Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

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Fundamentos Esenciales del Cálculo Diferencial e Integral: Definiciones y Teoremas Clave

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Límites

Se dice que la **función** $y=f(x)$ tiene **límite** y vale $L$ cuando $x$ tiende al valor $A$, si y solo si la diferencia entre la función y el límite, en su **valor absoluto** $|f(x) - L|$, se puede hacer tan pequeño como se quiera, con solo tomar valores de $x$ suficientemente próximos al valor $A$.

Infinitésimos

Se dice que una **función** $y=f(x)$ es un **infinitésimo** en $x=a$ si y solo si el límite de $f(x)$ cuando $x \to a$ es igual a $0$.

Derivadas

Dada una función $y=f(x)$, se llama **derivada primera** de la función, y se escribe $f'(x)$, al límite (si existe) del **cociente incremental** $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ cuando el incremento de la **variable independiente** ($\Delta x$) tiende a $0$.

Cociente Incremental

Es

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Cálculo de Continuidad, Derivadas y Rectas Tangentes en Funciones Definidas a Trozos

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Ejercicio 1: Análisis de Continuidad y Derivabilidad

Sea la función:

f(x) = x^2 - bx + 1 & \text{si } x < 2 \\ 2x + a & \text{si } x \geq 2

a) Estudio de la continuidad en x = 2

Para que la función sea continua en x = 2, los límites laterales deben ser iguales:

  • Límite por la izquierda: limx→2- (x2 - bx + 1) = 4 - 2b + 1 = 5 - 2b
  • Límite por la derecha: limx→2+ (2x + a) = 4 + a

Igualando los límites laterales: 5 - 2b = 4 + a => a + 2b = 1

Como la función tiene un mínimo en x = 1, la primera derivada en ese punto debe ser cero:

f'(x) = 2x - b (para x < 2)

f'(1) = 0 => 2(1) - b = 0 => b = 2

Sustituyendo en la ecuación anterior: a + 2(2) = 1 => a = -3

b) Cálculo de la recta tangente en x = -2

La función, con los

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Sucesos, Independencia y Extracciones

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Problema 1: Probabilidad de Sucesos A y B

Dados dos sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0.5 y P(A∪B) = 0.8.

A) Probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos

La probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos se expresa como P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)). Dado que estos dos sucesos (A∩Bᶜ y B∩Aᶜ) son incompatibles, podemos escribir:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A∩Bᶜ) + P(B∩Aᶜ)

Sabemos que P(A∩Bᶜ) = P(A) - P(A∩B) y P(B∩Aᶜ) = P(B) - P(A∩B). Por lo tanto:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A) - P(A∩B) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B).

También se nos informa que P(Aᶜ∪Bᶜ) = 0.7. Por las leyes de De Morgan, sabemos que (Aᶜ∪Bᶜ) = (A∩B)ᶜ. Así, podemos determinar P(A∩B):

P((A∩B)ᶜ)... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Sucesos, Independencia y Extracciones" »

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Estudio de Funciones Mediante Derivadas: Monotonía, Curvatura, Extremos y Asíntotas

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Estudio de una Función a partir de su Derivada

Se conoce la función derivada de f: f'(x) = 3x2 - 8x + 5.

a) Monotonía y Extremos Relativos

Estudiamos el signo de la primera derivada f'(x) para determinar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento).

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos (posibles extremos relativos):

f'(x) = 0 ⇒ 3x2 - 8x + 5 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: x = 1 y x = 5/3 ≈ 1.67.

Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:

  • Intervalo (-∞, 1): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 0. f'(0) = 3(0)2 - 8(0) + 5 = 5 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en (-∞, 1).
  • Intervalo (1, 5/3): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 1.
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Conceptos clave de Probabilidad y Conteo

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PROBABILIDAD

Llamaremos ESPACIO MUESTRAL ( Ω) al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Llamaremos SUCESO a cualquier subconjunto del espacio muestral.

La probabilidad que un suceso S ocurra es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Un suceso es imposible cuando el cardinal del suceso es 0 por lo tanto la probabilidad es 0.

Un suceso es seguro cuando el cardinal del suceso es igual al espacio muestral por lo tanto la probabilidad es 1.

Llamaremos suceso complementario o contrarios a aquellos en los que siempre ocurre uno de ellos pero nunca ambos a la vez.

