Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Endomorfismo y Dependencia Lineal de Vectores Base

Consideremos un endomorfismo f: E → E en un espacio vectorial de dimensión finita E. Si tenemos una base {e₁, e₂} tal que:

• f(e₁) = λ₁e₁
• f(e₂) = λ₂e₂

Supongamos que e₁ y e₂ son linealmente dependientes. Esto implica que existe un escalar α ≠ 0 tal que e₁ = αe₂.

Aplicando el endomorfismo f a e₁:

• f(e₁) = λ₁e₁ = λ₁(αe₂) = αλ₁e₂
• f(e₁) = f(αe₂) = αf(e₂) = α(λ₂e₂) = αλ₂e₂

Igualando ambas expresiones para f(e₁), obtenemos:

αλ₁e₂ = αλ₂e₂

Dado que α ≠ 0 y e₂ es un vector base (por lo tanto, no nulo), podemos simplificar para obtener:

λ₁ = λ₂

Esta conclusión contradice la suposición inicial de que e₁ y e₂ son... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales de Endomorfismos y Matrices en Álgebra Lineal" »

MEDIA: (t) yi= xi -a/b (a valor central, ni alto se coge xi; b dife. entre xi y m.c.d) ; yi.ni ; (no t): y= Eyi. ni/N ; x = a+ b.y 1. La suma de los desvíos de una variable con respecto a su media es 0: Se llaman desvíos de la variable respecto a la media (d_i) a las diferencias entre los valores de la variable y su media ( di=xi - x): X= E xi.ni/N= E di.ni= E (xi - x).ni= E (xi.ni - x.ni) = E xi.ni - E x. ni = Exi.ni - x Eni= E xi.ni - (Exi.ni/N) .N = E xi.ni - Exi.ni = 0 --> E a.xi + E b.yi = a Exi + b Eyi. 2. La suma de los desvíos de una variable al cuadrado es mínima cuando dichos desvíos están calculados respecto a la media: di= xi - x ; di^'= xi - a (siendo a un valor central) ; E (xi - a)² .ni ,, mínima para a = X. 3.... Continuar leyendo "Propiedades Estadísticas Clave: Media, Varianza y Moda" »

Isomorfismo y Grado de un Vértice

Dos grafos no orientados G1=(W1,F1) y G2=(W2,F2) diremos que son isomorfos si existe una aplicación biyectiva tal que: {v,w} ∈ F1 si y solo si {f(v),f(w)} ∈ F2.

Sea G=(W,F) un grafo no dirigido, llamaremos grado de un vértice al número de lados incidentes a dicho vértice. Lo denotaremos por gr(v).

Tipos de Grafos

Grafos Regulares y Completos

Un grafo se dice k-regular si todos sus vértices son de grado k.

Un grafo no orientado se dirá completo si cada vértice es adyacente con todos los demás; esto es, el grado de cada vértice es p-1, o lo que es lo mismo, es (p-1)-regular. Lo denotaremos por Kp.

Grafos Conexos y Distancia

Un grafo no orientado se dirá conexo si para cada par de vértices existe un camino... Continuar leyendo "Exploración de Conceptos Fundamentales en Teoría de Grafos" »

Calculadora Multifunción en C

Este programa en C permite realizar diferentes cálculos matemáticos a través de un menú interactivo. El acceso al menú está protegido por una clave. Una vez dentro, el usuario puede calcular la raíz cuadrada de una ecuación cuadrática, el factorial de un número impar entre 0 y 10, o sumar pares de números.

Código Fuente

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>

/*
Construir la aplicación que, ingresando la clave "santo",
permita mostrar un menú tantas veces como el usuario lo desee,
el cual debe calcular la raíz cuadrada, el factorial de un
número impar entre 0 y 10 y/o sumar n pares de números.
Finalmente, se debe ingresar el número

Aproximació Rectangular Superior

I = h * max(f(x_i), f(x_i+1)), on h = (b-a)/n.

Aproximació Rectangular Inferior

I = h * min(f(x_i), f(x_i+1))

Regla Composta del Trapezi

Amb n intervals, necessitem n+1 punts.

