Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Análisis de Continuidad y Derivabilidad de una Función Definida a Tramos

Sea la función f(x) = x² + x si x<0 ; x/x+1 si x ≥ 0

a) La función x² + x es continua y derivable para x < 0; la función x/x+1 es, también, continua y derivable para x ≥ 0. Vamos a estudiar si la función f(x) es continua y derivable en x = 0.

Lím de x tiende a 0 por la izquierda de (x² +x) = 0. Lím de x tiende a 0 por la derecha de x/x+1 = 0; f(0) = lím de x tiende a 0 de f(x) = 0. Continua en x=0.

Calculamos la función derivada: f’(x) = 2x+1 si x<0 ; 1/(x+1)² si x>0.

f’(0izquierda) = 1. f’(0derecha) =1 ; f’(0izquierda) = f’(0derecha) ; Es derivable en x=0.

Luego la función f(x) es continua y derivable en R.

b) Vamos a ver si tiene asíntota... Continuar leyendo "Análisis de Funciones, Contaminación Atmosférica y Optimización de Beneficios" »

TVM (Tasa de Variación Media)

Definición y Cálculo

TVM se define como el cambio promedio en una función sobre un intervalo dado. La fórmula general es:

TVM[a,b] = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Ejemplo:

Calcular la TVM de f(x) = 1/x en el intervalo [1,3]:

TVM[1,3] = (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (1/3 - 1/1) / 2 = -1/3

También se puede calcular la TVM usando intervalos de la forma [a, a+h]:

TVM[a, a+h] = (f(a+h) - f(a)) / h

Ejemplo con Intervalo [a, a+h]

Calcular la TVM de f(x) = -x^2 + 5x - 3 en el intervalo [1, 1+h]:

TVM[1, 1+h] = (f(1+h) - f(1)) / h

= (-(1+h)^2 + 5(1+h) - 3 - (-1^2 + 5(1) - 3)) / h

= (3 - h) / h

Esta expresión final permite sustituir diferentes valores de h para obtener la TVM en intervalos cercanos a 1.

Derivada por Definición

La derivada... Continuar leyendo "Guía de Cálculo: Derivadas, TVM y Optimización de Funciones" »

Parábola, Elipse e Hipérbola: Ecuaciones y Elementos

Parábola

Ecuaciones con vértice en el origen cuando la parábola está hacia la derecha:

y²=4px

Elementos:

• "izquierda"
• El parámetro se determina con las ecuaciones que te dan:

y²=-4px

• "arriba"
• Ejemplo: x²=-4py

y²=10x p=10

• "abajo"

y²=4px

4x²=-4py

El lado recto vale 4p.

Ecuaciones de parábola con v(h,k)

• Vertical: (x-h)²=4p(y-k)
• Horizontal: (y-h)²=4p(x-k)

Fórmulas:

• Horizontal: ax²+bx+y+c=0 y=ax²+bx+c
• Vertical: ay²+by+x+c=0 x=ay²+by+c

Elipse

Ecuación canónica cuando está en el origen:

x²/a² + y²/b² =1

Elementos:

• Focos: (+ C,0)
• Excentricidad: c/a
• Eje mayor=2a
• LR= 2b²/

Galicia a fins da Idade Media

Concorda un certo número de historiadores en sinalar o século XV como un momento determinante na historia do noso país. E isto por un dobre motivo: porque os acontecementos que nesa época tiveron lugar determinan a súa proxección durante a Idade Moderna; e porque a denominada por eles "frustración do século XV" viría condicionar o devir de Galicia ata a actualidade.

O Reino de Galicia na Coroa de Castela

En 1230, Fernando III reuniu definitivamente, baixo un só cetro, os territorios de Galicia-León e Castela. Ademais, a acción conquistadora permitiulle ao monarca ampliar os seus dominios logo da toma de Córdoba e Sevilla. A partir dese momento, tan só o reino de Granada ía permanecer, ata 1492, como... Continuar leyendo "Galicia na Baixa Idade Media: Crise, Transformación e Resistencia Cultural" »

Propiedades de los determinantes:

1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.
2. Si una matriz cuadrada tiene una fila/columna de ceros, su determinante es 0.
3. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es 0.
4. Si una matriz cuadrada tiene dos filas proporcionales, su determinante es 0.
5. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, su determinante es 0.
6. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
7. Si hay una suma en un determinante, se puede separar en dos determinantes y sumarlos.

