo de confianza:

1. P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1 - α
2. P(-Z_α/2 < (x̄ - μ) / (σ/√n) < Z_α/2) = 1 - α
3. P(

Conceptos Fundamentales de Matrices

Matriz Traspuesta

Se define como la matriz de orden M x N que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de una matriz A de orden N x M.

Matriz Simétrica

Es una matriz cuadrada que es exactamente igual a su traspuesta (A = A^t).

Sistemas de Ecuaciones y Espacios Vectoriales

Sistemas Homogéneos

Un sistema homogéneo siempre tiene solución (al menos la solución trivial) y será un SCD (Sistema Compatible Determinado) si dicha solución es única.

Subespacios Vectoriales

Sea (V, +, ·, ℝ) un espacio vectorial y F un subconjunto de V. Se dice que F es un subespacio vectorial de V si F tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones definidas en V; es decir, (F, +, ·, ℝ).

Combinación Lineal

Sea... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices, Espacios Vectoriales y Autovalores" »

• Sistemas de ecuaciones

- **rg(A)=rg(A*) SCD** (1 sol.)

- **rg(A)=rg(A*)**

param. n-rg(A)= G.libertad

- **rg(A)≠rg(A*) SI** (0 sol.)

• Factorización LU

2f₂ -(-f₁) f₃-(-1/6f₂)

f₃-1/2f₁

m1=(-1)

m2=1/2

m3=-1/6

L*U=A

• Gram-Schmidt (ortogonalización)

• Diagonalización

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP(haciendo ceros diagonal inferior) ->(a,b),(c,d) 4)

D=P^-1AP

• Diagonalización ortogonal (Gram-Schmidt)

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP 4) aplicar G-S a los VEP 5) D=P^-1AP

• Autoespacios generalizados

-Tras obtener los valores de λ:

λ₁=a m=n

λ₂=b m=p *calcular el sistema n+1, p+1 (un orden más que la multiplicidad). Obtiene la base de vectores.

• Teorema de la descomposición primaria

- Base de autovectores generalizados justo hasta la multiplicidad.... Continuar leyendo "Resumen Completo de Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales" »

Determinación del Número de Contactos y Tasa de Incidencia

El cálculo de la muestra requiere la determinación precisa del número de contactos necesarios, basado en la tasa de incidencia.

Conceptos Clave de Incidencia

• Incidencia Bruta: Porcentaje de uso del producto entre la población que se va a contactar.
• Incidencia Meta: Incidencia bruta disminuida por las cualificaciones específicas de cada factor (se resta).

Fórmula General: Total de contactos = Total de personas aptas. A menor incidencia, menor es el número de contactos requeridos.

Desafíos en la Obtención de Información

Los métodos de recolección de datos (entrevistas telefónicas, por correo o a domicilio) impactan directamente en varios aspectos críticos de la investigación:... Continuar leyendo "Fundamentos de Muestreo e Incidencia: Métodos y Control de Errores en Investigación de Mercados" »

Muestreo Aleatorio Simple

El muestreo aleatorio simple es un método probabilístico cuya realización exige la existencia de un marco muestral. Una vez localizado, se asigna un número de identificación a cada unidad de la población para, después, proceder a la extracción obligatoria de los integrantes de la muestra.

La selección muestral se puede hacer siguiendo una tabla de números aleatorios mediante un programa de ordenador que garantice que:

• Equiprobabilidad: Cada unidad de la población tenga una probabilidad igual de participar en la muestra; esta probabilidad viene determinada por la fracción de muestreo.
• Aleatoriedad: La selección muestral sea aleatoria hasta alcanzar el tamaño muestral fijado.

La elección de las unidades muestrales... Continuar leyendo "Técnicas de Muestreo Probabilístico: Métodos y Aplicaciones" »

A continuación, se presenta una guía práctica para la elaboración de asientos contables relacionados con las órdenes de producción. Es importante seguir estos pasos con precisión para asegurar la correcta gestión de los costos.

Pasos para la Elaboración de Asientos Contables

1. Verificación de la Depreciación: Escribir 'SI' (con sangría desde la depreciación hacia abajo).
2. Sumar Totales: Asegurarse de que los totales sean iguales.

Asientos Contables Específicos

1. Primer Asiento: Compra de Materia Prima

• Debe (Izquierda): Almacén de Materia Prima
• Haber (Derecha): Proveedores (a crédito)

2. Segundo Asiento: Consumo de Materia Prima

• Debe (Izquierda): Valores de cada orden
• Debe (Izquierda): Cargo Indirecto (carácter indirecto)
• Haber (Derecha)