I = (h/2) * (f(x_i) + f(x_i+1))

Per a punts equiespaiats:

I = h * [(f(x₀)/2) + Σ_i=1^n-1 f(x_i) + (f(x_n)/2)]

Mètode de Simpson

Per a punts equiespaiats:

I = (h/3) * (f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂))

Per a punts no equiespaiats, amb m intervals, necessitem 2m+1 punts (m = n/2):

I = (h_i/3) * (f(x_2i-2) + 4f(x_2i-1) + f(x_2i))

Si són equiespaiats:

I = (h/3) * [f(x₀) + 2Σ_i=1^m-1 f(x_2i) + 4Σ_i=1^m f(x_2i-1) + f(x_2m)]

Estimació de l'Error

E_h/2 = |I_h/2 - I_h| / (2^p - 1)

On:

• p = 2 per a la regla del trapezi
• p = 4 per al mètode de Simpson

E_h/2 = |I_h/2 - I_exacte|

Zeros de Funcions: Mètode

Segunda forma fundamental de una superficie

Sea la superficie x(u,v) = x(&,λ) continua y diferenciable, y sobre ella la curva dada por la ecuación R = R(s). El vector normal a la superficie en un punto P de la curva se define como n.

En el punto P se define el vector curvatura k = k·N, que se descompone en dos vectores:

• Un vector normal a la superficie (curvatura normal).
• Un vector sobre la línea de proyección del vector curvatura sobre el plano tangente a la superficie en el punto P (curvatura tangencial).

La segunda forma fundamental se define como el producto escalar de estos dos vectores y representa la curvatura de la superficie:

II(du, dv) = -dx · dn

Desarrollo

Descomponiendo dx en función de los parámetros de la superficie:

dx = X_u·du

Determinantes

Definición de Determinante

El determinante de una matriz $A$ de orden $n$, que simbolizamos $|A|$, se define como el número calculado de la siguiente suma relativa a los $n^2$ elementos de $A$: $|A|= \sum (\pm) a_{1i} a_{2j} \dots a_{nr}$.

En la suma hay $n!$ términos, y en cada término aparece uno y solo un elemento de cada fila y de cada columna de $A$. La definición de determinante implica que las únicas matrices que tienen determinantes asociadas con ellas son las matrices cuadradas. (FORMULA).

Sabemos que la matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas; en cambio, el determinante es un único número escalar.

Propiedades Fundamentales de los Determinantes

1. Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante:

La Función Exponencial Compleja

Como segunda aplicación de la teoría desarrollada en este tema, introducimos ahora una función cuyo extraordinario interés comprenderemos en el transcurso de la asignatura.

La definición que sigue tiene perfecto sentido ya que, dado z ∈ ℂ, la serie ∑ zⁿ/n! es absolutamente convergente, como se comprueba haciendo uso, por ejemplo, del criterio del cociente.

Definición 2.49

La función exp : ℂ → ℂ definida por:

exp(z) = 1 + ∑ zⁿ/n! para todo z ∈ ℂ,

recibe el nombre de función exponencial compleja.

De un modo más informal, exp(z) = 1 + z + z²/2! + z³/3! + ..., para todo z ∈ ℂ.

Ya habíamos advertido que si en alguna fórmula está implícita la expresión 0⁰, hemos de asignarle el... Continuar leyendo "Teoría y Propiedades de la Función Exponencial Compleja" »

Límites de Funciones de Varias Variables

Criterio Negativo: Si lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) a lo largo de la curva x = λy no existe o depende de λ, entonces el límite no existe.

Coordenadas Polares: x = a + rcosθ, y = b + rsenθ. Si el límite en coordenadas polares existe, es finito, no depende de θ y existe una función g(r) tal que |f(a + rcosθ, b + rsenθ) - L| ≤ g(r) y lim_r→0⁺ g(r) = 0, entonces el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L.

Derivadas Parciales y Diferenciabilidad

Gradiente

El gradiente de una función f es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f: ∇f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ...).

Matriz Jacobiana

La matriz jacobiana de una función f: Rⁿ → R^m es una matriz m x n donde cada fila... Continuar leyendo "Cálculo Avanzado: Límites, Derivadas, Extremos e Integrales Múltiples" »

Conceptos Fundamentales en Teoría de Control Avanzada

A continuación, se presentan nueve conceptos clave que diferencian la teoría de control moderna (multivariable) de la convencional, abordando temas cruciales como la controlabilidad, la observabilidad y la optimización dinámica mediante el Principio del Máximo de Pontryagin.

1. Contraste entre Control Moderno y Convencional

   La Teoría de Control Moderna (multivariable) contrasta con la Teoría de Control Convencional en que:

   R: La primera se aplica a sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO), que pueden ser lineales o no lineales, con parámetros variables o invariables en el tiempo, mientras que la segunda solo tiene aplicación en sistemas lineales, invariantes en el tiempo,