Continuidad

Límite por la derecha y límite por la izquierda, si son iguales hay continuidad sino no.

Teorema de Bolzano

Te da una función y tienes que decir dónde es continua y que es continua en el punto que él te ha dado. Sustituyes el punto que tienes en la función del ejercicio, si te dan valores de distinto signo, existe un punto C en el intervalo abierto del punto que tienes en el que se anula la función por lo que sí que se cumple.

Funciones

1º sacamos el dominio. 2º los puntos de corte, en el eje X (y = 0) y sustituyes en la función 0 donde haya y, y en el eje OY (x = 0) y sustituyes en la función 0 donde haya X y esto te da un punto. 3º hacer las asíntotas (verticales), hay que hacer el límite de lo que haya dado el dominio,... Continuar leyendo "Teorema de Bolzano y funciones matemáticas" »

Características da Sociedade Galega do Século XIX

Sinala 4 características da sociedade galega do século XIX: Galicia no século XIX é un país eminentemente rural, cunha economía precapitalista, case exclusivamente agraria e mariñeira. A propiedade da terra segue a articularse arredor dos foros (situación que non modificará a desamortización) e un réxime de minifundio.

A Emigración como Factor Demográfico

Por que a emigración foi un factor demográfico determinante? Só nos 10 anos que transcorren entre 1885-1895, abandonaron Galicia rumbo a países como Arxentina, Uruguai, Cuba ou Brasil máis de 165.000 persoas. Aínda que houbo quen fixo fortuna, a meirande parte dos emigrantes volvían avellentados e case tan pobres como marcharan.... Continuar leyendo "Sociedade Galega do Século XIX e Rexurdimento: Características e Figuras" »

Parábola

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija l, llamada directriz y un punto fijo f, llamado foco. El vértice de la parábola es el punto medio del segmento cuyos extremos son el foco y la intersección del eje de simetría con la directriz.

Eje de simetría o focal

Recta con respecto a la cual una de las ramas de la parábola es el simétrico de la otra.

Vértice

Punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría.

Lado recto

Segmento con extremos en la parábola que pasa por el foco.

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos de sus distancias f1 y f2 llamados focos.

Directrices

Se denomina así a dos rectas perpendiculares al eje mayor situadas en la distancia.

Cramer

Sistema de... Continuar leyendo "Conceptos geométricos y matemáticos" »

Son palabras polisémicas las que poseen más de un significado acepción

Son palabras homónimas aquellas que, aun siendo distintas y teniendo diferentes significados, se escriben pero no se pronuncian igual

Son palabras sinónimas las que expresan el mismo significado

• Son sinónimos totales los que coinciden en todos sus significados, como comenzar y empezar
• Son sinónimos parciales los que no coinciden en todos sus significados

Palabras antónimas las que expresan significados opuestos

• Antónimos binarios aquellos cuyo significado se excluyen totalmente, es decir, el significado de un término equivale a la negación del otro, como vivo o muerto
• Son antónimos de grado aquellos cuyo significado se expresan los extremos de una gradación, como enorme

Conceptos Fundamentales de Estadística

Población

Cualquier conjunto de unidades, o elementos, claramente definido, para los cuales se realizarán inferencias o estimaciones. Los elementos que forman la población pueden ser: personas, hogares, predios, edificios, árboles, animales, empresas, países, etc.

Censo

Recuento, o medición, de una característica en cada uno de los elementos que integran una población.

Parámetro

Número que describe una característica de la población (estatura promedio, varianza del peso, número de individuos, etc.)

Muestra

Es un subconjunto representativo seleccionado a partir de una población.

Muestreo

Conjunto de técnicas usadas en la selección de un subconjunto de elementos de una población. Se emplean métodos... Continuar leyendo "Definiciones Clave en Estadística Descriptiva e Inferencial" »