En un mismo espacio muestral, dos sucesos son mutuamente excluyentes si y sólo si, éstos no pueden ocurrir simultáneamente.... Continuar leyendo "Conceptos clave de Probabilidad y Conteo" »

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Hezkuntza Tradizionala eta Iraunkorra: Desberdintasunak eta Eskubideak

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Adierazi taula batean TRADIZIOKO HEZKUNTZA eta HEZKUNTZA IRAUNKURRAREN arteko desberdintasuna

TRADIZIOZKO HEZKUNTZA

  • Paradigma mugatua; denboran, espazioan, edukietan, metodoetan eta bizitza etapetan.
  • Irakaskuntza bizitzaren aurreneko etapetan izaten da.
  • Gerora begira irakasten eta ikasten da, etorkizunari begira.
  • Ezagutzak eta trebetasunak metatzen dira gero erabili ahal izateko.
  • Ikasten duen subjektuak ez du ezagutza eraikitzen; dakienarengandik hartzen du.

HEZKUNTZA IRAUNKORRA

  • IREKIA da eta edukiek eraiki egiten dira.
  • Irakaskuntza bizitzaren aurreneko etapetan izaten da.
  • Lehena, oraina eta geroa inplikatuak daude.
  • Ez ditu ezagutzak metatzen; erabili egiten ditu ikasten jarraitzeko.
  • Ikasten duen subjektuak modu aktiboan parte hartzen du ezagutza esanahitsuak
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Euskararen Bilakaera: Hizkuntzaren Garrantzia eta Umorearen Erronkak

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Hizkuntzen Berdintasuna

Egilea: Luis Villasante (Gernika, 1920 - Arantzazu, 2000)

Euskara batuaren inguruan liburu eragingarrien egilea izan da, Euskaltzainburu izateaz aparte. Euskal literatura sakon aztertu zuen.

"Euskararen Auziaz" liburutik (1988)

Pasarte honek Euskararen Auziaz liburukoa da, 1988an argitaratua.

Genero humanistikoan sailkatzen dugu, gizakiarekin erlazionatuta dagoen gai bat delako, zehazki, hizkuntzak.

Azalpen-argudiaziozko testua da, objektibotasunez emandako informazioa daukagu. Apologisten eta gutxiesleen iritziak dauden pasarteetan, zehazki. Bestetik, idazleak bere tesia aurkezten digu eta, gu konbentzitzeko nahiarekin, hainbat argudio ematen dizkigu modu progresiboan.

Testu honen funtzio nagusia deitzailea da, beraz; hau

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Matrices periódicas

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matriz simétrica:es toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta.A=A-1
matriz triangular:es aquella matriz cuadrada cuyos términos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son 0
rango de una matriz:se llama rango o caracteris d euna matriz A al numero de filas o de columnas,distintas de 0,independientes
determinante:sea Mn el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n,y R el conjunto de los num reales.La aplicación Mn-->R que asocia a cada matriz cuadrada A el numero real (A) se llama determinante de la matriz cuadrada y se indica cerrando la matriz entre barras
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Conceptos básicos de probabilidad y técnicas de conteo

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Probabilidad

Espacio muestral (Ω)

Llamaremos espacio muestral (Ω) al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Suceso

Llamaremos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Sea Ω un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio E, la probabilidad de que un suceso S ocurra es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

  • Un suceso es imposible cuando el cardinal del suceso es 0, por lo tanto, la probabilidad es 0.
  • Un suceso es seguro cuando el cardinal del suceso es igual al espacio muestral, por lo tanto, la probabilidad es 1.

Suceso complementario

Llamaremos sucesos complementarios o contrarios a aquellos en los que siempre ocurre uno de ellos, pero nunca ambos... Continuar leyendo "Conceptos básicos de probabilidad y técnicas de conteo" »

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Conceptos básicos de geometría y cálculos matemáticos

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1.- ¿Qué entiendes por lugar geométrico?

R=conjuntos de puntos para los que se cumplen las mismas propiedades geométricas se pueden expresar de forma verbal, forma de ecuación, forma gráfica.

2.- ¿Qué es una pareja ordenada?

R=donde podamos identificar las parejas ordenadas son (x,y).

1) Utilizando un plano cartesiano identifica sus características considerando

a) cuadrantes

b) signo de parejas ordenadas

shjkgdhjkshgkjd shjkgdhjkshgkjd

2) Obtener lugar geométrico, según la condición indicada:

a) y=2x-4

xy
1)-2-8
2)-1-6
3)0-4
4)1-2
5)20

FJJ 1)y=2(-2)=-4-4=-8

2)y=2(-1)=-2-4=-6

3)y=2(0)=0-4=-4

4)y=2(1)=2-4=-2

5)y=2(2)=4-4=0


3) La recta que pasa por

A)(-2,-3) Y B)(5-4).

YTWIOEU


4) Encontrar los puntos con las siguientes ecuaciones:

x²+y²=9 el número del final puede variar en vez de 9 puede ser... Continuar leyendo "Conceptos básicos de geometría y cálculos matemáticos" »

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